1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sincos cossin.cos()cos cossinsin.tan() .tan tan 1tan tan 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos.cos
2、2cos 2sin 22cos 2112sin 2.tan 2 .2tan 1 tan23.函数 f()asin bcos (a，b 为常数) ，可以化为 f() sin() 或 f()a2 b2 (其 中 tan ba) cos() .a2 b2 (其 中 tan ab)【微点提醒】1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2 ，sin 2 .1 cos 22 1 cos 223.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin .2 (4)【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)两角和与差的正弦、余
3、弦公式中的角 ， 是任意的.( )(2)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立.( )(3)公式 tan( ) 可以变形为 tan tan tan tan 1 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立.( )(4)存在实数 ，使 tan 22tan .( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (3)变形可以，但不是对任意的 ， 都成立， ， ， k(kZ).2【教材衍化】2.(必修 4P127T2 改编)若 cos ， 是第三象限的角，则 sin 等于( )45 ( 4)A. B. C. D.210 210 7210 7210【答案】
4、C【解析】 是第三象限的角，sin ，1 cos235sin .( 4) 35 22 ( 45) 22 72103.(必修 4P146A4(2)改编)tan 20tan 40 tan 20tan 40_.3【答案】 3【解析】 tan 60tan(2040) ，tan 20 tan 401 tan 20tan 40tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40) tan 20tan 40，3 3原式 tan 20tan 40 tan 20tan 40 .3 3 3 3【真题体验】4.(2018全国卷)若 sin ，则 cos 2( )13A. B. C. D.89 79 79
5、 89【答案】 B【解析】 因为 sin ，cos 212sin 2，13所以 cos 21 2 1 .(13)2 29 795.(2019青岛一模)已知角 是终边经过点 P(sin 47，cos 47)，则 sin(13) ( )A. B. C. D.12 32 12 32【答案】 A【解析】 由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则 sin(13)sin cos 13 cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60 .126.(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_.【答案】
6、12【解析】 由 sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得 22sin cos 2cos sin 1，整理得 sin( ) .12【考点聚焦】考点一 三角函数式的化简【例 1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin( )_.(2)化简： (00，所以原式cos .22 2【规律方法】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名
7、化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练 1】 (1)cos()cos sin()sin ( )A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简： _.2cos4 2cos2 122tan(4 )sin2(4 )【答案】 (1)D (2) cos 212【解析】 (1)cos()cos sin()sin cos( ) cos .(2)原式12（4cos4 4cos2 1）2sin(4 )cos(4 ) cos2(4 ) （2cos2 1）24sin(4 )cos(4 )cos222sin(2 2) cos 2.cos222cos 2 12考点二 三角函数式的求值 角度 1
8、 给角(值)求值【例 21】 (1)计算： _.cos 10 3cos（ 100）1 sin 10【答案】 2【解析】 .cos 10 3cos（ 100）1 sin 10 cos 10 3cos 801 cos 80 cos 10 3sin 102sin 40 2sin（10 30）2sin 40 2(2)(2018江苏卷)已知 ， 为锐角， tan ，cos() .43 55求 cos 2 的值；求 tan()的值.【答案】见解析【解析】因为 tan ，tan ，43 sin cos 所以 sin cos .43因为 sin2cos 21，所以 cos2 ，925因此，cos 2 2cos
9、21 .725因为 ， 为锐角，所以 (0 ，).又因为 cos() ，55所以 sin() ，1 cos2（ ）255因此 tan()2.因为 tan ，所以 tan 2 ，43 2tan 1 tan2 247因此，tan( )tan2() .tan 2 tan（ ）1 tan 2tan（ ） 211角度 2 给值求角【例 22】 (1)(2019河南六市联考) 已知 cos ，cos() ，若 00，12 171 1217 13又 (0，)，00，2tan 1 tan22131 (13)2 340 ，2cos() .1114cos cos( ) cos( )cos sin()sin .11
10、14 17 5314 437 4998 12 .3(3)由题意知 sin 2，2（cos2 sin2）cos sin 32(cos sin ) sin 2，则 4(1sin 2)3sin 22，3因此 sin 2 或 sin 22(舍).23考点三 三角恒等变换的简单应用【例 3】 (2019杭州模拟)设函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x 的图象关于直线 x 对称，其3中 ， 为常数，且 .(12，1)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x) 的图象经过点 ，求函数 f(x)在区间 上的最值.(4，0) 0，35【答案】见解析【解析】(1)f(x)s
11、in 2x2 sin xcos xcos 2x3 sin 2xcos 2x 32sin ，(2x 6)因为图象关于直线 x 对称，所以 2 k (kZ )，6 2所以 (kZ)，又 ，k2 13 (12，1)令 k1 时， 符合要求，56所以函数 f(x)的最小正周期为 .2256 65(2)因为 f 0 ，(4)所以 2sin 0，则 .(2564 6) 2所以 f(x)2sin .(53x 6) 2由 0x ，知 x ，35 6 53 6 56当 x ，即 x0 时，f(x)取最小值1 .53 6 6 2当 x ，即 x 时，f(x) 取最大值 2 .53 6 2 25 2【规律方法】 1
12、.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如 yasin xbcos x 化为 y sin(x )，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性 .a2 b2【训练 3】 (2017北京卷)已知函数 f(x) cos 2sin xcos x.3 (2x 3)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求证：当 x 时，f (x) . 4，4 12【答案】见解析【解析】(1)解 f (x) cos 2sin xcos x3 (2x 3) cos 2x sin 2xsin 2x32 32 sin 2x cos 2xsin ，12 32 (2
13、x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)证明 由(1)知 f(x)sin .(2x 3)x ， 2x ， 4，4 3 6，56当 2x ，即 x 时，f (x)取得最小值 .3 6 4 12f(x) 成立.12【反思与感悟】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明) 问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.【易错防范】1.运用公式时要注意
14、审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，) 范围内，sin 所对应的角 不是唯一的.223.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】缩小角的范围常用策略在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围.类型 1 由三角函数值的符号缩小角的范围【例 1】 (一题多解)已知 ， (0 ，)，tan 2，co
15、s ，求 2 的值.7210【答案】见解析【解析】 法一 因为 tan 20，(0，)，所以 .(0，2)同理可得 ，且 tan .(2，) 17所以 ( ，0)，tan() 30，所以 ，所以 2(，0).tan tan 1 tan tan ( ， 2)又 tan(2) tan( ) 1，tan tan（ ）1 tan tan（ ）所以 2 .4法二 因为 tan 21，(0，)，所以 .(4，2)因为 cos ，(0 ，)，所以 ，7210 (2，)所以 2 .( 2，2)因为 tan(2 )tan ( ) 1，tan tan（ ）1 tan tan（ ）所以 2 .4【评析】 三角函数值
16、的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层：先由条件中 tan ，cos 的符号缩小 ， 的范围，得到 的范围，再由 的范围，结合 tan( )的符号进而缩小 的范围，得到 2 的范围.难点是想到缩小 的范围.另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.法二较法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势.类型 2 由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围【例 2】 设 ， (0，)，sin( ) ，tan ，则 cos _.513 2 12【答案】 1665【解析】 因为 tan ，2 12所以
17、 sin 2sin cos ，cos cos 2 sin 2 2 22sin 2cos2sin22 cos222tan 21 tan22 45 2 2cos22 sin22cos22 sin221 tan221 tan22 35.(12，22)又 (0，)，所以 a ，又 (0 ，) ，所以 .又 sin() ，所以 (4，3) (4，43) 513 (0，12)，所以 cos( ) ，所以 cos cos( ) cos()cos sin()sin .(56，) 1213 1665【评析】 本题缩小角的范围分为两层：(1)由 cos ，结合 (0，)，缩小角 的范围，得到35 (12，22)
18、的范围；(2)由 sin() ，结合 上不单调，解决办法是画图.513 (0，12) (4，43)【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、选择题1.若 tan ，则 cos 2 ( )13A. B. C. D.45 15 15 45【答案】 D【解析】 cos 2cos 2sin 2 .cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 452.(2019北京海淀区)若 cos ，则 cos ( )( 3) 45 (3 2)A. B. C. D.2325 2325 725 725【答案】 D【解析】 cos ，( 3) 45cos sin sin ，( 3) 2
19、( 3) (6 ) 45cos 12sin 2 .(3 2) (6 ) 7253.(2019日照调研) ( )sin 101 3tan 10A. B. C. D.114 12 32【答案】 A【解析】 sin 101 3tan 10 sin 10cos 10cos 10 3sin 10 .2sin 10cos 104(12cos 10 32sin 10) sin 204sin（30 10） 144.(2019信阳一模)函数 f(x)3sin cos 4cos 2 (xR)的最大值等于 ( )x2 x2 xA.5 B. C. D.292 52【答案】 B【解析】 由题意知 f(x) sin x4
20、32 1 cos x2 sin x2cos x2 sin(x )2( 其中 tan )，又因为 xR，所以 f(x)的最大值为 .32 52 43 925.(2019济南模拟)若 sin ，A ，则 sin A 的值为( )(A 4) 7210 (4， )A. B. C. 或 D.35 45 35 45 34【答案】 B【解析】 A ，A ，(4，) 4 (2，54)cos 0，sin cos ，1 2sin cos 425由得 sin ，cos ，tan ，210 7210 17tan .( 4) tan 11 tan 43法二 ，( 4) (4 ) 2sin cos ，( 4) (4 )
21、35又 2k 2k(kZ)，22k 2k (kZ)，4 4 4cos ，sin ，( 4) 45 (4 ) 45tan ，(4 )sin(4 )cos(4 ) 43tan tan .( 4) (4 ) 4313.(2019广东七校联考)已知 sin cos ，则 cos _.( 6) 33 (6 )【答案】 13【解析】 sin cos ，( 6) 33 sin cos ， sin ，32 32 33 3 ( 3) 33则 sin .( 3) 13故 cos sin sin .(6 ) 2 (6 ) ( 3) 1314.(2019烟台二中月考)已知函数 f(x) cos(x )为奇函数，且 f
22、 0，其中 aR， (0 ，).(a 2cos2x2) (2)(1)求 a， 的值；(2)若 ，f cos cos 20，求 cos sin 的值.(2，) (2 8) 25 ( 4)【答案】见解析【解析】(1)因为 f(x) cos(x)是奇函数，(a 2cos2x2)所以 cos(x ) cos ，(a 2cos2x2) (a 2cos2x2) ( x )化简、整理得，cos xcos 0，则有 cos 0，由 (0，)，得 ，2所以 f(x)sin x .(a 2cos2 x2)由 f 0，得(a1)0，即 a1.(2)(2)由(1)知 f(x) sin 2x，12f cos cos 2
23、0sin cos cos 2，(2 8) 25 ( 4) ( 4) 45 ( 4)因为 cos 2sin sin(2 2) 2( 4)2sin cos ，( 4) ( 4)所以 sin cos2 sin .( 4) 85 ( 4) ( 4)又 ，(2，)所以 sin 0 或 cos2 .( 4) ( 4) 58由 sin 0 ，( 4) 34所以 cos sin cos sin ；34 34 2由 cos2 ， ，( 4) 58 34 454得 cos (cos sin ) cos sin .( 4) 522 12 522 52综上，cos sin 或 cos sin .252【新高考创新预测】15.(试题创新) 设 ， 0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2 )sin( 2 )的取值范围为( )A. ，1 B.1， 2 2C.1，1 D.1， 2【答案】 C【解析】 sin cos cos sin 1， sin()1， 0， ，由 ，2 0 ，0 2 ) 2sin(2) sin(2 )sin sin( 2) cos sin (2 2) sin ， ， ，1 sin 1，即所求的取值范围是 1，1，2 ( 4) 2 34 4 54 2 ( 4)故选 C.