1、11.1 随机事件的概率与古典概型最新考纲 考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1.概率和频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次
2、数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) 为事件 A 出现的频率.nAn(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).2.事件的关系与运算定义 符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA 或 A B相等关系 若 BA 且 AB AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)A B(或 AB)交事件(积事件)若
3、某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件( AB)，则称事件 A与事件 B 互斥AB 对立事件若 AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件AB，P( A)P(B )13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A) 1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P( A)P(B).(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A
4、)1P( B).4.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和.5.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.6.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) .1n mn7.古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数概念方法微思考1.随机事件 A
5、发生的频率与概率有何区别与联系？提示 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近.2.随机事件 A，B 互斥与对立有何区别与联系？提示 当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立，当随机事件 A，B 对立时，一定互斥.3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和.4.如何判断一个试验是否为古典概型？提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1
6、)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( )(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面 ”，这三个结果是等可能的.( )(5)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型 .( )题组二 教材改编2.P121T4一个人打靶时连续射击两次，事件 “至少有一次中靶”的对立事件是( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案 D解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.3.P133T3袋中装有 6 个白球，
7、5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )A. B. C. D.25 415 35 23答案 A解析 从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，则所求概率为 P .615 254.P133T4同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为 _.答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6636(种)可能的 结果，其中点数相同的结果共有6 种，所以点数不相同的概率 P1 .636 56题组三 易错自纠5.将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是( )A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件 D.无法确定答案 B解析 抛掷 10 次硬币，正
8、面向上的次数可能 为 010，都有可能发生，正面向上恰有 5 次是随机事件.6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A. B. C. D.115 15 14 12答案 B解析 由题意可得，甲连续三天参加活 动的所有情况为：第 13 天，第 24 天，第 35 天，第 46 天，共四种情况，所求概率 P .故选 B.4A3C36A3 157.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品 ，事件 B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B) 0.2，P(C)0.1
9、，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_.答案 0.35解析 事件 A抽到一等品 ，且 P(A)0.65，事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P1P (A)10.650.35.题型一 随机事件命题点 1 随机事件的关系例 1 (1)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是( )310 710A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡答案 A解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一 张联 通卡” ，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡” 的对立事件.
10、(2)口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出两个球，事件 A“取出的两个球同色” ，B“取出的两个球中至少有一个黄球” ，C“取出的两个球中至少有一个白球” ，D“取出的两个球不同色 ”，E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为_.A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P( B)P(C).答案 命题点 2 随机事件的频率与概率例 2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求
11、量与当天最高气温(单位： )有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为45
12、0 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 0.6，所以 这种酸奶一天的需求量不超 过 300 瓶的概率的2 16 3690估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200) 4450100，所以，Y 的所有可能值为 900，300，100.Y 大于零当且仅当
13、最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为0.8.36 25 7 490因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.命题点 3 互斥事件与对立事件例 3 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球.从中随机取出 1球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.解 方法一 (利用互斥事件求概率 )记事件 A1 任取 1 球为红球 ，A2 任取 1 球 为黑球，A3 任取 1 球 为白球，A4 任取 1 球 为绿球，则 P(A1) ，P(A2) ，P(A3) ，P(A4) .512 412 13 2
14、12 16 112根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为P(A1A 2)P(A 1)P(A 2) .512 13 34(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为P(A1A 2A 3)P( A1)P(A 2)P (A3) .512 13 16 1112方法二 (利用对立事件求概率 )(1)由方法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A 2 的对立事件为 A3A 4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A 2)1P(A 3A 4)1P( A3)P(A 4)1 .16 112
15、 34(2)因为 A1A 2A 3 的对立事件为 A4，所以 P(A1A 2A 3)1P( A4)1 .112 1112思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同 时不发生 .对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不 发生，即有且 仅有一个发生.(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定 义判断，不可能同 时发生的两个事件 为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件 为对立事件， 对立事件一定是互斥事件 .(3)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度， 频率是随机的，而概率是一个确定的值，通
16、常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有 时也用频率作 为随机事件概率的估计值.(4)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通 过大量的重复试验 ，事件 发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 .(5)求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其 对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”. 它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.跟踪训练 1 (1)某保险公
17、司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率.解 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元” ，以频率估计概率得 P(A) 0.15，P(B) 0.12.15
18、01 000 1201 000由于投保金额为 2 800 元，赔 付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000元，所以其概率为 P(A)P(B) 0.150.120.27.设 C 表示事件“投保车辆中新司机 获赔 4 000 元” ，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而 赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆 中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 0.24，由频24100率估计概率得 P(C)0.24.(2)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，
19、通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时) ：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5试估计 C 班的学生人数；从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.解 由题意及分层抽样可知， C 班学生人数约为100 100 40.85 7 8 820设事件 Ai为“甲是现有样 本中 A 班的第 i 个人” ，i1，2， ，5，事件 Cj为“乙是现有样本中 C
20、 班的第 j 个人” ，j1，2， ，8.由题意可知 P(Ai) ，i1，2， ，5；P(Cj) ，j1， 2，8.15 18P(AiCj)P( Ai)P(Cj) ，i1，2， ，5，j1， 2，8.15 18 140设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” ，由题意知，EA 1C1A 1C2A 2C1A 2C2A 2C3A 3C1A 3C2A 3C3A 4C1A 4C2A 4C3A 5C1A5C2A 5C3A 5C4.因此 P(E)P(A 1C1)P (A1C2)P(A 2C1)P(A 2C2)P( A2C3)P(A 3C1)P(A 3C2)P(A 3C3)P(A 4C1)P (A
21、4C2)P( A4C3)P(A 5C1)P(A 5C2)P(A 5C3)P( A5C4)15 .140 38题型二 古典概型例 4 (1)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二 张卡片上的数的事件数 为 10，所求概率 P .1025 25(2)袋中有形状、大小都相同的 4 个球，其中 1 个白球，1 个红球
22、，2 个黄球，从中一次随机摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为_.答案 56解析 方法一 基本事件共有 C 6(种)，24设取出 2 个球颜色不同为事件 A.A 包含的基本事件有 C C C C 5( 种).12 12 1 1故 P(A) .56方法二 将两个黄球分别编号为黄 1，黄 2.设取出的 2 个球 颜色不同为事件 A，基本事件有：(白，红)，(白，黄 1)，(白，黄 2)，(红，黄 1)，(红，黄 2)，(黄 1，黄 2)，共 6 种，事件 A 包含 5 种，故 P(A) .56思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需
23、要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练 2 (1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B. C. D.815 18 115 130答案 C解析 由题意可知，共 15 种可能性，而只有 1 种是正确的 .输入一次密码能够成功开机的概率为 .115(2)甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完 .若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的
24、钱数不少于其他任何人) 的概率是( )A. B. C. D.34 13 310 25答案 D解析 用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为 x 元、 y 元、z 元.乙、丙、丁三人抢完 6 元钱的所有不同的可能结果有 10 种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1， 1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有 4 种， 分 别 为 (4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).根据古典概型的概率计算公式，得乙 获得“手气最佳”的概率 P .410
25、 25(3)已知 a0， 1，2，b 1，1，3，5，则函数 f(x)ax 22bx 在区间(1 ，)上为增函数的概率是( )A. B. C. D.512 13 14 16答案 A解析 a0，1，2，b1， 1，3，5，基本事件总数 n3412.函数 f(x)ax 22bx 在区间(1，) 上为增函数，当 a0 时，f(x)2bx ，符合条件的只有(0，1)，即 a0，b1；当 a0 时，需要满足 1，符合条件的有(1， 1)，(1，1)，(2，1)，(2，1)，共 4 种.ba函数 f(x)ax 22bx 在区间 (1，) 上为增函数的概率是 P .5121.从装有 2 个红球和 2 个黑球
26、的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有一个黑球与恰有两个黑球答案 D解析 对于 A，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，A 不正确；对于 B，事件 “至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，B 不正确；对于 C，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个 红球，一个黑球，C 不正确； 对于 D，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个
27、都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件， D 正确.2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为( )12 13A. B. C. D.56 25 16 13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为 .12 13 563.(2018衢州质检)从集合1，2，3，0，1，2，3，4中，随机选出 4 个数组成子集，使得这 4 个数中的任何两个数之和不等于 1，则取出这样的子集的概率为( )A. B. C. D.435 835 1635 2735答案 B解析 依题意，得题中的集合的 4 元子集共有 C 70 个，其中使得
28、这 4 个数中的任何两个数48之和不等于 1 的子集共有 16 个(注意到122334011，因此该类子集共有 C C C C 16 个)，因此所求的概率等于 .12 12 12 121670 8354.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型 50%，A 型 15%，B 型30%，AB 型 5%.现有一血液为 A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )A.15% B.20% C.45% D.65%答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为：O 型 50%，A 型 15%，B 型 30%，AB 型 5%，现在能为A 型病人输血的有 O 型和 A 型，故
29、为病人输血的概率为 50%15%65%，故选 D.5.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为( )A. B. C. D.35 25 15 310答案 B解析 设男生为 A，B，C，女生为 a，b，从 5 人中选出 2 名志愿者有： (A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种等可能情况，其中选出的 2 名志愿者性别相同的有(A，B )，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共 4 种等可能的情况
30、，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为 P .410 256.(2018金华十校联考)将 A， B，C，D ，E 五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7 的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件 A，B 被放在相邻的抽屉内且文件 C，D 被放在不相邻的抽屉内的概率是( )A. B. C. D.221 421 821 17答案 B解析 依题意知，将这五种文件随机放入 这七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件的放法共有 A 种，文件 A，B 被放在相邻的抽屉内， A， B 看成一个元素，相应的抽屉看成 6 个，则57有 4 个元素在 6 个位置排列，有 A A 720 种方
31、法，文件 A，B 被放在相邻的抽屉内且文件2 46C，D 被放在相邻的抽屉内，有 A A A 240 种，文件 A，B 被放在相邻的抽屉内且文件2 2 35C，D 被放在不相邻的抽屉内，有 720240480 种方法.因此所求的概率 为 ，故选 B.480A57 4217.(2014浙江)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖.甲、乙两人各抽取 1 张，则两人都中奖的概率是_.答案 13解析 设中一、二等奖及不中 奖分别记为 1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1 ，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共 6 种.其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，
32、 1)，共 2 种，所以 P(A) .26 138.(2018湖州模拟)无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5，当 a1a3，a 3a5 时称为波形数，则由 1，2，3，4，5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是_.答案 215解析 a 2a1，a2a3，a4a3，a4a5，a 2 只能是 3，4，5 中的一个.若 a23，则 a45，a 54，a 1 与 a3 是 1 或 2，这时共有 A 2( 个)符合条件的五位数；2若 a24，则 a45，a 1，a3，a5 可以是 1，2，3，共有 A 6(个)符合条件的五位数；3若 a25，则 a43 或 4，此时分别与中的个数相同
33、 .满足条件的五位数有 2(A A )16( 个).2 3又由 1，2，3，4，5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A 120( 个)，5故所求概率为 .16120 2159.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，则所取的 2 个球中恰有 1 个白球、1 个红球的概率为_.答案 1021解析 从袋中任取 2 个球共有 C 105(种)取法，其中恰有 1 个白球、1 个红球共有215C C 50(种)取法，所以所取的球恰有 1 个白球、 1 个红 球的概率为 .10 1550105 102110.10 件产品中有 7 件正品，3
34、件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是_.答案 12解析 从 10 件产品中取 4 件，共有 C 种取法，恰好取到 1 件次品的取法有 C C 种，由古410 13 37典概型概率计算公式得 P .C13C37C410 335210 1211.(2018浙江省重点中学高三调研) 小明和小华进行有放回的摸小球游戏，规则如下：共有7 个小球(除编号不同外，其他完全相同 )，编号分别为 1， 2，3，4，5，6，7，置于一个盒子内，小明和小华每次各摸一个，每个小球被摸到的概率是相等的.则取到的两个小球的编号之和为偶数的概率为_，小明取到的小球编号大于小华取到的小球编号的概率为_.答
35、案 2549 37解析 由题意可得，所有的取法 总数为 7749；取到的两个小球的 编号之和为偶数的取法数为 334425，所以其概率 为 P1 ；小明取到的小球编号大于小华取到的小球编号2549的取法数为 65432121，所以其概率 为 P2 .2149 3712.(2019嘉兴模拟)有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，从中取出 3 个，则取出的球的编号互不相同的概率是_.答案 47解析 在 8 个球中取出 3 个，共有 C 56 种取法，其中在 4 个编号中取出 3 个编号，有 C38种取法，其中每个编号选择一球各有 2 种取法，所以取出的 3 个球的编号互不相同
36、的取法34有 C 2332(种)，则所求概率为 .343256 4713.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 x，y，z，当且仅当 yx，yz 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合5，6，7，8 中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A. B. C. D.23 13 16 112答案 B解析 从集合5，6，7，8中取出 3 个不同的数组成一个三位数共有 24 个结果：567，576，657，675，756，765，568，586，658，685，856，865，578，587，758，785，857，875，678，687，768，786，8
37、67，876，其中是“凸数”的是：576，675，586，685， 587，785，687，786 共8 个结果，这个三位数是“凸数”的概率为 ，故 选 B.824 1314.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39，32，33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概率是_.答案 35 1315解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于至少 2 个小组的概率为 P .11 10 7 86 7 8 8 10 10 11 35“不超过
38、 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组” ，其对立事件是“3 个小组”.故他属于不超过 2 个小组的概率是 P1 .86 7 8 8 10 10 11 131515.(2018温州高三高考适应性测试) 某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为 11 的概率为( )A. B. C. D.118 112 536 16答案 C解析 先后三次掷一颗骰子，所得的不同的 结果共有 63 种 .其中某两次所得的点数之和为 11，可分 为三类：第一类，5，6 都只出现一次，有 A A 种不同的结果；23 14第二类，5 出现两次，6 只出现一次，有 3 种不同的结果；第三类，6 出现两次，
39、5 只出现一次，有 3 种不同的结果.根据分类加法计数原理，其中某两次所得的点数之和为 11 的不同的结果共有A A 3330(种).23 14根据古典概型的概率计算公式，所求的概率 P ，故选 C.3063 53616.如图，用 K，A 1，A 2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1，A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 K，A 1，A 2 正常工作的概率依次为 0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为_.答案 0.728解析 方法一 由题意知 K，A1，A2 正常工作的概率分别为 P(K)0.8， P(A1)0.7，P(A 2)0.7，K，A 1，A2 相互独立，A 1，A2 至少有一个正常工作的概率为 P( 1A2)P(A 1 2)P( A1A2)(10.7)A A0.70.7(10.7)0.70.70.91.系统正常工作的概率为 P(K)P( 1A2)P(A 1 2)P(A 1A2)0.80.910.728.A A方法二 A 1，A2 至少有一个正常工作的概率为 1P( 1 2)1(10.7)(10.7) 0.91，故系AA统正常工作的概率为 P(K)1P( 1 2)0.80.910.728.AA