1、3.4 幂函数与二次函数最新考纲 考情考向分析1.了解幂函数的概念，掌握幂函数yx，yx 2，yx 3，y ，yx 的图象和1x 12性质2.了解幂函数的变化特征3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系会解一元二次不等式.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 yx 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数 yx yx
2、2 yx 3 y 12xyx 1图象定义域 R R R x|x0 x|x0值域 R y|y0 R y|y0 y|y0奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性在 R 上单调递增在(，0 上单调递减；在(0，) 上单调递增在 R 上单调递增在0，) 上单调递增在(，0) 和(0，) 上单调递减性质公共点 (1,1)2.二次函数的图象和性质解析式 f(x)ax 2bxc (a0) f(x)ax 2bx c (a0 且 0.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)二次函数 yax 2bx c (a0)，xa，b 的最值一定是 .( )4ac b24a(
3、2)在 yax 2bx c (a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小( )(3)函数 y2 是幂函数( )1x(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( )(6)当 n1，函数 y2x 26x3 在 1,1上单32调递减，y min2631.6设二次函数 f(x)x 2x a(a0)，若 f(m)” “解析 f(x) x 2x a 图象的 对称轴为直线 x ，且 f(1)0，f(0)0，而 f(m)0.题型一 幂函数的图象和性质1若幂函数的图象经过点 ，则它的单调递增区间是( )(2，14)A(0，
4、) B0 ，)C(，) D(，0)答案 D解析 设 f(x)x ，则 2 ，2，即 f(x)x 2 ，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故14选 D.2若四个幂函数 yx a，y xb，yx c，yx d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是( )Ad cba Bab cdCdcab Dabd c答案 B解析 由幂函数的图象可知，在 (0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知abcd，故选 B.3已知幂函数 f(x)(n 22n2) (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减23x函数，则 n 的值为( )A3 B1 C2 D1 或 2答案 B
5、解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 符合题意，故选 B.4若 32a0 或 32a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax 2bxc 的图象开口向上，故可排除 A；若 a0，b0，从而 0 时，函数 f(x)在区间1,2 上是增函数，最大值为 f(2)8a14，解得 a ；38(3)当 a 时，f(x) maxf(2)4a5，12 12(2)当a 即 a 时， f(x)maxf (1)22a，12 12综上，f(x) maxError!命题点 4 二次函数中的恒成立问题例 5 (1)已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)
6、2x，且 f(0)1，若不等式 f(x)2xm 在区间1,1上恒成立，则实数 m 的取值范围为_答案 (，1)解析 设 f(x)ax 2bx c (a0)，由 f(0)1，得 c1，又 f(x1)f(x )2x，得2axab2x，所以 a1，b 1，所以 f(x)x 2x1.f(x)2xm 在区间1,1上恒成立，即 x23x1m0 在1,1上恒成立，令 g(x)x 23x1m 2 m ，x1,1，(x 32) 54g(x)在1,1 上 单调递减，所以 g(x)ming(1) 131m0，所以 m1) ，若在区间 1,1上 f(x)8 恒成立，则 a 的最大值为_答案 2解析 令 axt，因为
7、a1，x1,1 ，所以 ta，原函数化为 g(t)t 23t2， t ，显1a 1a，a然 g(t)在 上单调递增，所以 f(x)8 恒成立，即 g(t)maxg(a)8 恒成立，所以有1a，aa23a28，解得5a 2，又 a1，所以 a 的最大值为 2.思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将 问题归结为求函
8、数的最值或值域跟踪训练 2 (1)函数 yx 2bxc (x0 ，)是单调函数的充要条件是( )Ab0 Bb0Cb0 Db0，则实数 a 的取值范围为_答案 (12， )解析 由题意得 a 对 1 .(2x 2x2) 12 12数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结 合图象进行；对于含参数的二次函数 问题，要明确参数 对图象的影响，进行分类讨论例 设函数 f(x)x 22x 2， x t，t1，tR，求函数 f(x)的最小值解 f(x )x 22x 2(x 1) 21，x t，t1 ，tR，函数图象的对称轴为 x1.当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)所
9、示，函数 f(x)在区 间t， t1上为减函数，所以最小值为 f(t1)t 21；当 t0 ，解得 m1.3若命题“ax 22ax 30 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )Aa3 D00 恒成立，则 a0 或Error!可得 0a0 恒成立”是假命题时， af(1)，则( )Aa0,4ab 0 Ba0,2 ab0 Dab2af(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是 a0，故 选 A.5函数 f(x)(x2)( axb)为偶函数，且在 (0，)上单调递增，则 f(2x)0 的解集为( )A x| 22 或 x4 或 x0.根据二次函数的性 质可知，不等式 f(2x)0的解
10、集为x|2 x 2 或 2x 4，故 选 D.6若函数 yx 23x 4 的定义域为 0，m ，值域为 ，则 m 的取值范围是( ) 254， 4A0,4 B.32，4C. D.32， ) 32，3答案 D解析 二次函数图象的对称轴为 x ，且 f ，f(3)f (0)4， 结合函数图象( 如图所32 (32) 254示)，可得 m .32，37已知 P ，Q 3，R 3，则 P，Q ，R 的大小关系是_32(25) (12)答案 PR Q解 析 P 3，根 据 函 数 y x3 是 R 上 的 增 函 数 ，且 ，得 3 3 3，2(22) 22 12 25 ( 22) (12) (25)即
11、 PRQ.8(2018台州路桥中学检测) 已知幂函数 yf(x)的图象过点(2 ， )，则 f(9)_.2答案 3解析 设 f(x)x ，因为它过点 (2， )，2所以 2 ，所以 ，所以 f(x) ，212 12所以 f(9) 3.199设函数 f(x)2x 24x 在区间 m，n 上的值域是6，2，则 mn 的取值范围是_答案 0,4解析 令 f(x)6，得 x 1 或 x3；令 f(x)2，得 x1.又 f(x)在 1,1上单调递增，在1,3上单调递减，当 m1，n 1 时， mn 取得最小值 0；当 m1，n3 时， mn 取得最大值 4.10已知函数 f(x)x 2mx1，若对于任意 xm ，m1，都有 f(x)4ac； 2ab1；abc0； 5a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即 1,2ab0，错误；b2a结合图象，当 x1 时，y 0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以 a1，即 a2 时，f(x)在 上单调递减，a2 1，a2)在 上单调递 增，不符合题意；(a2， )当 0 1，即 0a2 时 ，符合 题意；a2当 0，即 a0 时，不符合题 意a2综上，a 的取值范围是0,2