1、5.6 正弦定理和余弦定理最新考纲 考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其应用.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理 余弦定理内容 (1) 2Rasin A bsin B csin C (2)a2b 2c 22bccos A；b2c 2a 22cacos B；c2a 2b 22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C ；(4)
2、sin A ，sin B ，sin Ca2R b2R；c2R(5)abcsin Asin Bsin C ；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 ab sin A bsin Ab解的个数一解 两解 一解 一解3.三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边 a 上的高)；12(2)S absin C acsin B bcsin A；12 12 12(3)
3、S r(ab c)(r 为三角形内切圆半径)12概念方法微思考1在ABC 中，AB 是否可推出 sin Asin B?提示 在ABC 中，由AB 可推出 sin Asin B.2如图，在ABC 中，有如下结论：bcos Cccos Ba .试类比写出另外两个式子提示 acos B bcos Ac ；acos Cccos Ab.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( )(2)当 b2c 2a 20 时，三角形 ABC 为锐角三角形( )(3)在ABC 中， .( )asin A a b csin A sin B sin C
4、(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( )题组二 教材改编2P10B 组 T2在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A 2B 或 2A 2B，即 AB 或 A B ，2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC 中，A 60 ，AC4，BC2 ，则ABC 的面积为 3答案 2 3解析 ，23sin 60 4sin Bsin B1，B90，AB2，S ABC 22 2 .12 3 3题组三 易错自纠4在ABC 中，
5、角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c0，cos B1.bsin Cc 403220 3角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在6设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则C .答案 23解析 由 3sin A5sin B 及正弦定理，得 3a5b.又因为 bc2a，所以 a b，c b，53 73所以 cos Ca2 b2 c22ab .(53b)2 b2 (73b)2253bb 12因为 C(0，) ，所以 C .23题型一 利用正、余弦定理解三角形例 1 (2018天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分
6、别为 a，b，c .已知 bsin Aacos.(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值解 (1)在ABC 中，由正弦定理 ，可得asin A bsin Bbsin Aasin B.又由 bsin Aacos ，得 asin Bacos ，(B 6) (B 6)即 sin Bcos ，所以 tan B .(B 6) 3又因为 B(0 ，)，所以 B .3(2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c 3，B ，3得 b2a 2c 22ac cos B7，故 b .7由 bsin Aacos ，可得 sin A .(B 6) 217因为 a0，所以 a
7、2b 2c 2 或 ab，故 选 D.引申探究1本例(2)中，若将条件变为 a2b 2c 2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断 ABC 的形状解 a 2b 2c 2ab，cos C ，a2 b2 c22ab 12又 00)又 BD ，DAB ，73所以由余弦定理，得( )2(3k) 2(2 k)223k2k cos ，解得 k1，所以 AD2，AB3，73sinABD .ADsin DABBD 2327 217(2)因为 ABBC，所以 cosDBC sinABD ，217所以 sinDBC ，所以 ，277 BDsin BCD CDsin DBC所以 CD .727732 43
8、3命题点 3 解三角形的实际应用例 5 (1)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高 AD 是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 3答案 C解析 如图，在 RtACD 中，CAD90 3060， AD60 m，所以 CDADtan 6060(m)3在 Rt ABD 中，BAD 907515，所以 BDAD tan 1560(2 )(m)3所以 BCCDBD60 60(2 )3 3120( 1)(m)3(2)如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条
9、水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，且BAC135，若山高 AD100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为 m/s.(精确到 0.1，参考数据： 1.414， 2.236)2 5答案 22.6解析 因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，所以 BAD60 ，CAD45，设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14v，在 RtADB 中， AB ADcos BAD200.在 RtADC 中，AC 100 .在ABC 中，由余弦定理，得ADcos 60 ADcos CAD 100cos
10、 45 2BC2AC 2AB 22AC ABcosBAC，所以 (14v)2(100 )2200 22100 200cos 2 2135，所以 v 22.6，所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s.50107思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出 边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 ABC 这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面) 同时研究的 问题， 这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既
11、清楚又不容易搞 错(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学 问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知 识解决问题跟踪训练 3 (1)在ABC 中，cos 2 (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则ABCB2 a c2c的形状为( )A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案 B解析 cos 2 ，cos2 ，B2 1 cos B2 B2 a c2c(1cos B)c ac ，acos B c ，a2 c2 b22a2a 2a 2c 2b 2，a 2b 2c 2，ABC 为直角三角形(2)在平面四边形 ABCD 中，A
12、BC75 ，BC2，则 AB 的取值范围是 答案 ( ， )6 2 6 2解析 如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F，则BF0)，如果三角形有解，3则角 A 的取值范围是( )A00，3且当 AB 与圆 C 相切时，角 A 取得最大值，此 时 ABBC，则 sin A ，又因为BCAC 23m4m 32ab，所以角 A 为锐角，所以角 A 的最大值为 60，综上所述，角 A 的取值范围为 0A60，故选 A.3(2018金华十校模拟)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B30 ，ABC 的面积为 ，且 sin As
13、in C 2sin B，则 b 的值为( )32A42 B423 3C. 1 D. 13 3答案 D解析 在ABC 中，由 sin Asin C2sin B 结合正弦定理得 ac2b，ABC 的面积为acsin B ac ，解得 ac6， 则在ABC 中，由余弦定理得 b2a 2c 22accos 12 12 12 32B(ac) 22ac2accos B (2b)2(2 )6，解得 b 1，故 选 D.3 34在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知三个向量 m ，n(a，cos A2)，p 共线，则ABC 的形状为( )(b，cos B2) (c，cos C2)A等边
14、三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案 A解析 向量 m ，n 共线，(a，cos A2) (b，cos B2)acos bcos .B2 A2由正弦定理得 sin Acos sin Bcos .B2 A22sin cos cos 2sin cos cos .A2 A2 B2 B2 B2 A2则 sin sin .0 ，0 ，A2 B2 A22 B22 ，即 AB.A2 B2同理可得 BC.ABC 的形状为等边三角形故 选 A.5已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C ，bcos Aacos 223B2，则ABC 的外接圆面积为( )A4 B
15、8 C9 D36答案 C解析 cbcos Aacos B2，由 cos C ，得 sin C ，再由正弦定理可得223 132R 6， R3，所以ABC 的外接圆面积为 R29，故 选 C.csin C6(2018浙东北联盟期中考试) 在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30， 60，则塔高为 ( )A. m B. m4003 40033C. m D. m20033 2003答案 A解析 设山顶为 A，塔底为 C，塔顶为 D，过点 A 作 CD 的垂线，交 CD 的延长线于点 B(图略) ，则易得 AB ，BDABtan 30 tan 30 (m)，所以BCtan 60
16、 BCtan 60 2003 33 2003CDBCBD200 (m)，故选 A.2003 40037在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c.若(a 2c 2b 2)tan B ac，则角 B 的3值为 答案 或3 23解析 由余弦定理，得 cos B，a2 c2 b22ac结合已知等式得 cos Btan B ，32sin B ，又 0B，B 或 .32 3 238(2019台州调研)为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位： km)如图所示，且BD180，则 AC 的长为 km.答案 7解析 在ABC 中，由余弦
17、定理得 AC28 25 2285cos B，在 ACD 中，由余弦定理得AC23 25 2235cos D，由 cos Dcos B 并消去 AC2 得 cos B ，所以 AC7.129ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B ，C ，则ABC 的6 4面积为 答案 13解析 b2，B ，C .6 4由正弦定理 ，bsin B csin C得 c 2 ，A ，bsin Csin B22212 2 (6 4) 712sin Asin sin cos cos sin (4 3) 4 3 4 3 .6 24则 SABC bcsin A 22 1.12 12 2 6 2
18、4 310(2018诸暨模拟)如图，已知 ABC 中，AB8，AC 5，BC7，AB 的中垂线交 BC 于点 D，则 BD ，ADC 的面积等于 答案 5611 30311解析 记 AB 的中点为 E，在ABC 中，由余弦定理得 cos B ，sin BAB2 BC2 AC22ABBC 1114 ，SABC ABBCsin B10 ；在 RtBDE 中，BE AB4，cos B 1 cos2B5314 12 3 12 BEBD ，因此 BD ， ，SABD SABC ，SADC SABC .4BD 1114 5611BDBC 811 811 311 3031111( 2018宁 波 模 拟 )
19、在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 已 知 3asin C ccos A.(1)求 sin A 的值；(2)若 B ，ABC 的面积为 9，求 a 的值4解 (1)因为 3asin Cccos A，所以 3sin Asin Csin Ccos A，又因为 sin C0，所以 tan A ，A(0，)，13所以 sin A .1010(2)由(1)知，cos A ，31010sin Csin(A B)sin .(A 4) 255由正弦定理得 ，c2 a，ac sin Asin C 24 2因为 SABC acsin B a2 a a 29，1
20、2 12 2 22所以 a3.12(2018北京)在ABC 中，a7，b8，cos B .17(1)求A；(2)求 AC 边上的高解 (1)在ABC 中，因为 cos B ，17所以 sin B .1 cos2B437由正弦定理得 sin A .asin Bb 32由题设知 B，2所以 0A ，2所以A .3(2)在ABC 中，因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B ，3314所以 AC 边上的高为 asin C7 .3314 33213在ABC 中，a 2b 2c 22 absin C，则ABC 的形状是 ( )3A不等腰的直角三角形 B等腰直角三角形C钝角三
21、角形 D正三角形答案 D解析 易知 a2b 2c 2a 2b 2a 2b 22abcos C2 absin C，即 a2b 22absin ，3 (C 6)由于 a2b 22ab，当且仅当 ab 时取等号，所以 2absin 2ab，sin 1，故只能(C 6) (C 6)ab 且 C ，所以ABC 为正三角形6 214已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b 2c 2bc，a3，则ABC 的周长的最大值为( )A2 B6 C. D93 3答案 D解析 a 2b 2c 2bc ，bcb 2c 2a 2，cos A ，A(0，)，b2 c2 a22bc 12A .a
22、3， 由正弦定理得 2 ，b2 sin B，c2 sin 3 asin A bsin B csin C 332 3 3 3C，则 abc32 sin B2 sin C32 sin B2 sin 33 sin B3cos 3 3 3 3 (23 B) 3B36sin ，B ，当 B 时周长取得最大值 9.(B 6) (0，23) 315(2018舟山中学模拟)已知锐角 A 是ABC 的一个内角，a，b，c 是三角形中各角的对应边，若 sin2Acos 2A ，则下列各式正确的是( )12Abc2a Bbc2aCbc2a Dbc2a答案 C解析 由 sin2Acos 2A 得 cos2Asin 2
23、A ，12 12则 cos 2A ，又 A ，2A ，A ，12 (0，2) 23 3BC ，3 23在ABC 中，由正弦定理得 ，而 sin Bsin Csin Bsinasin A bsin B csin C b csin B sin C(23 B)sin B cos B sin B sin .32 12 3 (B 6)又0B ， B ，23 6 656 sin 1，即 sin Bsin C ，12 (B 6) 32 3而 a (bc ) (bc) ，sin Asin B sin C 323 b c2即 2abc，故 选 C.16(2018诸暨调研)在直角 ABC 中，A ，B ，点 P 在ABC 内，6 3APC ，BPC ，设PCA，求 tan 的值23 2解 由题意知 AC BC， PBCPCA，3PCBCsin ，又APC ，PAC ，23 3在APC 中，由正弦定理得 ，PCsin PAC ACsin APC即 2，sin sin(3 )化简得 2sin cos ，易知 cos 0，3tan .32