1、高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题第 1 课时 范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2018浙江)如图，已知点 P 是 y 轴左侧( 不含 y 轴)一点，抛物线 C：y 24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上.(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2 1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围.y24(1)证明 设 P(x0，y0)，A ，B .(14y21，y1) (14y2，y2)因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程 24 ，(y y02 ) 14y2 x02即 y22y 0y8 x0
2、y 0 的两个不同的实根.20所以 y1y 22y 0，所以 PM 垂直于 y 轴.(2)解 由(1)可知Error!所以|PM| (y y )x 0 y 3x 0，18 21 2 3420|y1 y2| 2 .2y20 4x0所以PAB 的面积SPAB |PM|y1y 2| (y 4x 0) .12 324 20 3因为 x 1(1x 00)，20y204所以 y 4x 04x 4x 044，5，20 20所以PAB 面积的取值范围是 .62，15104 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用
3、已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练 1 (2018杭州质检) 已知椭圆 C： 1，直线 l：ykx m( m0)，设直线 lx23 y22与椭圆 C 交于 A，B 两点.(1)若|m| ，求实数 k 的取值范围；3(2)若 直 线 OA， AB， OB 的 斜 率 成 等 比 数 列 (其 中 O 为 坐 标 原 点 )， 求 OAB
4、 的 面 积 的 取 值 范 围 .解 (1)联立方程 1 和 ykxm ，x23 y22得(23k 2)x2 6kmx3m 260，所以 (6km)24(23k 2)(3m26)0，所以 m2 ，所以 23k 23，3即 k2 ，解得 k 或 kb0)，从椭圆的一个焦x2a2 y2b2点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为 12.(1)求椭圆的方程；(2)过 A(0，b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点 B，C，记它们的横坐标分别为xB，x C，求 xBxC的最小值以及 xBxC最小时ABC 的面积.解 (1)不妨设
5、光线从焦点 F1(c ，0)出发到达椭圆上的点 M，反射后经过另一个焦点 F2(c，0)到达椭圆上的点 N.由于光线经过的路径为正三角形 F1MN，则|F 1M| F1N|，所以 MNF 1F2，F1F2为F 1MN 的中线.由椭圆的定义得 4a12，a 3.又|F 1F2|2c 42 ，32 3所以 c ，b2a 2c 26，3所以椭圆的方程为 1.x29 y26(2)由(1)得 A(0， ).显然直线 AB，AC 的斜率均存在且不为 0.6设直线 AB 的方程为 ykx (k0) ，6代入 1，得(23k 2)x26 kx0，x29 y26 6所以 xB ，同理求得 xC ，66k2 3k
6、2 66k2k2 3所以 xBxC 66k2 3k2 66k2k2 3 216k22 3k22k2 3 216k26k4 13k2 6 2166k2 13 6k2 ，2166(k2 1k2) 13 21625当且仅当 k21 时等号成立.所以当 k21 时，x BxC取得最小 值 .21625当 k21 时，|AB| ，|AC| ，66|k| 1 k22 3k2 66|k| 1 ( 1k)22k2 3SABC |AB|AC| .12 108|k|1 k22 3k22k2 3 216251.已知 P(x0，y 0)是椭圆 C： y 21 上的一点，F 1，F 2 是 C 的两个焦点，若 0，b0
7、)的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 且垂x2a2 y2b2直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A，B 两点，AF 2， BF2 分别交 y 轴于 P，Q 两点.若PQF2 的周长为 16，则 的最大值为( )ba 1A. B. C. D.43 34 53 45答案 A解析 如图(1)，由已知条件得ABF 2 的周长为 32，因为|AF2|2 a| AF1|，|BF2|2a|BF 1|，|AF1| BF1| ，所以 4a 32， a8，可整理为b2a 4b2a b2a(a4) 2b 216.设 k ，则 k 表示为(a，b)与( 1， 0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易ba
8、1知 kmax .故选 A.435.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM| 2| MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D.122 23 33答案 A解析 由题意可得 F ，设 P (y00)，(p2，0) (y202p，y0)则 ( ) ，OM OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF (y206p p3，y03)可得 k .y03y206p p3 1y02p py012y02ppy0 22当且仅当 时取得等号，故选 A.y02p py06.(2018浙江省杭州市
9、七校联考) 已知 M，N 为双曲线 y 21 上关于坐标原点 O 对称的两x24点，P 为双曲线上异于 M，N 的点，若直线 PM 的斜率的取值范围是 ，则直线 PN 的斜12，2率的取值范围是( )A. B.(18，12) 12， 18C. D. 18，12 12， 18 18，12答案 C解析 设 M(x0，y0)，N(x 0，y 0)，P(m，n)(mx 0)，则 kPM ，kPN .因为点n y0m x0 n y0m x0P，M，N 均在双曲线 y 21 上，所以 n 21， y 1，两式相减得 x24 m24 x204 20 m x0m x04(ny 0)(ny 0)0，化简得 ，即
10、 kPMkPN ，又 k PM2，n y0m x0n y0m x0 14 14 12即 2，解得 k PN ，故选 C.12 14kPN 18 127.椭圆 C： y 21(a1)的离心率为 ，F 1，F 2 是 C 的两个焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于x2a2 32A，B 两点，则|AF 2|BF 2|的最大值为_.答案 7解析 因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ，32 a2 1a 32解得 a2，由椭圆定义得|AF 2| BF2|AB |4a8，即|AF 2| |BF2| 8|AB|，而由焦点弦性质，知当 ABx 轴时，| AB|取得最小值 2 1，b2a因此|AF 2| BF2
11、|的最大值为 817.8.已知 F1，F 2 是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，点 P 在双曲线的右支上，如果x2a2 y2b2|PF1|t| PF2|(t (1，3) ，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是_.答案 (0， 3解析 由双曲线的定义及题意可得Error! 解得Error!又|PF 1| |PF2| 2c，| PF1| PF2| 2c，2att 1 2at 1整理得 e 1 ，ca t 1t 1 2t 110，可设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y 2 ，y1y2 .6m3m2 4 93m2 4可知 |F1F2|y1y 2| 12 ，1PQSA1
12、2 y1 y22 4y1y2 m2 13m2 42又 ，当且 仅当 m0 时取等号，m2 13m2 42 19m2 1 1m2 1 6 116故 3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长1FPQSl4a8，则内切圆半径 r (当 m0 时，取等号) ，其面 积最大值为 .128FPQS34 91610.已知斜率为 k 的直线与椭圆 1 交于 A，B 两点，弦 AB 的中垂线交 x 轴于点x24 y23P(x0， 0)，则 x0 的取值范围是_.答案 ( 12，12)解析 设直线的方程为 ykxm，联立Error!化简得(34k 2)x28kmx4m 2120，所
13、以 64k2m24(34k 2)(4m212)0，所以 4k2m 230.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得Error!所以 y1y 2kx 1mkx 2m k (x1x 2)2m2m ，8k2m3 4k2 6m3 4k2所以 ， ，x1 x22 4km3 4k2y1 y22 3m3 4k2所以线段 AB 的中点坐标为 ，( 4km3 4k2， 3m3 4k2)当 k0 时，弦 AB 的中垂线为 y 轴，此时 x00，当 k0 时，线 段 AB 的垂直平分线方程为y ，3m3 4k2 1k(x 4km3 4k2)把点 P(x0，0)代入上面的方程得x0(34 k2) km.所以
14、m ，代入 4k2m 230.x03 4k2k整理得 x 0)，204k4 3k216k4 24k2 9x 0)，焦点为 F，直线 l 交抛物线 C 于 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)两点，D (x0，y 0)为线段 AB 的中点，且| AF|BF|12x 0.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 x1x2y 1y21，求 的最小值.x0|AB|解 (1)由题意知| AF|BF|x 1x 2p，x 1x 22x 0，且|AF|BF|12x 0，p1，抛物线 C 的方程为 y22x.(2)设直线 l 的方程为 xmyb，代入抛物线方程，得 y22my2b0，4m 28b0，y 1y 2
15、2m， y1y22b.x 1x2y 1y21，即 y 1y21，y21y24y 1y22，即 b1，则 m 取任意实数时，0 恒成立.|AB| |y1y 2|1 m2 1 m2 y1 y22 4y1y22 ，1 m2 m2 2x0 (y1y 2)22y 1y2m 21，x1 x22 y21 y24 14 ，x0|AB| m2 12m2 1 m2 2令 tm 21，t1，)，则 ，x0|AB| t2t t 1121 1t 24 的最小 值为 .x0|AB| 2412.已知椭圆 C： 1(ab0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b.x2a2 y2b2 33(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若
16、点 M 在椭圆 C 上，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与直线(3，32)OM 相交于点 N，且 N 是线段 AB 的中点，求OAB 面积的最大值.解 (1)由题意，得 ac b，则(ac) 2 b2，33 13结合 b2a 2c 2，得( ac )2 (a2c 2)，13即 2c23aca 20，亦即 2e23e10，结合 00.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 .8km3 4k2 4m2 123 4k2因为 y1y 2k (x1x 2)2m ，6m3 4k2所以线段 AB 的中点 N 的坐标为 ，( 4km3 4k2， 3m3
17、4k2)因为点 N 在直线 y x 上，12所以 2 ，4km3 4k2 3m3 4k2解得 k .32所以 48(12m 2)0，解得2 0，b0)的右顶点为 A，与 x 轴平行的直线交 于 B，C 两x2a2 y2b2点，记BAC，若 的离心率为 ，则( )2A. B.(0，2) 2C. D.(34，) 34答案 B解析 e ，c a，b 2c 2a 2a 2，ca 2 2双曲线方程可变形为 x2y 2a 2.设 B(x0，y0)，由 对称性可知 C(x 0，y0)，点 B(x0，y0)在双曲 线上，x y a 2.A(a ，0)， (x 0a，y 0)， (x 0a，y 0)，20 20
18、 AB AC ( x0a)(x 0a) y a 2x y 0，AB AC 20 20 20 ，即 .故选 B.AB AC 214.若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 x29 y28 OP 的最小值为_.FP 答案 6解析 点 P 为椭圆 1 上的任意一点，x29 y28设 P(x，y)(3x 3，2 y2 )，2 2由题意得左焦点 F(1，0) ， ( x，y)， ( x1，y)，OP FP x(x1)y 2x 2xOP FP 72 8x29 2 .19(x 92) 2343x3， x ，32 92 152 2 ， 2 ，94 (x 92) 22
19、54 14 19(x 92) 2546 2 12，19(x 92) 234即 6 12.故最小值为 6.OP FP 15.如图，由抛物线 y212x 与圆 E：( x3) 2y 216 的实线部分构成图形 ，过点 P(3，0)的直线始终与图形 中的抛物线部分及圆部分有交点，则 |AB|的取值范围为( )A.4，5 B.7，8 C.6，7 D.5，6答案 B解析 由题意可知抛物线 y212x 的焦点为 F(3，0)，圆( x3) 2y 216 的圆心为 E(3，0)，因此点 P，F，E 三点重合，所以|PA| 4，设 B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB| x 03，由Error!得 (
20、x3) 212x16，整理得 x26x70，解得 x11， x27(舍去)，设圆 E 与抛物线交于 C，D 两点，所以 xCx D1，因此 0x 01，又| AB| AP|BP| 4x 03x 07，所以|AB| x077，8 ，故 选 B.16.(2018嘉兴测试)已知 F1， F2 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F 1PF245，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.解 不妨设|PF 1| PF2|2a 1，|PF1|PF 2|2a 2，其中 a1，a2 分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，则|PF 1| a1a 2，|PF2|a 1a 2，由余弦定理得(2 )a (2 )a 4c 2(c 为半焦距)，2 21 2 2设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 4.2 2e21 2 2e2又 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 22 2e21e2 22e1e2即 e1e2 ，22当 e1 ，e2 时 ，等号成立，2 22 2 22所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为 .22