1、第五篇 数列及其应用专题 5.04 数列求和及数列的综合应用【考试要求】 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.【知识梳理】1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn na 1 d.n（a1 an）2 n（n 1）2(2)等比数列的前 n 项和公式：Sn na1，q 1，a1 anq1 q a1（1 qn）1 q ，q 1.)2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再
2、求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列a n的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加( 或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个
3、固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑 an 与an1 (或者相邻三项等)之间的递推关系，或者 Sn 与 Sn1 (或者相邻三项等)之间的递推关系.【微点提醒】1.1234n .n（n 1）22.122 2n 2 .n（n 1）（2n 1）63.裂项求和常用的三种变形(1) .1n（n 1） 1n 1n 1(2) .1（2n 1）（2n 1） 12( 12n 1 12n 1)(3) .1n n 1 n 1 n【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)若数列a n为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和
4、 Sn .( )a1 an 11 q(2)当 n2 时， ( ).( )1n2 1 12 1n 1 1n 1(3)求 Sna2a 23a 3na n 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列 a1，a 2a 1，a na n1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 an的通项公式是 an.( )3n 12【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (3)要分 a0 或 a1 或 a0 且 a1 讨论求解 .【教材衍化】2.(必修 5P47B4 改编)数列a n中，a n ，若a n的前 n 项和为 ，则项数 n 为( )1n（n 1） 2 01
5、92 020A.2 018 B.2 019C.2 020 D.2 021【答案】 B【解析】 a n ，1n（n 1） 1n 1n 1Sn1 1 ，所以 n2019.12 12 13 1n 1n 1 1n 1 nn 1 2 0192 0203.(必修 5P56 例 1 改编)等比数列a n中，若 a127，a 9 ，q0，S n 是其前 n 项和，则 S6_.1243【答案】 3649【解析】 由 a127，a 9 知， 27q 8，1243 1243又由 q0，解得 q ，所以 S6 .13271 (13)6 1 13 3649【真题体验】4.(2018东北三省四校二模)已知数列 an满足
6、an1 a n2，a 15，则|a 1| a2|a 6|( )A.9 B.15 C.18 D.30【答案】 C【解析】 由题意知a n是以 2 为公差的等差数列，又 a15，所以|a1|a 2| |a6|5| |3| 1|13553113518.5.(2019北京朝阳区质检)已知数列 an，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，b na n2 n1，且SnT n2 n1 n 22，则 2Tn_.【答案】 2 n2 n(n1)4【解析】 由题意知 TnS nb 1a 1b 2a 2b na nn2 n1 2，又 SnT n2 n1 n 22，所以 2TnT nS nS nT n2 n2 n(
7、n1) 4.6.(2019河北“五个一”名校质检) 若 f(x)f (1x )4，a nf (0)f f f(1)( nN *)，则数列(1n) (n 1n )an的通项公式为_.【答案】 a n2(n1)【解析】 由 f(x)f(1x )4，可得 f(0)f (1)4，f f 4，所以 2an f(0)f(1) (1n) (n 1n )f(1) f(0)4(n1)，即 an2( n1).f(1n) f(n 1n )【考点聚焦】考点一 分组转化法求和【例 1】 (2019济南质检)已知在等比数列 an中，a 11，且 a1，a 2，a 31 成等差数列.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数
8、列b n满足 bn2n1a n(nN *)，数列 bn的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 n22 n 的大小.【答案】见解析【解析】(1)设等比数列a n的公比为 q，a 1，a 2，a 31 成等差数列，2a 2a 1(a 31)a 3，q 2，a3a2a na 1qn1 2 n1 (nN *).(2)由(1)知 bn2n1a n2n12 n1 ，S n(11) (3 2)(52 2)(2 n12 n1 )135(2n1)(122 22 n1 ) n n 2 2n1.1 （2n 1）2 1 2n1 2S n(n 22 n)10，解得 所以 an2 n.a1 2，q 2，)(2)由题意知
9、：S 2n1 (2 n1)b n1 ，（2n 1）（b1 b2n 1）2又 S2n1 b nbn1 ，b n1 0，所以 bn2n1.令 cn ，则 cn ，bnan 2n 12n因此 Tnc 1c 2c n ，32 522 723 2n 12n 1 2n 12n又 Tn ，12 322 523 724 2n 12n 2n 12n 1两式相减得 Tn ，12 32 (12 122 12n 1) 2n 12n 1所以 Tn5 .2n 52n【规律方法】 1.一般地，如果数列a n是等差数列，b n是等比数列，求数列a nbn的前 n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1
10、)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S nqS n”的表达式.【训练 3】 已知等差数列 an满足：a n1 an(nN *)，a 11，该数列的前三项分别加上 1，1，3 后成等比数列，a n2log 2bn1.(1)分别求数列a n，b n的通项公式；(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn.【答案】见解析【解析】(1)设等差数列a n的公差为 d，则 d0，由 a11，a 21d，a 312d 分别加上 1，1，3 后成等比数列，得(2d) 22(42d)，解得 d2(
11、舍负)，所以 an1(n1) 22n1.又因为 an2log 2bn1，所以 log2bnn，则 bn .12n(2)由(1)知 anbn(2n1) ，12n则 Tn ，121 322 523 2n 12nTn ，12 122 323 524 2n 12n 1由，得Tn 2 .12 12 (122 123 124 12n) 2n 12n 1 Tn 2 ，12 1214(1 12n 1)1 12 2n 12n 1T n12 3 3 .22n 1 2n 12n 4 2n 12n 3 2n2n考点四 数列的综合应用【例 4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种
12、，每天支付38 元；第二种，第一天付 4 元，第二天付 8 元，第三天付 12 元，依此类推；第三种，第一天付 0.4 元，以后每天比前一天翻一番(即增加 1 倍). 他应该选择哪种方式领取报酬呢？【答案】见解析【解析】设该学生工作 n 天，每天领工资 an 元，共领工资 Sn 元，则第一种方案 an(1)38，S n(1)38n；第二种方案 an(2)4n，S n(2)4(123n)2n 22n；第三种方案 an(3)0.42 n1 ，S n(3) 0.4(2 n 1).0.4（1 2n）1 2令 Sn(1) Sn(2)，即 38n2n 22n，解得 n18，即小于或等于 18 天时，第一种
13、方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令 Sn(1) Sn(3)，即 38n0.4(2 n1)，利用计算器计算得小于或等于 9 天时，第一种方案报酬高，所以少于 10 天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，S 10(2)220，S 10(3)409.2，S 10(3)S10(2)，S n(3)Sn(2).所以等于或多于 10 天时，选择第三种方案.【规律方法】 数列的综合应用常考查以下几个方面：(1)数列在实际问题中的应用；(2)数列与不等式的综合应用；(3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问
14、题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比) 数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.【训练 4】 已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列a n的前 n 项和为Sn，点(n，S n)(nN *)均在函数 yf(x)的图象上.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，试求数列 bn的前 n 项和 Tn.3anan 1【答案】见解析【解析】(1)设二次函数 f(x)ax 2bx(a0) ，则 f(x)2axb.由于 f(x)6x2，得 a3， b2，所以 f(x)3x 22x .又因为点(n，S n)(nN *)均在函数 yf(x)
15、的图象上，所以 Sn3n 22n.当 n2 时，a nS nS n1 3n 22n3(n1) 22(n1)6n5；当 n1 时，a 1S 131 221615，也适合上式，所以 an6n5(nN *).(2)由(1)得 bn ，3anan 1 3（6n 5）6（n 1） 5 12( 16n 5 16n 1)故 Tn .12(1 17) (17 113) ( 16n 5 16n 1) 12(1 16n 1) 3n6n 1【反思与感悟】1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转
16、化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学( 数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.【易错防范】1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母) 时，应对其公比是否为 1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽
17、象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、选择题1.(2017全国卷)等差数列a n的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 an前 6 项的和为( )A.24 B.3 C.3 D.8【答案】 A【解析】 设a n的公差为 d，根据题意得 a a 2a6，23即(a 12d) 2(a 1d)( a15d)，解得 d2，所以数列a n的前 6 项和为 S66a 1 d16 (2)24.652 6522.数列a n的通项公式为 an(1) n1 (4n3)，则它的
18、前 100 项之和 S100 等于( )A.200 B.200 C.400 D.400【答案】 B【解析】 S 100(413)(423) (433)(41003)4(1 2)(34)(99100) 4(50)200.3.数列a n的通项公式是 an ，前 n 项和为 9，则 n 等于( )1n n 1A.9 B.99 C.10 D.100【答案】 B【解析】 因为 an ，1n n 1 n 1 n所以 Sna 1a 2a n( )( ) ( )( ) 1，n 1 n n n 1 3 2 2 1 n 1令 19，得 n99.n 14.(2019德州调研)已知 Tn 为数列 的前 n 项和，若
19、mT101 013 恒成立，则整数 m 的最小值为( 2n 12n )A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023【答案】 C【解析】 1 ，T nn1 ，2n 12n (12)n 12nT 101 01311 1 0131 024 ，1210 1210又 mT101 013 恒成立，整数 m 的最小值为 1 024.5.(2019厦门质检)已知数列a n满足 an1 (1) n1 an2，则其前 100 项和为( )A.250 B.200 C.150 D.100【答案】 D【解析】 当 n2k( kN *)时，a 2k1 a 2k2，当 n2k1(kN *)时，a 2ka
20、2k1 2，当 n2k1(kN *)时，a 2k2 a 2k1 2，a 2k1 a 2k1 4，a 2k2 a 2k0，a n的前 100 项和(a 1a 3)(a 97a 99)(a 2a 4)( a98a 100)254250100.二、填空题6.已知正项数列a n满足 a 6a a n1 an.若 a12，则数列 an的前 n 项和 Sn_.2n 1 2n【答案】 3 n1【解析】 由 a 6a a n1 an，2n 1 2n得(a n1 3a n)(an1 2a n)0，又 an0，所以 an1 3a n，又 a12，所以a n是首项为 2，公比为 3 的等比数列，故 Sn 3 n1.
21、2（1 3n）1 37.(2019武汉质检)设数列(n 2n)a n是等比数列，且 a1 ，a 2 ，则数列3 nan的前 15 项和为_.16 154【答案】 1516【解析】 等比数列(n 2n)a n的首项为 2a1 ，第二项为 6a2 ，故公比为 ，所以(n 2n)13 19 13an ，所以 an ，则 3nan ，其前 n 项和为 1 ，n15 时，13(13)n 1 13n 13n（n2 n） 1n2 n 1n 1n 1 1n 1为 1 .116 15168.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，m 的值为_
22、.【答案】 9【解析】 由于平均产量类似于图形过 P1(1，S 1)，P n(n，S n)两点直线的斜率，斜率大平均产量就高，由图可知 n9 时割线 P1P9斜率最大，则 m 的值为 9.三、解答题9.求和 Sn (x0).(x 1x)2 (x2 1x2)2 (xn 1xn)2 【答案】见解析【解析】当 x1 时，Sn (x 1x)2 (x2 1x2)2 (xn 1xn)2 (x2 2 1x2) (x4 2 1x4) (x2n 2 1x2n)(x 2 x4x 2n)2n (1x2 1x4 1x2n) 2nx2（x2n 1）x2 1 x 2（1 x 2n）1 x 2 2n.（x2n 1）（x2n
23、 2 1）x2n（x2 1）当 x1 时，S n4n.10.设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 12，a n1 2S n(nN *).(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn1log 2(an)2，求证：数列 的前 n 项和 TnN B.NC.N D.不确定【答案】 A【解析】 投入资金逐月值构成等比数列b n，利润逐月值构成等差数列 an，等比数列b n可以看成关于n 的指数式函数，它是凹函数，等差数列a n可以看成关于 n 的一次式函数.由于 a1b 1，a 12b 12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润a 1a 2a 12比总投资
24、 Nb 1b 2b 12大，故选 A.13.已知数列a n中，a n4n5，等比数列b n的公比 q 满足 qa na n1 (n2) 且 b1a 2，则|b1|b 2| b3|b n|_.【答案】 4 n1【解析】 由已知得 b1a 23，q4，b n(3) (4) n1 ，|b n|34 n1 ，即|b n|是以 3 为首项，4 为公比的等比数列，|b 1| |b2| | bn| 4 n1.3（1 4n）1 414.(2019潍坊调研)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a 15，nS n1 ( n1)S nn 2n.(1)求证：数列 为等差数列；Snn(2)令 bn2 nan，求数列b
25、 n的前 n 项和 Tn.【答案】见解析【解析】(1)证明 由 nSn1 ( n1)S nn 2n 得 1，Sn 1n 1 Snn又 5，所以数列 是首项为 5，公差为 1 的等差数列.S11 Snn(2)解 由(1)可知 5(n1)n4，Snn所以 Snn 24n.当 n2 时，a nS nS n1 n 24n(n1) 24(n1) 2n3.又 a15 也符合上式，所以 an2n3(nN *)，所以 bn(2n3)2 n，所以 Tn5272 292 3(2 n3)2 n，2Tn52 272 392 4(2 n1)2 n(2n3)2 n1 ，所以得Tn(2n 3)2 n1 10(2 32 42
26、 n1 )(2n3)2 n1 1023（1 2n 1）1 2(2n3)2 n1 10(2 n2 8)(2n1)2 n1 2.【新高考创新预测】15.(多填题) 已知公差不为零的等差数列a n中，a 11，且 a2，a 5，a 14 成等比数列，a n的前 n 项和为Sn，b n(1) nSn，则 an_，数列b n的前 n 项和 Tn_.【答案】 2n1 (1) nn（n 1）2【解析】 设等差数列a n的公差为 d(d0) ，则由 a2，a 5，a 14成等比数列得 a a 2a14，即(1 4d)252(1d)(113 d)，解得 d2，则 ana 1(n1) d2n 1，S nna 1 dn 2，当 n 为偶数时，n（n 1）2TnS 1S 2S 3S 4S n1 S n1 22 23 24 2(n1) 2n 237(2 n1) ；当 n 为大于 1 的奇数时，T nS 1S 2S 3S 4S n1 S n1 22 23 24 2(n2)n（n 1）22(n1) 2n 237(2n3) n 2 ，当 n1 时，也符合上式.综上所述，T n(1) nn（n 1）2. n（n 1）2