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专题13平面向量基本定理及其应用_名师揭秘2020年高考数学理一轮总复习之三角函数三角形平面向量(含解析)

1、专题 13 平面向量基本定理及其应用一、本专题要特别小心:1.平面向量基本定理的应用问题2. 基本定理的两条路径法表示向量问题3. 数形结合的应用4.向量于线性规划问题等综合问题 5. 向量的坐标表示及运算性质6.向量共线与垂直的坐标表示7.向量与数列的综合8.向量与解析几何的综合二 【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件三 【方法总结】1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量 实数对(x,y ),任何一个平面向量都有唯 对 应 一的坐标表示,但是每一个坐

2、标所表示的向量却不一定唯一.也就是说,向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系,但和起点为原点的向量是一一对应的关系。2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时,一定要搞清方向,用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示,实际上是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算完全代数化,把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来,从而把数与形紧密结合起来,这样很多几何问题,特别像共线、共点等较难问题的证明,就转化为熟知的数量运算,也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问

3、题提供了一种有效方法.四 【题型方法】(一)平面向量基本定理例 1. 已知 O是正方形 ABCD的中心若 OABC,其中 ,R,则 ( )A 2B12C 2D 2【答案】A【解析】 1122DOACBOACABC1, 2本题正确选项:练习 1. 在平行四边形 ABCD中,13,2,32APBAQD若 12,CPQ则ADC( )A56B34C23D 2【答案】C【解析】如图所示, 平行四边形 ABCD中, 3,2A, 1,32PABQD,PB,1C, 因为 12CQ, 所以232PADBAD2433ABDB2214cos12, 1cos2BAD,,3所以C,故选 C.练习 2.在 中,若点 满足

4、 2CDB,点 M为 AC中点,则 D=( )A2136BB136AC13D2136ABC【答案】A【解析】作出图形如下, 1212()33MDCACBABC2136A,故选 A练习 3.已知平行四边形 D的对角线分别为 , D,且 E,点 F是 BD上靠近 的四等分点,则( )A12FEBADB512FEADC5DB【答案】B【解析】由题意,因为 2AEC,且点 F是 上靠近 的四等分点,14FOD,16,146FEODBAC, AB, ,11()()46512BAD.故选:B(二)由平面向量基本定理求最值例 2. 在边长为 2的正方形 OABC中,点 D为线段 BC的中点,点 M在线段 O

5、D上,则 AMB的最大值为A 51B 5C 4D 5【答案】C【解析】设线段 的中点为 N,连接 MN,则221()()4ABMAB221()14MNBA,易得22max()5O,所以 的最大值为 ,故选 C练习 1. 已知点 G 是ABC 内一点,满足 + + = ,若BAC= , =1,则| |的最小值是( )A B C D【答案】A【解析】因为 + + = ,所以 G 是ABC 重心,因此 ,从而,选 A.(当且仅当 时取等号)练习 2.正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC、BD 相交于点 O,动点 P 满足 ,若,其中 m、 nR,则 的最大值是_【答案】【解析】建立如图所示的

6、直角坐标系,则 A(1, 1) ,B( 1,1) ,D(1,1) ,又 ,所以 ,则 ,其几何意义为过点 E(3 , 2 )与点 P(sin,cos)的直线的斜率,设直线方程为 y+2 k(x +3 ) ,点 P 的轨迹方程为 x2+y21,由直线与圆的位置关系有: ,解得: ,即 的最大值是 1,故答案为:1练习 3.已知 是等边 的外接圆,其半径为 4, 是 所在平面内的动点,且 ,则的最大值为( )A4 B6 C8 D10【答案】C【解析】结合题意,绘制图形,可知, 代入得到故而 故要计算最大值,可知当 的时候,取到最大值,故最大值为,故选 C。练习 4.如图, 0,|2,|OABOB,

7、点 C是线段 AB 上的一个动点,D 为 OB 的中点,则D的最小值为_.【答案】12【解析】选取,OAB为基向量,设 (1)OCAOB,其中 10,因为 D 为 OB 的中点,所以 2BD,所以()2DCAOB,所以21=()(1)6CAA216(),因为 0,所以当 2时, DCO取得最小值,为1,故答案为 (三)平面向量基本定理求参数例 3.如图,在 ABC中,点 O在 边上,且 2BOC,过点 的直线与直线 AB, C分别交于,MN两点( ,不与点 ,重合) ,若 AMm, Nn,则 2mn( )A32B12C13D14【答案】C【解析】由 2OC得: 2AAO,即:123ABC又 ,

8、MN三点共线,设: MN,则: MNO整理可得: 1mBnC1mnAOBAC132n213n则:23,即:231m本题正确选项:练习 1.已知平面内的两个单位向量 OA, B,它们的夹角是 60, OC与 A、 B向量的夹角都为 30,且 |23OC,若 ,则 值为( )A B 43C2 D4【答案】D【解析】由题意,可得 C在 AO的角平分线上,所以 ()OkAB,再由 OAB可得 ,即 ()AB,再由 23OC,得222 0()()(1cos61)ABOAB,解得 ,故 ,所以 4,故选 D.练习 2.如图,在梯形 中, , 为线段 上一点,且 , 为 的中点, 若 (, ),则 的值为(

9、 )A B C D【答案】B【解析】由题意,根据向量的运算法则,可得:又因为 ,所以 ,所以 ,故选 B.练习 3.已知菱形 ABCD的边长为 2, 120BAD,点 E, F分别在边 BC, D上, 3BE,DF,若 1E,则 的值为( )A3 B2 C 23D52【答案】B【解析】由题意可得: EFEADF113ABCB22113BCABC,且:24,cos0A,故41213,解得: 2.故选:B.(四)平面向量基本定义与几何意义例 4. 在 中, 为 的重心, 为 上一点,且满足 ,则( )A BC D【答案】B【解析】由题意,画出几何图形如下图所示:根据向量加法运算可得 ,因为 G 为

10、ABC 的重心,M 满足所以 , ,所以 所以选 B练习 1. 如图所示,矩形 的对角线相交于点 , 为 的中点,若 ,则等于( ) A B C D【答案】A【解析】由平面向量基本定理,化简,所以 ,即 ,故选:A练习 2.在梯形 中, , , , , ,若 ,则 的值为_【答案】7【解析】AB CD,AB 4, CD2, , , , , ( )( ) 3,即 9 3, 4又 , ( ) 927故答案为:7练习 3.如图,在 中, , 是线段 上一点,若 ,则实数 的值为_【答案】【解析】设 , ,已知 ,所以有 .(五)平面向量基本定理的两条路径表示法例 5.如图,在OACB 中,E 是 A

11、C 的中点,F 是 BC 上的一点,且 BC=3BF,若 =m ,其中m,nR ,则 m+n 的值为( )A1 B C D【答案】C【解析】在平行四边形中 因为 E 是 AC 中点,所以所以 ,因为 ,所以 所以 ,因为 ,所以,解得所以 故选 C练习 1如图,在 的边 AB、AC 上分别取点 M、N,使 ,BN 与 CM 交于点 P,若 , ,则 的值为 A B C D6【答案】D【解析】由题意 ,根据平面向量基本定理,可得 , 故选 D练习 2如图,在 VABC中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O.若6ABOE,则 的值是_.【答案】 3.

12、【解析】如图,过点 D 作 DF/CE,交 AB 于点 F,由 BE=2EA,D 为 BC 中点,知 BF=FE=EA,AO=OD.3632AOECDAEBACE21112 33B ABC 2 2233ACABC,得221,B即 ,故3.练习 3.如图,在 中,若 , ,线段 的中点为 , 的中点为 , 的中点为 ,若,则 _【答案】【解析】由题意,因为 为 中点,所以 ,因为 为 中点,所以 ,因为 为 中点, , , ,而 , , 故答案为: 练习 4.已知 在 内,且 , ,则 _【答案】【解析】如图,设 BO 与 AC 相交于 D,则由 ,可得 ,设 CO 与 AB 相交于 E,则由

13、,可得 ,因 B,O,D 三点共线,故存在实数 m,使 ,因 C,O,E 三点共线,故存在实数 n,使得,所以 ,解得 ,所以 , ,故答案是: .(六)平面向量基本定理与坐标系例 6. 已知等边 的边长为 2,若 , ,则 的面积为_【答案】【解析】以 的中点为原点, 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 因为 , 所以 ,故 , ,设 的夹角为 , ,所以, ,点 到直线 的长度为 , 的面积为 .练习 1. 如图,点 是单位圆与 轴正半轴的交点, (I)若 ,求 的值;(II)设点 为单位圆上的一个动点,点 满足 若 , 表示 ,并求的最大值【答案】 () ;() .【解析】 ()点 是单位圆与 轴正半轴的交点, 可得 , , ()因为 , ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,的最大值 练习 2. 在平面直角坐标系 xOy中,已知点 (3,0)(1,23,)ABD,动点 P 满足 OAB,其中 0,1,21,,则点 P 落在三角形 A里面的概率为( )A 2B3C 2D23【答案】A【解析】以 O, 为邻边做平行四边形 OAB,延长 至 E,使得 2OB,OPAB,且 0,1,21,,P 点位于平行四边形 EC的内部(包含边界) ,则点 P 落在三角形 ABD里面的概率 2ABCESP,故选:A.