1、3.7 函数的图象最新考纲 考情考向分析1.了解函数的三种表示法(解析法、图象法和列表法)2.掌握指数函数，对数函数及五种幂函数的图象和性质.函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势 )；(4)描点连线，画出函数的图象2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x) y f (x)； 关 于 x轴 对 称 yf(x) y f(x) ； 关 于 y轴 对 称 yf(x) y f (x) ； 关 于 原 点
2、对 称 ya x (a0 且 a1) ylog ax(a0 且 a1) 关 于 y x对 称 (3)伸缩变换yf(x) yf(ax)11aa ， 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 倍 ， 纵 坐 标 不 变， 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 倍 ， 纵 坐 标 不 变yf(x) yaf (x) a1，纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 a倍 ，横 坐 标 不 变 00 且 a1)的图象相同( )(5)函数 yf(x)与 yf( x)的图象关于原点对称( )(6)若函数 yf(x )满足 f(1x )f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称( )题组二 教材改编2P35 例
3、5(3)函数 f(x)x 的图象关于( )1xAy 轴对称 Bx 轴对称C原点对称 D直线 yx 对称答案 C解析 函数 f(x)的定义域为(，0)(0 ，) 且 f(x )f (x)，即函数 f(x)为奇函数，故选C.3P23T2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 小明匀速运动时，所得 图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不 变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.故选 C.4P75A 组 T10如图，函数 f(x)的图象为折线
4、ACB，则不等式 f(x)log 2(x1) 的解集是_答案 (1,1解析 在同一坐标系内作出 yf (x)和 ylog 2(x1) 的图象(如图) 由图象知不等式的解集是(1,1题组三 易错自纠5下列图象是函数 yError!的图象的是( )答案 C6将函数 yf( x )的图象向右平移 1 个单位长度得到函数 _的图象答案 yf(x1)解析 图象向右平移 1 个单位长度，是将 f(x) 中的 x 变成 x1.7设 f(x)|lg(x 1)|，若 02 (由于 a4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象：(1)y |x|；(2)y|log 2(x1)| ；(12)(3)y ；(4)yx 2
5、2|x| 1.2x 1x 1解 (1)作出 y x 的图象，保留 y x 的图象中 x0 的部分，再作出 y x 的图象中 x0(12) (12) (12)的部分关于 y 轴的对称部分，即得 y |x|的图象，如 图 实线部分(12)(2)将函数 ylog 2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log 2(x1)|的图象，如 图实线部分(3)y 2 ，故函数图象可由 y 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个2x 1x 1 1x 1 1x单位得到，如图实线部分(4)yError!且函数为偶函数，先用描点法作出 0， ) 上的图象，
6、再根据 对称性作出(，0)上的图 象，如图实线部分思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 yx 的函数1x(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用 图象变换作出，但要注意变换顺序题型二 函数图象的辨识例 1 (1)(2018嘉兴模拟)函数 f(x) xx 2 的大致图象是( )(12)答案 D解析 在同一平面直角坐标系内画出函数 y x 与函数 yx 2 的图象( 图略)易得两函数图象(12)有 3 个不同的交点，在 y 轴左侧有 2 个交点，分 别为(4,16)，(2,4)
7、 ，在 y 轴右侧且 x(0,1)有 1 个交点，所以函数 f(x) xx 2 有 3 个不同的零点，即函数 f(x) xx 2 的图象与 x 轴(12) (12)有 3 个不同的交点，排除 A，C；又因为 f(0) 00 210 ，所以排除 B，故选 D.(12)(2)已知定义在区间0,2 上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2 x)的图象为( )答案 B解析 方法一 由 yf( x)的图象知， f(x)Error!当 x0,2时，2x 0,2 ，所以 f(2x) Error!故 yf(2 x)Error! 图象 应为 B.方法二 当 x0 时，f(2 x)f(2)1；当 x1 时
8、， f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选 B.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断 图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断 图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象跟踪训练 1 (1)(2018浙江嘉兴一中测试) 已知函数 f(x)ln|x|，g(x) x 23，则 f(x)g(x)的图象为( )答案 C解析 由 f(x)g(x)为偶函数，排除 A，D，当 xe 时，f(x )g(x)e 230.(0，2)当 x 时，y cos x
9、f(x)2x 的解集是_答案 (1,0) (1 ， 2解析 由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x)x.在同一直角坐标系中分别画出 yf (x)与 yx 的图象，由图象可知不等式的解集为(1,0)(1， 2(2)已知函数 f(x)|x 2| 1， g(x)kx.若方程 f(x)g(x) 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_答案 (12，1)解析 先作出函数 f(x)|x 2|1 的图象，如 图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为 ，故当 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范12围
10、为 .(12，1)高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数 图 象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提一、函数的图象和解析式问题例 1 (1)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 yf(x )的图象大致为( )答案 B解析 当 x 时，f(x )tan x ，图象不会是直线段，从而排除 A，C；0，4 4 t
11、an2x当 x 时 ，f f 1 ，4，34 (4) (34) 5f 2 .2 0，排除 D 选项e e 11 1e又 e2， ，排除 C 选项故 选 B.1e 12 1e 32二、函数图象的变换问题例 2 已知定义在区间0,4上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x) 的图象为( )答案 D解析 方法一 先作出函数 yf (x)的图象关于 y 轴的对称图象，得到 yf (x)的图象；然后将 yf( x)的图象向右平移 2 个单位，得到 yf(2x )的图象；再作 yf(2 x)的图象关于 x 轴的对称图象，得到 yf (2x)的图象故选 D.方法二 先作出函数 yf( x)的图象关
12、于原点的对称图象，得到 yf(x )的图象；然后将yf(x) 的图象向右平移 2 个单位，得到 yf(2x)的图象故选 D.方法三 当 x0 时，yf(20)f(2)4.故选 D.三、函数图象的应用例 3 (1)已知函数 f(x)Error! 其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_ 答案 (3，)解析 在同一坐标系中，作 yf(x)与 yb 的图象当 xm 时，x 22mx 4m(xm )24mm 2，所以要使方程 f(x)b 有三个不同的根， 则有 4mm 20.又 m0，解得 m3.(2)不等式 3sin x0 时， yf (|
13、x|1)f(x1) ，其图象由函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位得到，又函数 yf(|x|1)为偶函数，所以再将函数 yf(x1)(x0)的图象关于 y 轴对称翻折到 y 轴左边，得到 x0 的部分是将 x( 1,0的部分周期性向右平移 1 个单位得到的，其部分 图象如图所示若方程 f(x)xa 有两个不同的实数根， 则函数 f(x)的图象与直线 yxa 有两个不同交点，故 a0 时的图象即可对于选项 A，当 x0 时，f(x)x 22ln x，所以 f(x)2x ，所以 f(x)在 x12x 2x2 1x处取得极小值，故 A 错误；对于选项 B，当 x0 时，f (x)x 2ln x，
14、所以 f( x)2x ，所以 f(x)在 x 处取得极小值，故 B 正确对于选项 C，当 x0 时，f(x)1x 2x2 1x 22x2ln x，所以 f(x) 1 ，所以 f(x)在 x2 处取得极小值，故 C 错误对于选项2x x 2xD，当 x0 时，f(x)x ln x，所以 f( x)1 ，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，故 D1x x 1x错误，故选 B.7函数 f(x)Error!则 f(1)_，若方程 f(x)m 有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为_答案 2 (0,2)1e解析 f(1) 2 .作出函数 f(x)的图象，如 图，当 x0 在 R 上恒成立，求实数 m
15、 的取值范围解 (1)令 F(x)| f(x)2|2 x2|， G(x)m，画出 F(x)的图 象如图所示，由图象看出，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当 00)，H( t)t 2t，因为 H(t) 2 在区间(0， )上是增函数，所以 H(t)H(0)0.(t 12) 14因此要使 t2tm 在区间(0， )上恒成立， 应有 m0，即所求 m 的取值范围为(， 013已知函数 f(x)Error!则对任意 x1，x 2R，若 00Cf(x 1)f( x2)0 Df (x1)f (x2)f(x1)，即 f(x1)f(x 2)1 时，由
16、 1 x1，解得 x11 x 5 12 1x 1.结合图象可知，满足 f(x)g(x)的 x 的取值范围是 .5 12 ( ，5 12 ) (1 52 ， )15已知函数 f(x)Error!若在该函数的定义域0,6上存在互异的 3 个数 x1，x 2，x 3，使得 k，则实数 k 的取值范围是_ fx1x1 fx2x2 fx3x3答案 (0，16解析 由题意知，直线 ykx 与函数 yf(x)(x0,6) 的图象至少有 3 个公共点函数 yf (x)的图象如图所示，由图知 k 的取值范围是 .(0，1616已知函数 f(x)Error!g(x)|x k|x 2|，若对任意的 x1，x 2R ，都有 f(x1)g(x 2)成立，求实数 k 的取值范围解 对任意的 x1，x2R，都有 f(x1)g( x2)成立，即 f(x)max g(x)min.观察 f(x)Error!的图象可知，当 x 时，函数 f(x)max .12 14因为 g(x)|xk |x2|xk(x2)|k 2|，所以 g(x)min| k2|，所以| k2| ，14解得 k 或 k .74 94故实数 k 的取值范围是 .( ，74 94， )