1、第三篇 导数及其应用专题 3.01 导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数 yc，y x，yx 2，y x 3，y ，y 的导数；1x x5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如 f(axb) 的导数；6.会使用导数公式表.【知识梳理】1.函数 yf(x) 在 xx 0 处的导数(1)定义：称函数 yf(x )在 xx
2、0 处的瞬时变化率 为函数 yf( x)0limxx 0f(x0 x) f(x0)x 0lim x 0yx在 xx 0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx 0，即 f(x0) .liyx 0lif(x0 x) f(x0)x(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x) 上点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yy 0f(x 0)(xx 0).2.函数 yf(x) 的导函数如果函数 yf(x )在开区间( a，b) 内的每一点处都有导数，其导数值在( a，b)内构成一个新函数，函数 f(x)lim 称为函数 yf(x)在开区
3、间内的导函数. f(x x) f(x)x3.导数公式表基本初等函数 导函数f(x)c (c 为常数) f(x)0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)sin xf(x)e x f(x)e xf(x)a x(a0) f(x)a xln af(x)ln xf(x)1xf(x)log ax (a0，a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x) f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x )g(x)f(x)g (x)；(3) (g(x)0).f(x)g(x) f(x)g(x)
4、f(x)g(x)g(x)25.复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u)，ug( x)的导数间的关系为 yxy uux.【微点提醒】1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx 0 处的导数值；( f(x0)是函数值 f(x0)的导数，且(f(x 0)0.2. .1f(x) f(x)f(x)23.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数 yf(x) 的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【疑误辨析】1.判断
5、下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)f(x0)是函数 yf(x )在 xx 0 附近的平均变化率.( )(2)函数 f(x)sin( x)的导数 f(x)cos x.( )(3)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0).( )(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)f(x0)表示 y f(x)在 xx 0处的瞬时变化率， (1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则 f(x)cos x，(2)错.(3)求 f(x0)时，应先求 f(x)，再代入求值， (3)错.【教材衍化】2.(选修 22P19B2
6、改编)曲线 yx 311 在点 P(1，12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )A.9 B.3 C.9 D.15【答案】 C【解析】 因为 yx 311，所以 y3x 2，所以 y|x1 3，所以曲线 yx 311 在点 P(1，12) 处的切线方程为 y123( x1).令 x0，得 y9.3.(选修 22P3 例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度( 单位：m)是 h(t)4.9t 26.5t10，则运动员的速度 v_ m/s，加速度 a_ m/s 2.【答案】 9.8t6.5 9.8【解析】 vh(t)9.8t6.5，av( t)9.8.【真题体验】4.(20
7、19青岛质检)已知函数 f(x)x (2 018ln x)，若 f(x0)2 019，则 x0 等于( )A.e2 B.1 C.ln 2 D.e【答案】 B【解析】 f(x )2 018ln xx 2 019ln x.1x由 f(x0)2 019 ，得 2 019ln x 02 019，则 ln x00，解得 x01.5.(2018天津卷)已知函数 f(x)e xln x，f(x )为 f(x)的导函数，则 f(1)的值为_.【答案】 e【解析】 由题意得 f(x)e xln xe x ，则 f(1)e.1x6.(2017全国卷)曲线 yx 2 在点(1 ，2)处的切线方程为 _.1x【答案】
8、 yx 1【解析】 设 yf( x)，则 f(x)2x ，1x2所以 f(1)211，所以在(1，2) 处的切线方程为 y21(x1)，即 yx1.【考点聚焦】考点一 导数的运算角度 1 根据求导法则求函数的导数【例 11】 分别求下列函数的导数：(1)ye xln x；(2)yx ；(x2 1x 1x3)(3)f(x)ln .1 2x【答案】见解析【解析】(1)y(e x)ln xe x(ln x)e xln x e x .exx (ln x 1x)(2)因为 yx 31 ，所以 y3x 2 .1x2 2x3(3)因为 yln ln ，1 2x12 (1 2x)所以 y (12x) .12
9、11 2x 11 2x角度 2 抽象函数的导数计算【例 12】 (2019天津河西区调研 )已知函数 f(x)的导函数是 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln ，则 f(1)( 1x)A.e B.2 C.2 D.e【答案】 B【解析】 由已知得 f(x)2f (1) ，令 x1 得 f(1)2f(1)1，解得 f(1)1，则 f(1)2f(1) 2.1x【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练 1】 (1)若 yx
10、cos sin ，则 y_.x2 x2(2)已知 f(x)x 22xf(1)，则 f(0)_.【答案】 (1)1 cos x (2)412【解析】 (1)因为 yx sin x，12所以 y x 1 cos x.(x 12sin x) (12sin x) 12(2)f(x)2x 2f(1)，f(1)22f(1)，即 f(1)2.f(x )2x4，f(0)4.考点二 导数的几何意义 角度 1 求切线方程【例 21】 (2018全国卷) 设函数 f(x)x 3(a1)x 2 ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 yf(x) 在点(0，0)处的切线方程为( )A.y2x B.yxC.y2x D.yx【
11、答案】 D【解析】 因为函数 f(x)x 3(a1) x2ax 为奇函数，所以 a10，则 a1，所以 f(x)x 3x，所以f(x)3x 21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0 ，0)处的切线方程为 yx.角度 2 求切点坐标【例 22】 (1)(2019聊城月考) 已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为( )x24 12A.3 B.2 C.1 D.12(2)设曲线 ye x在点(0，1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.1x【答案】 (1)A (2)(1 ，1)【解析】 (1)设切点的横坐标为 x0(x00)，曲
12、线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，x24 12y ，即 ，x2 3x x02 3x0 12解得 x03 或 x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3.(2)函数 ye x的导函数为 ye x，曲线 ye x在点(0，1) 处的切线的斜率 k1e 01.设 P(x0，y 0)(x00)，函数 y 的导函数为 y ， 曲线 y (x0)在点 P 处的切线的斜率1x 1x2 1xk2 ，由题意知 k1k21，即 1 1，解得 x 1，又 x00，x 01.20又点 P 在曲线 y (x0)上，y 01，故点 P 的坐标为 (1，1).1x角度 3 求参数的值或取值范围【例 23】 (
13、1)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是( )A.( ，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)(2)(2019河南六市联考)已知曲线 f(x)x b(x0)在点 (1，f (1)处的切线方程为 y2x5，则axab_.【答案】 (1)B (2) 8【解析】 (1)由题意知 f(x)2 在(0，) 上有解.f(x ) a 2 在(0，)上有解，则 a2 .1x 1x因为 x0，所以 2 2，所以 a 的取值范围是(，2).1x(2)f(x)1 ，f(1)1 a，ax2又 f(1)1ab，曲线在(1，f(1) 处的切线方程为 y(1ab
14、) (1a)(x1) ，即 y(1a)x 2ab，根据题意有 解得1 a 2，2a b 5，) a 1，b 7，)ab178.【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 yf(x) 在点P(x0，f (x0)处的切线方程是 yf (x0)f (x0)(xx 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练 2】 (1)(2019东莞二调)设函数 f(x)x 3ax 2，若曲线 yf (x
15、)在点 P(x0，f (x0)处的切线方程为xy0，则点 P 的坐标为( )A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或( 1，1)(2)(2018全国卷)曲线 y2ln( x1) 在点(0，0)处的切线方程为_.【答案】 (1)D (2)y 2x【解析】 (1)由 f(x)x 3ax 2，得 f(x)3x 22ax.根据题意可得 f(x0)1，f( x0)x 0，可列方程组解得 或x0 1，a 2) x0 1，a 2. )当 x01 时，f(x 0)1，当 x01 时，f( x0)1.点 P 的坐标为(1，1) 或(1，1).(2)由题意得 y .在点(0，0) 处切线斜率
16、 ky |x0 2.曲线 y2ln(x1)在点(0 ，0)处的切线方程为2x 1y02( x0) ，即 y2x.【反思与感悟】1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.【
17、易错防范】1.求导常见易错点：公式(x n)nx n1 与(a x)a xln a 相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误： ，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)g(x)22.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 35 分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( )A.(3x)3 xln 3B.(x2ln x)2xln xxC. (cos xx ) xsin x cos xx2D.(sin xcos x) cos 2x【答案】 C【解析】 因为
18、，C 项错误.(cos xx ) xsin x cos xx22.(2019日照质检)已知 f(x)x ln x，若 f(x0)2，则 x0 等于( )A.e2 B.e C. D.ln 2ln 22【答案】 B【解析】f(x) 的定义域为(0，) ，f (x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解得 x0e.3.函数 yx 3 的图象在原点处的切线方程为( )A.yx B.x0C.y0 D.不存在【答案】 C【解析】 函数 yx 3的导数为 y3x 2，则在原点处的切线斜率为 0，所以在原点处的切线方程为y00( x0) ，即 y0.4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒
19、后的位移为 s t33t 28t，那么速度为零的时刻是( )13A.1 秒末 B.1 秒末和 2 秒末C.4 秒末 D.2 秒末和 4 秒末【答案】 D【解析】 s( t)t 26t8，由导数的定义知 vs(t)，令 s(t)0，得 t2 或 4，即 2 秒末和 4 秒末的速度为零.5.(2019南阳一模)函数 f(x)x g( x)的图象在点 x2 处的切线方程是 yx1，则 g(2)g(2)( )A.7 B.4 C.0 D.4【答案】 A【解析】 f(x )xg( x)， f(x)1g(x)，又由题意知 f(2)3，f(2)1，g(2)g(2) 2f(2) 1f(2)7.6.已知 e 为自
20、然对数的底数，曲线 yae xx 在点(1 ，ae1)处的切线与直线 2exy10 平行，则实数a( )A. B. C. D.e 1e 2e 1e e 12e 2e 12e【答案】 B【解析】 yae x1，在点(1，ae1) 处的切线的斜率为 y|x1 ae1，又切线与直线 2exy10平行，ae12e，解得 a .2e 1e7.如图所示为函数 yf( x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf (x)，yg(x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由 yf(x)的图象知， yf(x)在(0，) 上是单调递减的，说明函数 yf(x) 的切线的斜率在(0，) 上也是单调递减的，故可排除
21、A，C；又由图象知 yf(x)与 yg( x)的图象在 xx 0处相交，说明 yf(x) 与 yg(x)的图象在 xx 0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.8.(2019广州调研)已知直线 ykx2 与曲线 yxln x 相切，则实数 k 的值为( )A.ln 2 B.1C.1ln 2 D.1ln 2【答案】 D【解析】 由 yx ln x 得 yln x1，设切点为(x 0，y 0)，则 kln x01，切点(x 0，y 0)(x00)既在曲线yxln x 上又在直线 ykx2 上， kx 02x 0ln x0，kln x0 ，则 ln x0 ln y0 kx0 2，y0 x0ln
22、 x0，) 2x0 2x0x01，x 02，k ln 21.二、填空题9.已知曲线 f(x)2x 21 在点 M(x0，f(x 0)处的瞬时变化率为8，则点 M 的坐标为_.【答案】 (2，9)【解析】 由题意得 f(x)4x ，令 4x08，则 x02，f(x 0)9，点 M 的坐标是( 2，9).10.(2017天津卷)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_.【答案】 1【解析】 f(1)a，切点为(1，a). f(x)a ，则切线的斜率为 f(1)a1，切线方程为：ya(a1)1x(x1)，令 x 0 得出 y1，
23、故 l 在 y 轴上的截距为 1.11.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x 23xf(2) ln x，则 f(2)_.【答案】 94【解析】 因为 f(x)x 23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2) ，1x所以 f(2)43f(2) 3f(2) ，12 92所以 f(2) .9412.已知函数 yf( x)的图象在点(2，f(2) 处的切线方程为 y2x 1，则曲线 g(x)x 2f(x )在点(2，g(2)处的切线方程为_.【答案】 6xy 50【解析】 由题意，知 f(2)2213，g(2)437，g(x) 2xf(x )，f(2)2， g(2)
24、2226，曲线 g(x)x 2f( x)在点(2，g(2) 处的切线方程为 y7 6(x2)，即 6xy50.【能力提升题组】(建议用时： 15 分钟)13.(2019深圳二模)设函数 f(x)x b，若曲线 yf(x)在点(a，f(a) 处的切线经过坐标原点，则 ab( 1x)A.1 B.0 C.1 D.2【答案】 D【解析】 由题意可得，f(a)a b，f(x)1 ，所以 f(a)1 ，故切线方程是 ya b1a 1x2 1a2 1a(xa) ，将(0 ，0)代入得 a b (a) ，故 b ，故 ab2.(1 1a2) 1a (1 1a2) 2a14.已知函数 f(x)|x 3axb|(
25、a，bR )，若对任意的 x1，x 20，1 ，f (x1)f(x 2)2| x1x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是_.【答案】 2，1【解析】 当 x1x 2时，f(x 1)f (x2)2| x1x 2|恒成立；当 x1x 2时，由 f(x1)f(x 2)2| x1x 2|得 2，故函数 f(x)在0，1 上的导函数 f(x)满足| f(x)|2，函数f（x1） f（x2）|x1 x2|yx 3axb 的导函数为 y3x 2a，其中0，1 上的值域为a，a3 ，则有 解得|a| 2，|a 3| 2，)2a1.综上所述，实数 a 的取值范围为2，1.15.函数 g(x)ln x 图象上一点
26、 P 到直线 yx 的最短距离为_.【答案】 22【解析】 设点(x 0，ln x0)是曲线 g(x)ln x 的切线中与直线 yx 平行的直线的切点，因为 g(x)(ln x) ，则 1 ，x 01，则切点坐标为(1，0)，1x 1x0最短距离为(1，0)到直线 yx 的距离，即为 .|1 0|1 1 2216.若函数 f(x) x2ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_.12【答案】 2，)【解析】 f(x ) x2ax ln x，定义域为(0，) ，12f(x )xa .1xf(x)存在垂直于 y 轴的切线，f (x)存在零点，即 x a0 有解，1xax
27、2(当且仅当 x1 时取等号).1x【新高考创新预测】17.(新定义题型)定义 1：若函数 f(x)在区间 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在区间 D 上也可导，则称函数 f(x)在区间D 上存在二阶导数，记作 f(x) f(x).定义 2：若函数 f(x)在区间 D 上的二阶导数恒为正，即 f(x)0 恒成立，则称函数 f(x)在区间 D 上为凹函数.已知函数 f(x)x 3 x21 在区间 D 上为凹函数，则 x 的取值范围是_.32【答案】 (12， )【解析】 因为 f(x)x 3 x21，因为 f(x)3x 23x，f(x)6x3，令 f(x)0，解得 x ，故 x 的取值范32 12围是 . (12， )