1、3.2 函数的单调性与最值最新考纲 考情考向分析1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性2.理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小) 值.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2、(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的)单调性，区间 D 叫做 y f(x)的单调区间2函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意的 xI，都有f(x)M；(4)存在 x0I ，使得 f(x0)M结论 M 为最大值 M 为最小值概念方法微思考1在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意 x1，x 2D， 0f(x)在 D 上是增函数，减函数类似fx1 fx2x1 x22
3、写出对勾函数 yx (a0)的增区间ax提示 (， 和 ， ) a a题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)x11 时，f(x 2)f( x1)(x2x 1)ab Bcb a Cacb Dbac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1 ， ) 上是减函数，因 为af f ，且 2ac.( 12) (52) 52命题点 2 解函数不等式例 4 若 f(x)是定义在(0， ) 上的单调增函数，且满足 f(xy)f( x)f(y)，f(3) 1，则当 f(x)f(x 8)2 时，x 的
4、取值范围是( )A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)答案 B解析 211f(3)f(3) f (9)，由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8) f (9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，所以有Error! 解得 80 成立，那么 a 的fx1 fx2x1 x2取值范围是_答案 32，2)解析 对任意 x1x 2，都有 0.fx1 fx2x1 x2所以 yf(x) 在(，)上是增函数所以Error! 解得 a2.32故实数 a 的取值范围是 .32，2)(2)定义在 R 上的奇函数 yf(x) 在(0，)上单调递增，且 f 0，则不等式 f( x)0(12) 19lo
5、g的解集为_答案 Error!解析 由题意知，f f 0，( 12) (12)f(x)在( ，0)上也单调递增f( x)f 或 f( x)f ，19log(12) 19log( 12) x 或 x 0，19l12 12 9l解得 0x 或 1x 3.13原不等式的解集为Error!.1(2018台州路桥中学检测) 如果函数 f(x)x 22( a1)x2 在区间(，4 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3Ca5 Da5答案 A解析 由题意得，函数 f(x)x 22( a1)x2 的对称轴为 x1a，所以二次函数的单调递减区间为(，1a，又函数在区间(，4上单调递减，所以
6、1a4，所以 a3.2已知函数 f(x) ，则该函数的单调递增区间为( )x2 2x 3A(，1 B3 ，)C(，1 D1，)答案 B解析 设 tx 22x3，由 t0，即 x22x30，解得 x1 或 x3，所以函数 f(x)的定义域为(，13 ，)因为函数 tx 22x3 的图象的 对称轴为 x1，所以函数 t 在( ， 1上 单 调 递 减 ，在 3， )上 单 调 递 增 ，所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 3， )3已知函数 f(x)Error!当 x1x 2 时， x 1 对任意的 x 1,2恒成立，等价于 ax 23x1 对任意的 x1,2恒成立 设 g(x
7、)x 23x 1( 1x2)， 则 g(x) 2 (1x2) ，当 x(x 32) 134时，g(x )取得最大值，且 g(x)maxg ，因此 a ，故 选 D.32 (32) 134 1346(2018浙江镇海中学月考) 若函数 f(x)Error!(a0，且 a1)的值域为3，)，则实数a 的取值范围为( )A(1,3 B(1,3)C(3，) D3，)答案 A解析 当 x3 时，函数 f(x) x22x4(x1) 23 的值 域为3 ， ) ，当 x3 时，2 logax3，即 x3 时， logax1log aa，a1，且 x3 时 xa 恒成立1a3，实数 a 的取值范围是(1,37
8、已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 af ，bf ，cf(2 0.8)，则(log215) (log24.1)a，b，c 的大小关系为_答案 abc解析 f(x) 在 R 上是奇函数，af f f (log25)(log215) ( log215)又 f(x)在 R 上是增函数，且 log25log24.1log2422 0.8，f(log 25)f(log24.1)f(20.8)，abc.8设函数 f(x)Error!g(x) x2f(x1)，则函数 g(x)的单调递减区间是_答案 0,1)解析 由题意知 g(x)Error!函数 g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为0,1)9函数
9、 f(x) 的值域为 _4 2x x答案 ， 2 6解析 由题意得，0x 2，设 x2cos 2 ，(0 2)f(x) 2sin cos sin()，4 2x x 2 6其中 sin ，cos ，13 26而 ，2 sin()1，故所求值域是 ， 13 2 610设函数 f(x)Error!若函数 yf (x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_答案 (，14 ，)解析 作函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需 满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4.11已知 f(x) (xa)xx a(1)若 a2，试证 f(x)在( ，2)上
10、单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1 ，)上单调递减，求 a 的取值范围(1)证明 设 x1x 22，则 f(x1)f(x 2) .x1x1 2 x2x2 2 2x1 x2x1 2x2 2因为(x 12)(x 22)0，x 1x 20，所以 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f (x2)，所以 f(x)在(，2)上单调递增(2)解 设 1x 1x 2，则 f(x1)f(x 2) x1x1 a x2x2 a .ax2 x1x1 ax2 a因为 a0，x 2 x10，所以要使 f(x1)f(x 2)0，只需(x 1a)(x 2a)0 恒成立，所以 a1.综上所述，0a1.12函数 f
11、(x)4x 24ax a 22a2 在区间0,2上有最小值 3，求 a 的值解 f(x )4 22a2，(x a2)当 0，即 a0 时，函数 f(x)在0,2上是增函数a2f(x) minf(0)a 22a2.由 a22a23，得 a1 .2a0，a1 .2当 0f (2ax )在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 (，2)解析 二次函数 y1x 24x 3 的对称轴是 x2，该函数在(，0上单调递 减，x 24x33，同样可知函数 y2x 22x 3 在(0 ， )上单调递减，且在 x0 时两个表达式的值都为 3.f(x)在 R 上单调递减，由 f(xa)f(2ax )得到
12、x a2 的解集x2 1为_答案 (14， )解析 由题意知，f(x)f(x) 2， f(2x1)f(2x)2 可化为 f(2x1)f(2x) ，又由 题意知函数 f(x)在 R 上单调递增，2x12x， x ，原不等式的解集为 .14 (14， )15记 minx，yError!设 f(x)min x2，x 3，则( )A存在 t0，|f(t)f(t)|f (t)f (t )B存在 t0，| f(t)f(t)|f(t )f (t )C存在 t0，| f(1t)f(1t )|f(1t )f (1t )D存在 t0，|f(1t)f(1t)|f (1t )f (1t )答案 C解析 作出函数 f(
13、x)minx 2，x3的图象，显然该函数是单调递增的，所以对任意的 t0 均有|f(t)f(t)|f(t)f( t)，且|f(1 t)f(1t)|f(1t)f (1t )，因此排除 B，D.考虑选项 A，当 0t1 时，f(t )t 3，f(t )t 3，则|f(t)f(t)|t 3(t) 3|t 3 t30，f(t)f (t) 2t 30；当 t1 时，f(t)t 2，f(t) t 3，则|f(t)f(t)|t 2t 3|t 3t 2，f(t)f (t )t 2t 3，又 t3t 2(t 2t 3)2t 20，所以|f( t)f(t)|f(t)f( t) ，排除 A.故选 C.16(2018
14、浙江金华十校联考)若定义在(0,1)上的函数 f(x)满足 f(x)0 且对任意的 x(0,1)，有 f 2f(x)，则( )(2x1 x2)A对任意的正数 M，存在 x(0,1)，使 f(x)MB存在正数 M，对任意的 x(0,1)，使 f(x)MC对任意的 x1，x 2(0,1) 且 x1x 2，有 f(x1)f (x2)D对任意的 x1，x 2(0,1) 且 x1x 2，有 f(x1)f (x2)答案 A解析 构造数列x n，满足 x1(0,1)，x n1 .2xn1 x2n由数学归纳法易知，x n(0,1)， xn1 x n 0，所以x n是单调递增数列xn1 x2n1 x2n由题意可知，f(x n1 )2f(x n)，所以f( xn)是以 f(x1)为首项，2 为公比的等比数列，所以 f(xn)f(x 1)2n1 ，则对任意的整数 M，存在正整数 Nmax ，1，log2 Mfx1 2则当 nN 时，f(x n)f(x 1)2n1 f(x1) f(x 1) M，故选 A.21logMf21logfx