1、17.2 等差数列及其前 n 项和最新考纲 考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用3.了解等差数列与一次函数的关系4.会用数列的等差关系解决实际问题.以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题和填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示2等差数列的通项公式如果等
2、差数列a n的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana 1(n1)d.3等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na m(nm )d(n，m N *)(2)若a n为等差数列，且 kl mn(k，l，m ，nN *)，则 aka la ma n.(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若a n， bn是等差数列，则pa nqb n也是等差数列(5)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k，m N *
3、)是公差为 md 的等差数列(6)数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式2设等差数列a n的公差为 d，其前 n 项和 Sn 或 Snna 1 d.na1 an2 nn 126等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列a n是等差数列S nAn 2Bn(A，B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列a n中，a 10，d0，则 Sn存在最小值概念方法微思考1 “a，A，b 是等差数列”是“A ”的什么条件？a b2提示 充要条件2等差数列的前 n 项和 Sn是项数 n 的二次函数吗？提示 不一定当公差
4、 d0 时，S nna 1，不是关于 n 的二次函数3如何推导等差数列的前 n 项和公式？提示 利用倒序相加法题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列a n的单调性是由公差 d 决定的( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)已知等差数列a n的通项公式 an32n，则它的公差为2.( )(5)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 a na n2 .( )(6)已知数列a n的通项公式是 anpnq( 其中 p
5、，q 为常数) ，则数列a n一定是等差数列( )题组二 教材改编2P46A 组 T2设数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8 等于( )A31 B32 C33 D34答案 B解析 由已知可得Error!解得Error! S88a 1 d32.87233P39T5在等差数列a n中，若 a3a 4a 5a 6a 7450，则 a2a 8_.答案 180解析 由等差数列的性质，得 a3a 4a 5a 6a 75a 5 450，a 590，a 2a 82a 5180.题组三 易错自纠4一个等差数列的首项为 ，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的
6、公差 d 的取值范125围是( )Ad Bd0，a 7a 100，所以 a80.又 a7a 10a 8a 90，S 140，S140，a1a 14a 7a 80，a80 时，n 的最小值a9a8为( )A14 B15 C16 D17答案 C解析 数列a n是等差数列，它的前 n 项和 Sn有最小值 ，公差 d0，首 项 a10，a9a89由等差数列的性质知，2a8a 1a 150.S n ，当 Sn0 时， n 的最小值为 16.na1 an27(2018绍兴教学质量调测) 已知数列a n中，a 33，a n1 a n2，则a2a 4_，a n_.答案 6 2n3解析 因为 an1 a n2，
7、所以 an为等差数列，所以公差 d2，由 a12d3 得 a11，所以 an1(n1)22n3， a2a 42a 36.8在等差数列a n中，若 a7 ，则 sin 2a1cos a 1sin 2a 13cos a 13_.2答案 0解析 根据题意可得 a1a 132a 7，2a12a 134a 72，所以有 sin 2a1cos a 1sin 2 a13cos a 13sin 2a 1sin(22a 1)cos a 1cos( a 1)0.9(2018浙江省部分重点中学调研) 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S5，则使an0 的最大正整数 n_，满足 SkSk1 0，a7
8、S 7S 60，则使 an0 的最大正整数n6，S 11 11a 60，S12 0，S13 13a 711a1 a112 12a1 a122 12a6 a72 13a1 a132a2，即 1d 12，解得 d11；又Error!所以Error!解得1d 1d212d 1.因为 S1075，所以 51 d152 d275，所以 d1d 26，所以 d26d 1，所542 542以1d 16d 112d 1，解得 d1 .又 d1，d2为整数，所以 d13，所以 d23.所以73 72a82(41) d223311.16记 m ，若 是等差数列，则称 m 为数列a n的“d n等差均值”d1a1
9、d2a2 dnann dn；若 是等比数列，则称 m 为数列 an的“d n等比均值” 已知数列a n的“2n1 等差均dn值”为 2，数列b n的“3 n1 等比均值”为 3.记 cn klog 3bn，数列 的前 n 项和为2an cnSn，若对任意的正整数 n 都有 SnS 6，求实数 k 的取值范围解 由题意得 2 ，a1 3a2 2n 1ann所以 a13a 2(2n1)a n2n，所以 a13a 2(2n3)a n12n2(n2，nN *)，两式相减得 an (n2，nN *)22n 1当 n1 时，a 12，符合上式，所以 an (nN *)22n 1又由题意得 3 ，b1 3b2 3n 1bnn所以 b13b 23 n1 bn3n，所以 b13b 23 n2 bn1 3n3(n2，nN *)，两式相减得 bn3 2n (n2，nN *)当 n1 时，b 13，符合上式，所以 bn3 2n (nN *)13所以 cn(2 k)n2k1.因为对任意的正整数 n 都有 SnS 6，所以Error! 解得 k .135 114