1、第五篇 数列及其应用专题 5.03 等比数列及其前 n 项和【考试要求】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.【知识梳理】1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列 .数学语言表达式： q(n2，q 为非零常数).anan 1(2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其中 G .ab2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式(1)若等比数列a n的
2、首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana 1qn1 ；通项公式的推广：a na mqnm .(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，S nna 1；当 q1 时，S n .a1（1 qn）1 q a1 anq1 q3.等比数列的性质已知a n是等比数列，S n 是数列a n的前 n 项和.(1)若 klmn(k，l，m，nN *)，则有 akala man.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm ，a k2m ， 仍是等比数列，公比为 qm.(3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，S n，S 2nS n，S 3nS 2n，仍成等比数列，其公比为 qn.
3、【微点提醒】1.若数列a n为等比数列，则数列ca n(c0)，|a n|，a ， 也是等比数列.2n 1an2.由 an1 qa n，q0，并不能立即断言a n为等比数列，还要验证 a10.3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.( )(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.( )(3)数列a n的通项公式是 ana n，则其前 n 项和为 Sn .( )a(1 an)1 a(4
4、)数列a n为等比数列，则 S4，S 8S 4，S 12S 8 成等比数列.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)在等比数列中，q0.(2)若 a0，b0，c0 满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列 .(3)当 a1 时，S nna.(4)若 a11，q1，则 S40，S 8S 40，S 12S 80，不成等比数列 .【教材衍化】2.(必修 5P53A1(2)改编)已知a n是等比数列，a 22，a 5 ，则公比 q 等于( )14A. B.2 C.2 D.12 12【答案】 D【解析】 由题意知 q3 ，即 q .a5a2 18 123.(必修 5P54A8
5、改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_.【答案】 27，81【解析】 设该数列的公比为 q，由题意知，2439q 3，q 327，q3.插入的两个数分别为 9327，27381.【真题体验】4.(2019天津和平区质检)已知等比数列 an满足 a11，a 3a54(a 41)，则 a7 的值为( )A.2 B.4 C. D.692【答案】 B【解析】 根据等比数列的性质得 a3a5a ，a 4(a 41) ，即(a 42) 20，解得 a42.24 24又a 11，a 1a7a 4，a 74.245.(2018北京卷)“十二平均律 ”是通用的音律体
6、系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音122的频率为( )A. f B. f C. f D. f32 322 1225 1227【答案】 D【解析】 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为 的等比数列，设此数列为a n，则122a8 f，即第八个单音的频率为 f.1227 12276.(2015全国卷)在数列a n中，a 12，a n1 2a n，S n 为 an的前 n 项和.若
7、Sn126，则 n_.【答案】 6【解析】 由 an1 2a n，知数列a n是以 a12 为首项，公比 q2 的等比数列，由 Sn 126，2（1 2n）1 2解得 n6.【考点聚焦】考点一 等比数列基本量的运算【例 1】 (1)(2017全国卷)设等比数列a n满足 a1a 21，a 1a 33，则 a4_.(2)等比数列a n的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3 ，S 6 ，则 a8_.74 634【答案】 (1)8 (2)32【解析】 (1)由a n为等比数列，设公比为 q.由 得a1 a2 1，a1 a3 3，) a1 a1q 1，a1 a1q2 3， )显然 q1，a
8、 10，得 1q3，即 q2，代入式可得 a11，所以 a4a 1q31(2) 38.(2)设数列a n首项为 a1，公比为 q(q1)，则 解得S3 a1（1 q3）1 q 74，S6 a1（1 q6）1 q 634，) a114，q 2，)所以 a8a 1q7 2732.14【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组) 便可迎刃而解.2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，a n的前 n 项和 Snna 1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sn .a
9、1(1 qn)1 q a1 anq1 q【训练 1】 (1)等比数列a n中各项均为正数，S n 是其前 n 项和，且满足 2S38a 13a 2，a 416，则 S4( )A.9 B.15 C.18 D.30(2)(2017北京卷)若等差数列a n和等比数列b n满足 a1b 11，a 4b 48，则 _.a2b2【答案】 (1)D (2)1【解析】 (1)设数列a n的公比为 q(q0)，则 2S3 2（a1 a1q a1q2） 8a1 3a1q，a1q3 16， )解得 q2，a 12，所以 S4 30.2（1 24）1 2(2)an为等差数列，a 11，a 48a 13d13d，d3，
10、a 2a 1d132.b n为等比数列，b 11，b 48b 1q3 q3，q2，b 2b 1q2，则 1.a2b2 22考点二 等比数列的判定与证明【例 2】 已知数列a n的前 n 项和 Sn1a n，其中 0.(1)证明a n是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .3132【答案】见解析【解析】(1)证明 由题意得 a1S 11a 1，故 1，a 1 ，a 10.11 由 Sn1a n， Sn1 1a n1 ，得 an1 a n1 a n，即 an1 (1)a n，由 a10，0 得 an0，所以 .an 1an 1因此a n是首项为 ，公比为 的等比数列，11 1于是 an
11、 .11 ( 1)n 1 (2)解 由(1)得 Sn1 .( 1)n 由 S5 ，得 1 ，即 .3132 ( 1)5 3132 ( 1)5 132解得 1.【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n1 的情形进行验证.【训练 2】 (2019广东省级名校联考) 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，且满足 Sn2a nn4.(1)证明：S n n2为等比数列；(2)求数列S n的前 n 项和 Tn.【答案】见解析【解析】
12、(1)证明 因为 anS nS n1 (n2)，所以 Sn2(S nS n1 )n4(n2) ，则 Sn2S n1 n4(n2)，所以 Snn22S n1 (n1)2(n2) ，又由题意知 a12a 13，所以 a13，则 S1124，所以S nn2是首项为 4，公比为 2 等比数列.(2)解 由(1)知 Snn22 n1 ，所以 Sn2 n1 n2，于是 Tn(2 2 232 n1 )(12n) 2n 2n .4（1 2n）1 2 n（n 1）2 2n 3 n2 3n 82考点三 等比数列的性质及应用【例 3】 (1)等比数列a n的各项均为正数，且 a5a6a 4a718，则 log3a1
13、log 3a2log 3a10( )A.12 B.10 C.8 D.2log 35(2)已知数列a n是等比数列，S n 为其前 n 项和，若 a1a 2a 34，a 4a 5a 68，则 S12( )A.40 B.60 C.32 D.50【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由等比数列的性质知 a5a6a 4a7，又 a5a6 a4a718，所以 a5a69，则原式log 3(a1a2a10)log 3(a5a6)5 10.(2)数列 S3，S 6S 3，S 9S 6，S 12S 9是等比数列，即数列 4，8，S 9S 6，S 12S 9是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 S9S
14、 6a 7a 8a 916，S 12S 9a 10a 11a 1232，因此 S1248163260.【规律方法】 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则aman apaq”，可以减少运算量，提高解题速度 .2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练 3】 (1)(2019菏泽质检) 在等比数列a n中，若 a3，a 7 是方程 x24x20 的两根，则 a5 的值是( )A.2 B. C. D.2 2 2(2)(一题多解 )设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若
15、3，则 _.S6S3 S9S6【答案】 (1)B (2)73【解析】 (1)根据根与系数之间的关系得 a3a 74，a3a72，由 a3a 740，所以 a31 的 n 的最小值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【答案】 C【解析】 a n是各项均为正数的等比数列，且 a2a4 a3，a a 3，a 31.又23q1，a 11(n3)，T nTn1 (n4，nN *)，T11，故 n 的最小值为 6.12.数列a n中，已知对任意 nN *，a 1a 2a 3a n3 n1，则 a a a a 等于( )21 2 23 2nA.(3n 1)2 B. (9n1)12C.9n1 D. (3n1
16、)14【答案】 B【解析】 a 1a 2a n3 n1，nN *，n2 时，a 1a 2a n1 3 n1 1，当 n2 时，a n3 n3 n1 23 n1 ，又 n1 时，a 12 适合上式，a n23 n1 ，故数列a 是首项为 4，公比为 9 的等比数列.2n因此 a a a (9n1).21 2 2n4(1 9n)1 9 1213.(2019华大新高考联盟质检) 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a ，且 S4S 12S 8，则25_.【答案】 83【解析】 a n是等比数列，a 3a112a ，25a 2a ，q 42，27 25S 4S 12S 8， ，a1
17、（1 q4）1 q a1（1 q12）1 q a1（1 q8）1 q1q 41q 12(1q 8)，将 q42 代入计算可得 .8314.已知数列a n满足 a11，a n1 2a n( 为常数).(1)试探究数列a n 是不是等比数列，并求 an；(2)当 1 时，求数列n(a n)的前 n 项和 Tn.【答案】见解析【解析】(1)因为 an1 2a n，所以 an1 2(a n).又 a11，所以当 1 时，a 1 0 ，数列 an不是等比数列，此时 ana n10，即 an1；当 1 时， a1 0，所以 an0，所以数列a n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，此时 an(1 )2
18、n1 ，即 an(1 )2n1 .(2)由(1)知 an2 n1，所以 n(an1)n2 n，Tn222 232 3n2 n，2Tn2 222 332 4n2 n1 ，得：T n22 22 32 nn2 n1 n2 n1 2 n1 2n2 n1 (1n)2 n1 2.2（1 2n）1 2所以 Tn(n1)2 n1 2.【新高考创新预测】15.(创新思维) 已知 a1，a 2，a 3，a 4 成等比数列，且 a1a 2a 3a 4e a1a 2a 3.若 a11，则下列选项可能成立的是( )A.a1a2a3a4 D.以上结论都有可能成立【答案】 A【解析】 构造函数 f(x)e xx1，f (x)e x10，x0，得极小值 f(0)0，故 f(x)0，即 exx1 恒成立(x 0 取等号).a 1a 2a 3a 4e a1a 2a 3a1a 2a 31a 41q0，且 a21，a 31，若公比 q(0，1，则 4a1a 1a 2a 3a 4e a1a 2a 3e2a 17ea17a174a 1，产生矛盾.所以公比 q1，故 a1a2a3a4.故选 A.