1、第五篇 数列及其应用专题 5.02 等差数列及其前 n 项和【考试要求】 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 .数学语言表达式：a n1 a nd(nN *，d 为常数).(2)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A .a b22.等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列a
2、n的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana 1(n1) d.(2)前 n 项和公式：S nna 1 .n（n 1）d2 n（a1 an）23.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a na m(nm )d(n，m N *).(2)若a n为等差数列，且 kl mn(k，l，m ，nN *)，则 aka la ma n.(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 ak，a km ，a k2m ，(k，m N *)是公差为 md 的等差数列.(4)若 Sn为等差数列a n的前 n 项和，则数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，也是等差数列.(5)若 Sn为等差数列a n的前 n 项和
3、，则数列 也为等差数列.Snn【微点提醒】1.已知数列a n的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列a n一定是等差数列，且公差为 p.2.在等差数列a n中，a 10，d0，则 Sn存在最大值；若 a10，d0，则 Sn存在最小值.3.等差数列a n的单调性：当 d0 时，a n是递增数列；当 d0 时，a n是递减数列；当 d0 时，a n是常数列.4.数列a n是等差数列 SnAn 2Bn(A ，B 为常数).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 a na n2 .( )(2)等差
4、数列a n的单调性是由公差 d 决定的.( )(3)数列a n为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( )(4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (3)若公差 d0，则通项公式不是 n 的一次函数.(4)若公差 d0，则前 n 项和不是二次函数.【教材衍化】2.(必修 5P46A2 改编)设数列a n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8 等于( )A.31 B.32 C.33 D.34【答案】 B【解析】 由已知可得 a1 5d 2，5a1 10d 30，)解得 S 88
5、a 1 d32.a1 263，d 43，) 8723.(必修 5P68A8 改编)在等差数列a n中，若 a3a 4a 5a 6a 7450，则 a2a 8_.【答案】 180【解析】 由等差数列的性质，得 a3a 4a 5a 6a 75a 5450，a 590，a 2a 82a 5180.【真题体验】4.(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和.若 3S3S 2S 4，a 12，则 a5( )A.12 B.10 C.10 D.12【答案】 B【解析】 设等差数列a n的公差为 d，则 3(3a13d) 2a 1d4a 16d，即 d a1.又32a12，d3，a 5a 14d
6、24(3) 10.5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列 an中，a 21，前 5 项和 S515，则数列 an的公差为( )A.3 B. C.2 D.452【答案】 D【解析】 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，因为 所以a2 1，S5 15，) a1 d 1，5a1 542 d 15，)解得 d4.6.(2019苏北四市联考)在等差数列 an中，已知 a3a 80，且 S90，S 90，S 9 9a 50，S 1，S 2，S 9 中最小的是 S5.【考点聚焦】考点一 等差数列基本量的运算【例 1】 (1)(一题多解)(2017 全国卷) 记 Sn为等差数列a n的前 n 项和
7、.若 a4a 524，S 648，则a n的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2019潍坊检测)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 1122，a 412，若 am30，则 m( )A.9 B.10 C.11 D.15【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)法一 设等差数列 an的公差为 d，依题意得 所以 d4.（a1 3d） （a1 4d） 24，6a1 652 d 48， )法二 等差数列a n中，S 6 48，则 a1 a616a 2a 5，（a1 a6）62又 a4a 524，所以 a4a 22d24168，则 d4.(2)设等差数列a n的公差为 d，依题
8、意得解得S11 11a1 11（11 1）2 d 22，a4 a1 3d 12， ) a1 33，d 7， )ama 1(m1)d7m4030，m10.【规律方法】 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练 1】 (1)等差数列 log3(2x)，log 3(3x)，log 3(4x2)，的第四项等于( )A.3 B.4 C.log318 D.log324
9、(2)(一题多解 )设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，S 36，S 412，则 S6_.【答案】 (1)A (2)30【解析】 (1)log 3(2x)，log 3(3x)，log 3(4x2)成等差数列，log 3(2x)log 3(4x2)2log 3(3x)，log 32x(4x2)log 3(3x)2，则 2x(4x2)9x 2，解之得 x4，x 0(舍去).等差数列的前三项为 log38，log 312，log 318，公差 dlog 312log 38log 3 ，32数列的第四项为 log318log 3 log 3273.32(2)法一 设数列a n的首项为 a1，公差为
10、 d，由 S36，S 412，可得 解得S3 3a1 3d 6，S4 4a1 6d 12，) a1 0，d 2，)所以 S66a 115d30.法二 由a n为等差数列，故可设前 n 项和 SnAn 2Bn，由 S36，S 412 可得 S3 9A 3B 6，S4 16A 4B 12，)解得 即 Snn 2n，则 S636630.A 1，B 1，)考点二 等差数列的判定与证明 【例 2】 (经典母题)若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2S nSn1 0(n2) ，a 1 .12(1)求证： 成等差数列；1Sn(2)求数列a n的通项公式.【答案】见解析【解析】(1)证明 当 n2
11、 时，由 an2S nSn1 0，得 SnS n1 2S nSn1 ，所以 2，1Sn 1Sn 1又 2，1S1 1a1故 是首项为 2，公差为 2 的等差数列.1Sn(2)解 由(1)可得 2n，S n .1Sn 12n当 n2 时，anS nS n1 .12n 12（n 1） n 1 n2n（n 1） 12n（n 1）当 n1 时，a 1 不适合上式.12故 an12，n 1， 12n（n 1），n 2.)【迁移探究 1】 本例条件不变，判断数列a n是否为等差数列，并说明理由 .【答案】见解析【解析】因为 anS nS n1 (n2) ，a n2S nSn1 0，所以 SnS n1 2S
12、 nSn1 0(n 2).所以 2(n2).1Sn 1Sn 1又 2，1S1 1a1所以 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 .1Sn所以 2(n1)22n，故 Sn .1Sn 12n所以当 n2 时，a nS nS n1 ，12n 12（n 1） 12n（n 1）所以 an1 ，又 an1 a n . 12n（n 1） 12n（n 1） 12n（n 1） 12n( 1n 1 1n 1) 1n（n 1）（n 1）所以当 n2 时，a n1 a n的值不是一个与 n 无关的常数，故数列a n不是一个等差数列.【迁移探究 2】 本例中，若将条件变为 a1 ，na n1 (n1) ann(n1)
13、，试求数列a n的通项公式.35【答案】见解析【解析】由已知可得 1，即 1，又 a1 ，an 1n 1 ann an 1n 1 ann 35 是以 为首项，1 为公差的等差数列，ann a11 35 (n1)1 n ， ann 2 n.ann 35 25 25【规律方法】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 ana n1 为同一常数 .(2)等差中项法：验证 2an1 a na n2 (n3，nN *)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a npnq(p，q 为常数) an是等差数列.(2)前 n 项和公式：Sn An 2
14、Bn(A，B 为常数)a n是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【 训 练 2】 (2017全 国 卷 )记 Sn为 等 比 数 列 an的 前 n 项 和 .已 知 S2 2， S3 6.(1)求a n的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ，S n，S n2 是否成等差数列.【答案】见解析【解析】(1)设a n的公比为 q，由题设可得解得a1(1 q) 2，a1(1 q q2) 6，) q 2，a1 2.)故a n的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得Sn (1) n .a1(1 qn)1 q 23 2n 13由于 Sn2 S n1 (1) n .43 2n 3 2n 2
15、32 2S n， 23 ( 1)n2n 13 故 Sn1 ，S n，S n2 成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用 角度 1 等差数列项的性质【例 31】 (2019临沂一模) 在等差数列a n中，a 13a 8a 15120，则 a2a 14 的值为( )A.6 B.12 C.24 D.48【答案】 D【解析】 在等差数列a n中，a 13a 8a 15120，由等差数列的性质，a 13a 8a 155a 8120，a 824，a 2a 142a 848.角度 2 等差数列和的性质【例 32】 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S39， S636，则 a7a 8a 9 等于(
16、)A.63 B.45 C.36 D.27【答案】 B【解析】 由a n是等差数列，得 S3，S 6S 3，S 9S 6 为等差数列，即 2(S6S 3)S 3( S9S 6)，得到 S9S 62S 63S 345，所以 a7a 8a 945.【规律方法】 1.项的性质：在等差数列a n中，若 mnpq( m，n， p，qN *)，则 ama na pa q.2.和的性质：在等差数列a n中，S n为其前 n 项和，则(1)S2nn(a 1a 2n)n(a n an1 )；(2)S2n1 (2 n 1)an.【训练 3】 (1)已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a12 015， 6，
17、则 S2 S2 0152 015 S2 0092 009019_.(2)(2019荆州一模)在等差数列a n中，若 a3a 4a 53，a 88，则 a12 的值是( )A.15 B.30 C.31 D.64(3)等差数列a n与b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 ，则 等于( )SnTn 3n 22n 1 a7b7A. B. C. D.3727 1914 3929 43【答案】 (1)6 057 (2)A (3)A【解析】 (1)由等差数列的性质可得 也为等差数列.Snn设其公差为 d，则 6d6，d1.S2 0152 015 S2 0092 009故 2 018d2 0152 0
18、183，S2 0192 019 S11S 2 01932 0196 057.(2)由 a3a 4a 53 及等差数列的性质，3a 43，则 a41.又 a4a 122a 8，得 1a 1228.a 1216115.(3) a7b7 2a72b7 a1 a13b1 b13a1 a132 13b1 b132 13 S13T13 .313 2213 1 3727考点四 等差数列的前 n 项和及其最值【例 4】 (2019衡水中学质检)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a 10，常数 0，且 a1anS 1S n对一切正整数 n 都成立.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 a10，100，当
19、n 为何值时，数列 的前 n 项和最大？lg 1an【答案】见解析【解析】(1)令 n1，得 a 2S 12a 1，a 1(a12)0，21因为 a10，所以 a1 ，2当 n2 时，2a n S n，2a n1 S n1 ，2 2两式相减得 2an2a n1 a n(n2).所以 an2a n1 (n2)，从而数列a n为等比数列，a na 12n1 .2n(2)当 a10，100 时，由(1)知，a n ，2n100则 bnlg lg lg 100lg 2 n2nlg 2，1an 1002n所以数列b n是单调递减的等差数列，公差为lg 2，所以 b1b2b6lg lg lg 10，100
20、26 10064当 n7 时，b nb 7lg 0，d0 时，满足 的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm(当 am1 0 时，S m1 也为最小值).am 0，am 1 0)【训练 4】 (1)等差数列a n的公差 d0，且 a3，a 5，a 15 成等比数列，若 a55，S n为数列a n的前 n 项和，则数列 的前 n 项和取最小值时的 n 为( )SnnA.3 B.3 或 4C.4 或 5 D.5(2)已知等差数列a n的首项 a120，公差 d2，则前 n 项和 Sn的最大值为_.【答案】 (1)B (2)110【解析】 (1)由题意知 （a1 2d）（a1 14d） 25，a1
21、4d 5， )由 d0，解得 a13，d2， 3n1n4，Snn na1 n（n 1）2 dn则 n40，得 n4，数列 的前 n 项和取最小值时的 n 为 3 或 4.Snn(2)因为等差数列a n的首项 a120，公差 d2，Snna 1 d20n 2n（n 1）2 n（n 1）2n 221n ，(n 212)2 (212)2 又因为 nN *，所以 n10 或 n11 时，S n取得最大值，最大值为 110.【反思与感悟】1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前 n 项和 SnAn 2Bn 及通项 anpnq 来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解
22、有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于 a1， d 的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 ad，a，a d.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.【易错防范】1.用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an1 a nd(n2) 时，应注意验证 a2a 1 是否等于 d，若 a2a 1d，则数列a n不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时，一定要注意自变量 n 是正整数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、
23、选择题1.已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 108，则 a100( )A.100 B.99 C.98 D.97【答案】 C【解析】 设等差数列a n的公差为 d，由已知，得 所以9a1 36d 27，a1 9d 8，) a1 1，d 1，)所以 a100a 199d19998.2.(2019淄博调研)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 ( )a6a5 911 S11S9A.1 B.1 C.2 D.12【答案】 A【解析】 由于 1.S11S9 11a69a5 119 9113.(2019中原名校联考)若数列 an满足 d(nN *，d 为常数)，则称数列a n为调和数
24、列，已知数1an 1 1an列 为调和数列，且 x1x 2x 20200，则 x5x 16( )1xnA.10 B.20 C.30 D.40【答案】 B【解析】 依题意， x n1 x nd，11xn 111xnx n是等差数列.又 x1x 2x 20 200.20（x1 x20）2x 1x 2020，从而 x5x 16x 1x 2020.4.(2019北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道 “八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，
25、那么第 8 个儿子分到的绵是( )A.174 斤 B.184 斤 C.191 斤 D.201 斤【答案】 B【解析】 用 a1，a 2，a 8 表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列 a1，a 2，a 8 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996，8a 1 17996，解之得 a165.872a 865717184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤.5.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 19， 4，则 Sn取最大值时的 n 为( )S99 S55A.4 B.5 C.6 D.4 或 5【答案】 B【解析】 由a n为等差数列，得 a 5a 32d
26、 4，S99 S55即 d2，由于 a19，所以 an2n11，令 an2n11 ，112所以 Sn取最大值时的 n 为 5.二、填空题6.已知等差数列a n的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为_.【答案】 10【解析】 设项数为 2n ，则由 S 偶 S 奇 nd 得，25152n 解得 n5，故这个数列的项数为 10.7.已知数列a n满足 a11，a na n1 2a nan1 ，则 a6_.【答案】 111【解析】 将 ana n1 2a nan1 两边同时除以 anan1 ， 2.1an 1 1an所以 是以 1 为首项， 2
27、为公差的等差数列，1an 1a1所以 15211，即 a6 .1a6 1118.设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，S 1016，S 100S 90 24，则 S100_.【答案】 200【解析】 依题意，S 10，S 20S 10，S 30S 20，S 100S 90 依次成等差数列，设该等差数列的公差为 d.又S1016，S 100S 9024，因此 S100S 902416(101)d169d，解得 d ，因此 S10010S 1089d1016 200.1092 1092 89三、解答题9.等差数列a n中，a 3a 44，a 5a 76.(1)求a n的通项公式；(2)设 bna
28、 n，求数列b n的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.9 0，2.62.【答案】见解析【解析】(1)设数列a n首项为 a1，公差为 d，由题意得 解得2a1 5d 4，a1 5d 3. ) a1 1，d 25. )所以a n的通项公式为 an .2n 35(2)由(1)知，b n .2n 35 当 n1，2，3 时，1 5 时，a n0，|a 1| |a2| | a15|(a 1a 2a 3a 4)(a 5a 6a 15)20110130.14.(2019长沙雅礼中学模拟) 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 a1a 1326，S 981.(1)求a n的通项
29、公式；(2)令 bn ，T nb 1b 2b n，若 30Tnm0 对一切 nN *成立，求实数 m 的最小值.1an 1an 2【答案】见解析【解析】(1)等差数列a n中，a 1a 1326，S 981， 解得2a7 26，9a5 81，) a7 13，a5 9，)d 2，a7 a57 5 13 92a na 5(n5)d92( n5) 2n1.(2)b n 1an 1an 2 1（2n 1）（2n 3） ，12( 12n 1 12n 3)T n12(13 15 15 17 12n 1 12n 3) ，12(13 12n 3) 随着 n 的增大而增大，知 Tn单调递增.12(13 12n 3)又 0，T n ，m5，12n 3 16实数 m 的最小值为 5.【新高考创新预测】15.(多填题) 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，满足 S2S 6， 2，则 a1_，公差S55 S44d_.【答案】 14 4【解析】 由a n为等差数列，得数列 是首项为 a1，公差为 的等差数列，Snn d2 2， 2d4，又 S2S 62a146a 1 4a114. S55 S44 d2 652