1、 第四篇 三角函数与解三角形专题 4.05 函数 yAsin(x)的图象与性质【考试要求】 1.结合具体实例，了解 yA sin(x)的实际意义；能借助图象理解参数 ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型【知识梳理】1.用五点法画 yA sin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 .x 2 32 2 x 0 2 32 2yAsin(x ) 0 A 0 A 02.函数 yAsin( x)的有关概念振幅 周期 频率 相位 初相yAsin( x)(A0，0)，x0， ) 表示一个振动量时 A
2、 T2f 1T 2x 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x )的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音) ，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型 f(x)Asin(x)k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数 f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由 ysin x 到 ysin(x )(0，0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度.2.函数 yAsin( x)的对称轴由 xk (kZ)确
3、定；对称中心由 x k( kZ )确定其横坐标.23.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 yAsin x，其中 x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高 )，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).|24.交变电流可以用三角函数表达为 yAsin(x )，其中 x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流， 表|2示频率， 表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)将函数 y3sin 2x 的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是 y3sin .( )4 (2x 4)(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移
4、 ”中平移的长度一致.( )(3)函数 yAcos(x )的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( )T2(4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的 .( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)将函数 y3sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析式是 y3cos 2x.4(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为| ，而“先伸缩，后平移 ”的平移单位长度为 .故当 1 时平|移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修 4P56T3 改编)y2sin 的振幅、频率和初相分别为( )(12x 3
5、)A.2，4， B.2， ，3 14 3C.2， ， D.2，4 ，14 3 3【答案】 C【解析】 由题意知 A2，f ，初相为 .1T 2 14 33.(必修 4P62 例 4 改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现 .下表是今年前四个月的统计情况：月份 x 1 2 3 4收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_.【答案】 y6cos x2【解析】 设 yA sin(x)B( A0，0)，由题意得 A1，B6，T4，因为 T ，所以 ，2 2所以 ysin 6.(2x )因为当 x
6、2 时，y 7，所以 sin( )67，即 sin 1，则 2k(kZ)，可取 .2 2所以 ysin 66cos x.(2x 2) 2【真题体验】4.(2019北京通州区模拟)函数 y2cos 的部分图象是( )(2x 6)【答案】 A【解析】 由 y2cos 可知，函数的最大值为 2，故排除 D；又因为函数图象过点 ，故排除(2x 6) (6，0)B；又因为函数图象过点 ，故排除 C.( 12，2)5.(2016全国卷)若将函数 y2sin 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )(2x 6) 14A.y2sin B.y2sin(2x 4) (2x 3)C.y2sin D.y2
7、sin(2x 4) (2x 3)【答案】 D【解析】 函数 y2sin 的周期为 ，将函数 y2sin 的图象向右平移 个周期即 个单位，所(2x 6) (2x 6) 14 4得函数为 y2sin 2sin ，故选 D.2(x 4) 6 (2x 3)6.(2018济南模拟改编)y cos(x 1) 图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是_.【答案】 2 4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期 ，故它们之间的距离为.2 4【考点聚焦】考点一 函数 yA sin(x)的图象及变换【例 1】 某同学用 “五点法 ”画函数 f(x)Asin(x) 在某一个周期内的图象
8、时，列表并填(0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象.若 yg(x)图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.(512，0)【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得 A5，2， .数据补全如下表：6x 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312Asin(x ) 0 5 0 5 0且函数解析式为 f(x)5sin .(2x 6)(2)由(1)知 f(x)5sin ，(2x 6)得 g(x)5sin .(2x 2 6)因为函数 ysin x 图象的对称中心为( k，0)(kZ ).令 2x2 k ，k Z，解得 x (kZ).6 k2 12由于函数 yg( x)的图象关于点
9、成中心对称，所以令 (kZ)，解得 (kZ).(512，0) k2 12 512 k2 3由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 .6【规律方法】 作函数 yAsin(x )(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x )的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0， ， ，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；2 32(2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练 1】 (1)(2017全国卷) 已知曲线 C1：ycos x
10、，C 2：ysin ，则下面结论正确的是( )(2x 23)A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲6线 C2B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲12线 C2C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线12 6C2D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲12 12线 C2(2)(2018青岛调研)若把函数 ysin 的图象向左平移 个单位长度，所得
11、到的图象与函数 ycos x(x 6) 3的图象重合，则 的一个可能取值是( )A.2 B. C. D.32 23 12【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知 C1：y cos xsin ，把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，(x 2) 12得到函数 ysin 的图象，再把所得函数的图象向左平移 个单位长度，可得函数 ysin(2x 2) 12sin 的图象，即曲线 C2，因此 D 项正确.2(x 12) 2 (2x 23)(2)ysin 和函数 ycos x 的图象重合，可得 2k ，k Z ，则(x 3 6) 3 6 26k 2，kZ.2 是 的一个可能值.
12、考点二 求函数 yA sin(x )的解析式【例 2】 (1)(一题多解)函数 f(x)Asin(x )(A0，0，| |)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_.(2)(2019长郡中学、衡阳八中联考) 函数 f(x)sin(x ) 的部分图象如图所示，已知(0，|0)的图象向左平移 个单位，所(00，|0)则 f(x)图象的对称轴方程是_.【答案】 (1)C (2) x (kZ )k2 6【解析】 (1)由题图知，T 2 ，(1112 512) 2，f (x)2cos 2x ，2Tf(x )2cos(2x 2 )，则由图象知，f 2cos 2.(512 ) (56 2) 2 2k
13、(k Z)，则 k(k Z).56 12又 00)的最小正周期为 .3 3(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x) 的图象，若 yg(x)在60，b(b 0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值.【答案】见解析【解析】(1)f(x)2sin xcos x (2sin2x1)3sin 2x cos 2x2sin .3 (2x 3)由最小正周期为 ，得 1，所以 f(x)2sin ，(2x 3)由 2k 2x 2k (kZ)，2 3 2整理得 k xk (kZ)，12 512所以函数 f(x)的单调递增区
14、间是 (kZ ).k 12，k 512(2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y2sin 2x1 的图象；6所以 g(x)2sin 2x1.令 g(x)0，得 xk 或 xk (kZ)，712 1112所以在0， 上恰好有两个零点，若 yg(x)在0 ，b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可.所以 b 的最小值为 4 .1112 5912【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的
15、交点个数.3.研究 yAsin( x)的性质时可将 x 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练 3】 (1)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数yaAcos (x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ，12 月份的月6（x 6）平均气温最低为 18 ，则 10 月份的平均气温为_.【答案】 20.5【解析】 因为当 x6 时，yaA 28；当 x12 时，yaA18，所以 a23，A5，所以 yf(x) 235cos ，6（x 6）所以当 x10 时，f(10) 235cos (64)235 20.5.12(2)已知函数 f(
16、x)5sin x cos x5 cos2x (其中 xR) ，求：3523函数 f(x)的最小正周期；函数 f(x)的单调区间；函数 f(x)图象的对称轴和对称中心.【答案】见解析【解析】因为 f(x) sin 2x (1cos 2x)52 532 5325( sin 2x cos 2x)5sin ，12 32 (2x 3)所以函数的最小正周期 T .22由 2k 2x 2k (kZ)，2 3 2得 k xk (kZ)，12 512所以函数 f(x)的递增区间为(kZ).k 12，k 512由 2k 2x 2k (kZ)，2 3 32得 k xk (kZ )，512 1112所以函数 f(x)
17、的递减区间为(kZ).k 512，k 1112由 2x k (kZ )，得 x (kZ )，3 2 k2 512所以函数 f(x)的对称轴方程为 x (kZ).k2 512由 2x k(k Z)，得 x (kZ)，3 k2 6所以函数 f(x)的对称中心为 (kZ).(k2 6，0)【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而言，而不是看角 x 的变化.2.由图象确定函数解析式解决由函数 yA sin(x)的图象确定 A， 的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准
18、第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【易错防范】1.由函数 ysin x 的图象经过变换得到 yAsin(x )的图象，如先伸缩再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看作一个整体 .若 0)在区间0 ，1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值为( )A.98 B. C. D.1001972 1992【答案】 B【解析】 由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用 49 个周期，所以 T 1，所以 .14 1974 1974 2 1972【评析】 解决此类
19、问题的关键在于结合条件弄清周期 T 与所给区间的关系，从而建立不等关系.2类型 2 三角函数的单调性与 的关系【例 2】 若函数 f(x)sin x( 0)在区间 上单调递减，则 的取值范围是( )3，2A.0 B.023 32C. 3 D. 323 32【答案】 D【解析】 令 2kx 2k(kZ )，得 x ，因为 f(x)在 上单调递减，2 32 2 2k 32 2k 3，2所以 得 6k 4k3.2 2k 3，2 32 2k，) 32又 0，所以 k0，又 6k 0)在区间 上单调递减，建立不等式，即可求 的取值范围.3，2类型 3 三角函数对称性、最值与 的关系【例 3】 (1)(2
20、019枣庄模拟)已知 f(x)sin xcos x ，若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与 x 轴交(23)点的横坐标都不属于区间( ，2) ，则 的取值范围是_.(结果用区间表示)(2)已知函数 f(x)2sin x 在区间 上的最小值为2，则 的取值范围是_. 3，4【答案】 (1) (2)34，78 | 2或 32【解析】 (1)f (x)sin xcos x sin ，2 (x 4)令 x k(kZ)，解得 x (kZ).4 2 34 k当 k0 时， ，即 ，34 34当 k1 时， 2，即 .34 78综上， .34 78(2)显然 0，分两种情况：若 0，当 x 时， x .
21、3，4 3 4因函数 f(x)2sin x 在区间 上的最小值为2，所以 ，解得 . 3，4 3 2 32若 0)图象上的一个最低点，M，N 是与点 P32 332相邻的两个最高点，若MPN60，则该函数的最小正周期是( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】 D【解析】 由 P 是函数 yA sin(x)(0)图象上的一个最低点， M，N 是与 P 相邻的两个最高点，知|MP|NP|，又MPN60，所以MPN 为等边三角形.由 P( ， )，得| MN| 26.32 332 23323该函数的最小正周期 T6.4.(2018天津卷)将函数 ysin 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应
22、的函数( )(2x 5) 10A.在区间 上单调递增 4，4B.在区间 上单调递减 4，0C.在区间 上单调递增4，2D.在区间 上单调递减2，【答案】 A【解析】 ysin sin 2 ，将其图象向右平移 个单位长度，得到函数 ysin 2x 的图象.由(2x 5) (x 10) 102k 2x2k ，k Z，得 k xk ，k Z.令 k0，可知函数 ysin 2x 在区间 上单2 2 4 4 4，4调递增.5.(2019张家界模拟)将函数 f(x) sin 2xcos 2x 的图象向左平移 t(t0)个单位后，得到函数 g(x)的图象，3若 g(x)g ，则实数 t 的最小值为( )(1
23、2 x)A. B. C. D.524 724 512 712【答案】 B【解析】 由题意得，f(x )2sin ，(2x 6)则 g(x)2sin ，(2x 2t 6)从而 2sin 2sin 2sin(2x2t)2sin(2x2t)，又 t0，(2x 2t 6) 2(12 x) 2t 6所以当 2t 2t 2k (kZ)时，即 t (kZ) ，实数 tmin .6 724 k2 724二、填空题6.将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵10坐标不变)，所得图象的函数解析式是 _.【答案】 ysin (12x 10)ysin .
24、 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 (12x 10)7.(2018沈阳质检)函数 f(x)Asin(x )(A0，0，00)，f f ，且 f(x)在区间 上有最小值，无最大值，则(x 3) (6) (3) (6，3)_.【答案】 143【解析】 依题意，x 时，y 有最小值，6 32 4sin 1， 2k (kZ).(4 3) 4 3 328k (kZ)，143因为 f(x)在区间 上有最小值，无最大值，(6，3)所以 ，即 12，3 4 令 k0，得 .143三、解答题9.某实验室一天的温度(单位： ) 随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 cos tsin
25、t，t0，24).312 12(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.【答案】见解析【解析】(1)f(8)10 cos sin3 (128) (128)10 cos sin 10 10.323 23 3 ( 12) 32故实验室上午 8 时的温度为 10 .(2)因为 f(t)102( cos t sin t)32 12 12 12102sin ，(12t 3)又 0t0)的最小正周期为 ，当 x 时，方程 f(x)3x2 x2 x2 0，2m 恰有两个不同的实数解 x1，x 2，则 x1x 2_ ，f (x1x 2)_.【答案】 13【解析】 函数 f(x)2 sin cos 2cos 2 1 sin xcos x 2sin .3x2 x2 x2 3 (x 6)由 T ，可得 2，f (x)2sin .2 (2x 6)x ， 2x ，1f (x)2.0，2 6 6 76画出 f(x)的图象(图略)，结合图象知 x1x 2 ，3则 f(x1 x2)f 2sin 2sin 1. (3) (23 6) 56