1、5.3 三角函数的图象与性质最新考纲 考情考向分析1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质2.了解三角函数的周期性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 ysin x，x 0,2的图象中，五个关键点是：(0,0) ， ，(，0)，(2，1)，(2 ，0) (32， 1)(2)在余弦函数 ycos x，x 0,2的图象中，五个关键点是：
2、(0,1) ， ，(，1)，(2，0)，(2， 1)(32，0)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R x|x R，且 x k 2值域 1,1 1,1 R周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k (k 2，k 2)递减区间 2k+2，2k 32 2k，2k 无对称中心 (k，0) (k 2，0) (k2，0)对称轴方程 xk 2xk 无概念方法微思考1正(余) 弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余) 弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半
3、个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数 f(x)Asin(x )(A0，0) 是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1)f(x) 为偶函数的充要条件是 k(kZ )；2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数 ( )(2)由 sin sin 知， 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( )(6 23) 6 23(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数 ( )(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( )(5)ysin|x|是偶函数
4、 ( )题组二 教材改编2P35 例 2函数 f(x)cos 的最小正周期是_(2x 4)答案 3P46A 组 T2y3sin 在区间 上的值域是_(2x 6) 0，2答案 32，3解析 当 x 时，2x ，0，2 6 6，56sin ，(2x 6) 12，1故 3sin ，(2x 6) 32，3即 y3sin 的值域为 .(2x 6) 32，34P47B 组 T2函数 ytan 的单调递减区间为_(2x 34)答案 (kZ)(8 k2，58 k2)解析 由 kcos 23cos 97解析 sin 68 cos 22，又 ycos x 在0，180上是减函数，sin 68cos 23cos 9
5、7.题型一 三角函数的定义域1函数 f(x)2tan 的定义域是( )(2x 6)A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 由正切函数的定义域，得 2x k ，kZ，即 x (kZ)，故选 D.6 2 k2 62函数 y 的定义域为_sin x cos x答案 (k Z)2k 4，2k 54解析 方法一 要使函数有意义，必 须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如 图所示在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 ， ，再 结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的454定义域为
6、Error!.方法二 利用三角函数线，画出 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)所以定义域为Error!.3函数 ylg(sin x) 的定义域为_cos x 12答案 Error!解析 要使函数有意义，则Error!即Error! 解得Error!所以 2k 时，f(x )0，f(x)单调递增，12当 cos x 时，f(x )有最小值 12又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1 cos x)，当 sin x 时，f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .( 32) (1 12) 332思维升华 求解三角函数的值域(最值) 常见到以下几种类型：(1)形如 yasin x
7、 bcos x c 的三角函数化为 yAsin(x)c 的形式，再求值域(最值) ；(2)形如 yasin 2xbsin xc 的三角函数，可先 设 sin x t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化 为关于 t 的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值跟踪训练 1 (1)(2017台州模拟) 已知函数 f(x)sin ，其中 x ，若 f(x)的值域是(x 6) 3，a，则实数 a 的取值范围是_ 12，1答案 3，解析 x
8、 ，x ， 3，a 6 6，a 6当 x 时，f(x)的 值域为 ，6 6，2 12，1由函数的图象(图略)知， a ，2 6 76 a .3(2)函数 ysin x cos x sin xcos x 的值域为_答案 12 2，1解析 设 tsin xcos x，则 t2sin 2xcos 2x2sin xcos x，sin xcos x ，且 t .1 t22 2 2y t (t1) 21，t ， t22 12 12 2 2当 t1 时，y max1；当 t 时，y min .212 2函数的值域为 . 12 2，1题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点 1 三角函数的周期性例 2
9、(1)(2016浙江)设函数 f(x)sin 2xbsin xc ，则 f(x)的最小正周期( )A与 b 有关，且与 c 有关B与 b 有关，但与 c 无关C与 b 无关，且与 c 无关D与 b 无关，但与 c 有关答案 B解析 因为 f(x)sin 2xbsin xc bsin xc ，其中当 b0 时，f (x)cos 2x2 12 c ，f(x)的周期为 ；b0 时， f(x)的周期为 2.即 f(x)的周期与 b 有关但与 c 无cos 2x2 12关，故选 B.(2)若函数 f(x) 2tan 的最小正周期 T 满足 10，| 2) 4 4称轴，且 f(x)在 上单调，则 的最大值
10、为_(18，536)答案 9解析 因为 x 为 f(x)的零点，x 为 f(x)的图象的对称轴，所以 ，4 4 4 ( 4) T4 kT2即 T ，所以 2k1(kN )，2 2k 14 2k 14 2又因为 f(x)在 上单调，(18，536)所以 ，即 12，536 18 12 T2 22若 11，又| | ，则 ，2 4此时，f(x) sin ，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，不满足条件(11x 4) (18，344) (344，536)若 9，又| | ，则 ，2 4此时，f(x) sin ，满足 f(x)在 上单调的条件(9x 4) (18，536)由此得 的最大值为 9.思
11、维升华 (1)对于函数 yA sin(x )(A0， 0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式：yA sin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x )的最小正周2|期为 .|跟踪训练 2 (1)函数 y2sin 的图象( )(2x 3)A关于原点对称B关于点 对称( 6，0)C关于 y 轴对称D关于直线 x 对称6答案 B解析 当 x 时，函数 y2sin 0，6 ( 62 3)函数图象关于点 对 称( 6，0)(2)若直线 x 和 x 是函数 ycos(x)(0)图象的两条相邻对称轴，则
12、 的一个可54 94能取值为( )A. B. C. D.34 2 3 4答案 A解析 由题意，函数的周期 T2 2， 1，ycos(x)，当 x 时，(94 54) 2T 54函数取得最大值或最小值，即 cos 1，可得 k，kZ ，k ，kZ .(54 ) 54 54当 k2 时，可得 .34题型四 三角函数的单调性命题点 1 求三角函数的单调区间例 5 (1)函数 f(x)sin 的单调递减区间为_( 2x 3)答案 (kZ)k 12，k 512解析 f(x) sin sin( 2x 3) (2x 3)sin ，(2x 3)由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 2得 k xk ，kZ.12
13、 512故所求函数的单调递减区间为 (kZ )k 12，k 512(2)函数 f(x)tan 的单调递增区间是_(2x 3)答案 (kZ)(k2 512，k2 12)解析 由 k 0，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范围是_(x 4) (2，)答案 12，54解析 由 0，得 0，kZ，得 k0 ，所以 .12 (2k 54) 54 12，54引申探究本例中，若已知 0，函数 f(x)cos 在 上单调递增，则 的取值范围是(x 4) (2，)_答案 32，74解析 函数 ycos x 的单调递增区间为 2k ，2k，kZ，则 Error!kZ，解得 4k 2k ，kZ，52
14、14又由 4k 0，kZ 且 2k 0，kZ，52 (2k 14) 14得 k1，所以 .32，74思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如 yAsin( x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为_答案 ，kZ(2k 14，2k 34)解析 由图象知，周期 T2 2， 2，.由 2k，kZ，不妨(54 14) 2 14 2取 ，4f(x)cos .由 2k0，0)若 f(x)在区间 上具有单调6，2性，且 f f f ，则 f(x)的最小正周期为_ (2) (23) (6)答案
15、 解析 记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 ，T2 2 6 3又 f f f ，且 ，(2) (23) (6) 23 2 6可作出示意图如图所示(一种情况 )：x 1 ，(2 6) 12 3x2 ，(2 23) 12 712 x 2x 1 ，T.T4 712 3 41(2018浙江六校协作体期末联考) “k (kZ )”是 “函数 f(x)cos(x )是奇函数”2的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 若 k (kZ )，则 f(x)cos(x )cos sin x，函数 f(x)为奇函2 (x k 2)数，所以充分性成立；反之，若函数
16、 f(x)cos(x) 是奇函数， 则 0k (kZ)，即 k (kZ)，因2 2此必要性成立所以“k (kZ )”是“函数 f(x)cos(x )是奇函数”的充要条件，2故选 C.2函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为( )(2x 4) 0，2A1 B C. D022 22答案 B解析 由已知 x ，得 2x ，0，2 4 4，34所以 sin ，故函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为 .故选 B.(2x 4) 22，1 (2x 4) 0，2 223(2019舟山模拟)函数 ysin x 2 的图象是( )答案 D解析 函数 ysin x 2为偶函数，排除 A，C；又当 x 时函
17、数取得最大值，排除 B，故选 D.24函数 ycos 2x2sin x 的最大值与最小值分别为 ( )A3，1 B3，2C2，1 D2，2答案 D解析 ycos 2x2sin x 1 sin2x2sin xsin 2x2sin x 1，令 tsin x ，则 t1,1 ，yt 22t 1(t1) 22，所以 ymax2，y min2.5已知函数 f(x)2sin(2x ) 的图象过点(0， )，则 f(x)图象的一个对称中心是( )(|0，则 f(x)的单调递减区间是( )(6)A. (kZ)k，k 4B. (kZ)k 4，k 4C. (kZ)k 4，k 34D. (kZ)k 2，k答案 C解
18、析 由题意可得函数 f(x)sin(2x )的图象关于直线 x 对称，故有42 k ，kZ ，即 k ，kZ .又 f sin 0，所以 2n ，nZ，所以 f(x)4 2 (6) (3 )sin(2x2n)sin 2x.令 2k 2x2k ，kZ ，求得 k xk ，kZ ，故函2 32 4 34数 f(x)的单调递减区间为 ，kZ .k 4，k 347函数 y 的定义域为 _1tan(x 4)答案 Error!解析 要使函数有意义必须有 tan 0，(x 4)则Error!所以 x ，kZ，所以 x ，kZ，4 k2 k2 4所以原函数的定义域为Error!.8设函数 f(x)3sin ，
19、若存在这样的实数 x1，x 2，对任意的 xR，都有 f(x1)f(x )(2x 4)f(x 2)成立，则|x 1x 2|的最小值为_答案 2解析 |x 1x 2|的最小值为函数 f(x)的半个周期，又 T4，|x 1x 2|的最小值为 2.9(2018浙江温州中学模拟) 函数 f(x)2cos 2xcos 1，则函数的最小正周期为(2x 3)_，在0，内的对称轴方程是_答案 x 和 x12 712解析 因为 f(x)1cos 2x cos 2x sin 2x112 32 sin 2x cos 2x sin ，32 32 3 (2x 3)所以最小正周期 T .解 sin 1，22 (2x 3)
20、得 f(x)的对称轴方程为 x (kZ )12 k2由于 x0 ，所以在0， 内的对称轴方程是 x 和 x .12 71210已知函数 f(x) ，则下列说法正确的是_(填序号)|tan(12x 6)|f(x)的周期是 ；2f(x)的值域是y |yR，且 y0；直线 x 是函数 f(x)图象的一条对称轴；53f(x)的单调递减区间是 ，kZ.(2k 23，2k 3答案 解析 函数 f(x)的周期为 2，错；f (x)的值域为0， )，错；当 x 时，53x ，kZ，x 不是 f(x)的对称轴， 错；令 k sin x，此 时 f(x)sin x，f(x) 1,0 综上知 f(x)的值域为54
21、0，22). 1，2214已知函数 f(x)2cos( x)1 ，其图象与直线 y3 相邻两个交点的距离(0，|1 对任意 x 恒成立，则 的取值范围是 ( )23 ( 12，6)A. B. 6，6 4，0C. D.( 3， 12 0，4答案 B解析 由题意可得函数 f(x)2cos(x)1 的最大值为 3.f(x)的图象与直线 y3 相邻两个交点的距离为 ，f(x )的周期 T ， ，解得 3，f (x)2cos(3 x )1.f (x)123 23 2 23对任意 x 恒成立，2cos(3x)11，即 cos(3x)0 对任意 x 恒成立，( 12，6) ( 12，6) 2k 且 2k ，
22、kZ，解得 2k 且 2k，kZ，即4 2 2 2 42k 2k ，kZ.结合| 可得，当 k0 时， 的取值范围为 .4 2 4，015已知函数 f(x)cos(2 x) 在 上单调递增，若 f m 恒成立，(0 2) 38， 6 (4)则实数 m 的取值范围为_ 答案 0，)解析 f(x) cos(2 x ) ，(0 2)当 x 时， 2x ， 38， 6 34 3由函数 f(x)在 上是增函数得 38， 6Error!kZ ，则 2k 2k (kZ )4 3又 0 ，0 ，f cos ，2 3 (4) (2 )又 ，f max0 ，m 0.2 2 56 (4)16设函数 f(x)2sin
23、 m 的图象关于直线 x 对称，其中 0 .(2x 6) 12(1)求函数 f(x)的最小正周期(2)若函数 yf(x )的图象过点(，0)，求函数 f(x)在 上的值域0，32解 (1)由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin 1，(2 6)2 k (kZ )，6 2即 (kZ)k2 13又 0 ， ，12 13函数 f(x)的最小正周期为 3.(2)由(1)知 f(x)2sin m ，(23x 6)f() 0，2sin m 0，m 2，(23 6)f(x)2sin 2，(23x 6)当 0x 时， x ，32 6 23 6 56 sin 1.12 (23x 6)3f(x) 0，故函数 f(x)在 上的值域为 .0，32 3，0