1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.06 正弦定理和余弦定理【考试要求】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【知识梳理】1.正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理 余弦定理公式 2Rasin A bsin B csin C a2b 2c 22bccosA；b2c 2a 22cacosB；c2a 2b 22abcosC常见变形(1)a2Rsin A， b2RsinB，c2Rsin C；(2)sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2R(3)abcsinAsinBsinC ；(
2、4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.SABC absin C bcsin A acsin B (abc)r( r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. 12 12 12 abc4R 123.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 ab sin A bsin Ab ab解的个数 一解 两解 一解 一解 无解【微点提醒】1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB )sin C；(2)
3、cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin .A B2 C2 A B2 C22.三角形中的射影定理在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；c bcos Aacos B.3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB absin Asin Bcos Asin B，则 AB.( )(3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当 b2c 2a 20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c 2 a20 时，ABC 为直角三角形；当b2c 2a 20 时，三角形 ABC 不一定为锐角三角形.【教材衍化】2
4、.(必修 5P10A4 改编)在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC( )A. B. C. D.6 3 23 56【答案】 C【解析】 在ABC 中，设 ABc5，ACb3，BC a7，由余弦定理得 cosBAC b2 c2 a22bc ，9 25 4930 12由 A(0，)，得 A ，即 BAC .23 233.(必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.【答案】 等腰三角形或直角三角形【解析】 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B ，即 AB 或 A B
5、 ，2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.【真题体验】4.(2018烟台质检)已知ABC 中，A ，B ，a1，则 b 等于( )6 4A.2 B.1 C. D.3 2【答案】 D【解析】 由正弦定理 ，得 ，asin A bsin B 1sin6 bsin4 ，b .112b22 25.(2018全国卷)在ABC 中，cos ，BC1，AC5，则 AB( )C2 55A.4 B. C. D.22 30 29 5【答案】 A【解析】 由题意得 cos C2cos 2 12 1 .C2 ( 55)2 35在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC 2BC 22ACBCcos C5 21 2251
6、 32，所以( 35)AB4 .26.(2019荆州一模)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2 ，cos A ，sin B2sin 234C，则ABC 的面积是_.【答案】 7【解析】 由 sin B2sin C，cos A ，A 为ABC 一内角，34可得 b2c，sin A ，1 cos2A74由 a2b 2c 22bc cos A，可得 84c 2c 23c 2，解得 c2( 舍负)，则 b4.S ABC bcsin A 24 .12 12 74 7【考点聚焦】考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】 (1)ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，
7、b，c.已知 C60，b ，c3，则 A_.6(2)(2019枣庄二模)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，则 A( )A. B. C. D.6 3 56 23(3)(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 ，则a2 b2 c24C( )A. B. C. D.2 3 4 6【答案】 (1)75 (2)B (3)C【解析】 (1)由正弦定理，得 sin B ，bsin Cc 6323 22结合 b0，所以 sin C0，所以 cos B0，sin A1，即 A ，2ABC
8、 为直角三角形.【规律方法】 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余) 弦定理是转化的桥梁 .2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练 2】 若将本例(2)中条件变为“cacos B(2 ab)cos A”，判断ABC 的形状.【答案】见解析【解析】cacos B(2ab)cos A，C (AB)，由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos A sin Bcos A，sin Acos
9、 B cos Asin Bsin Acos B2sin Acos A sin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0 或 sin Bsin A，A 或 BA 或 BA (舍去)，2ABC 为等腰或直角三角形.考点三 和三角形面积、周长有关的问题 多维探究角度 1 与三角形面积有关的问题【例 31】 (2017全国卷)ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A cos 3A0，a2 ，b2.7(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC ，求ABD 的面积.【答案】见解析【解析】(1)由 sin A cos A0 及 cos
10、 A0，3得 tan A ，又 00，sin A cos A，3即 tan A .300.b2 c2 a22bc 4bccos A ，即 ，则 bc .32 4bc 32 833ABC 的面积 S bcsin A .12 12 833 12 233二、填空题6.(2018浙江卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a ，b2，A60 ，则 sin 7B_，c _.【答案】 3217【解析】 由 ，得 sin B sin A ，asin A bsin B ba 217又 a2b 2c 22bc cos A，c 22c 30，解得 c3.7.在ABC 中，a，b，c 分别
11、是内角 A，B，C 的对边，且 B 为锐角，若 ，sin B ，S sin Asin B 5c2b 74ABC ，则 b 的值为_.574【答案】 14【解析】 由 a c，sin Asin B 5c2b ab 5c2b 52由 SABC acsin B 且 sin B 得 ac5，12 574 74 12联立，得 a5，且 c2.由 sin B 且 B 为锐角知 cos B ，74 34由余弦定理知 b2254252 14，b .34 148.若不等式 ksin2Bsin Asin C19sin Bsin C 对任意ABC 都成立，则实数 k 的最小值为_.【答案】 100【解析】 由正弦定
12、理得 kb2ac19bc ，即 k ，k ，因为 c0，所以 a2b0，即 a2b，联立解得 b2 ，a4 .7 7所以 SABC absin C14 .12 3【能力提升题组】(建议用时： 20 分钟)11.ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C ，bcos Aacos B2，则ABC 的外接223圆面积为( )A.4 B.8 C.9 D.36【答案】 C【解析】 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A 2Rsin Acos B 2Rsin(AB) 2(R 为ABC 的外接圆半径).即 2Rsin C2.又 cos C 及 C(0，) ，知 sin C .
13、223 132R 6，R3.2sin C故ABC 外接圆面积 SR 29.12.(2019武汉模拟)在ABC 中，C ，AB3，则ABC 的周长为( )23A.6sin 3 B.6sin 3(A 3) (A 6)C.2 sin 3 D.2 sin 33 (A 3) 3 (A 6)【答案】 C【解析】 设ABC 的外接圆半径为 R，则 2R 2 ，于是 BC2Rsin A2 sin A，AC2Rsin 3sin23 3 3B2 sin .3 (3 A)于是ABC 的周长为 2 32 sin 3.3sin A sin(3 A) 3 (A 3)13.(2019长春一模)在ABC 中，三个内角 A，B
14、，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos Asin Acos (12b sin C)C，且 a2 ，则ABC 面积的最大值为_.3【答案】 3 3【解析】 因为 cos Asin Acos C，(12b sin C)所以 bcos A sin Ccos Asin Acos C，12所以 bcos A sin(AC )，所以 bcos Asin B，12 12所以 ，cos A2 sin Bb又 ，a2 ，sin Bb sin Aa 3所以 ，得 tan A ，cos A2 sin A23 3又 A(0，)，则 A ，3由余弦定理得(2 )2b 2c 2 2bc b 2c 2bc2bc bcb
15、c，312即 bc12( 当且仅当 bc2 时取等号)，3从而ABC 面积的最大值为 12 3 .12 32 314.(2018天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos .(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值.【答案】见解析【解析】(1)在ABC 中，由正弦定理 ，asin A bsin B得 bsin Aasin B，又由 bsin Aacos ，(B 6)得 asin Bacos ，(B 6)即 sin Bcos ，可得 tan B .(B 6) 3又因为 B(0 ， )，可得 B .
16、3(2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c 3，B ，3有 b2a 2c 22ac cos B7，故 b .7由 bsin Aacos ，可得 sin A .(B 6) 37因为 ac，故 cos A .27因此 sin 2A2sin Acos A ，437cos 2A2cos 2A1 .17所以，sin(2AB) sin 2Acos Bcos 2Asin B .437 12 17 32 3314【新高考创新预测】15.(数学文化) 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S.若 a2sin C4sin A，(ac) 2 12b 2，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积14a2c2 (a2 c2 b22 )2 为_.【答案】 3【解析】 根据正弦定理及 a2sin C4sin A，可得 ac4，由(ac )212b 2，可得 a2 c2b 24，所以 SABC 14a2c2 (a2 c2 b22 )2 . 14（16 4） 3