1、第三篇 导数及其应用专题 3.02 利用导数研究函数的单调性【考试要求】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小) 值的关系.【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系函数 yf(x) 在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，右侧 f(x)0图象形如山
2、峰 形如山谷极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值极值点 x0 为极大值点 x0 为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x) 在a，b上的最大(小) 值的步骤求函数 yf(x )在( a，b)内的极值；将函数 yf(x )的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【微点提示】1.函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f (x)0 在( a，b) 上成立”是“f(x)在( a，b)上
3、单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f(x 0) 0”是“函数 f(x)在 xx 0 处有极值 ”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体” 概念，而函数极值是“ 局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)若函数 f(x)在 (a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数的极大值一定大于其极小值.
4、( )(4)对可导函数 f(x)，f(x 0)0 是 x0 为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)【解析】 (1)f (x)在( a，b)内单调递增，则有 f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0 为 f(x)的极值点的充要条件是 f(x0)0，且 x0 两侧导函数异号.【教材衍化】2.(选修 22P32A4 改编)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 A【解析】 由题意知在 x1 处 f(1
5、) 0，且其两侧导数符号为左负右正.3.(选修 22P32A5(4)改编)函数 f(x)2xx ln x 的极值是( )A. B. C.e D.e21e 2e【答案】 C【解析】 因为 f(x)2(ln x1) 1ln x，令 f(x)0，所以 xe，当 f(x)0 时，解得 0e，所以 xe 时，f(x)取到极大值，f(x) 极大值 f(e)e.【真题体验】4.(2019青岛月考)函数 f(x)cos xx 在(0，)上的单调性是( )A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【答案】 D【解析】 易知 f(x)sin x1，x(0，)，则 f(x)0(其中 x10，得单调递增区间
6、；(4)在定义域内解不等式 f(x)0)，当 f(x)0 时，解得x ，即函数的单调递增区间为 ；当 f(x)0，则其在区间 (，)上的解集为 和 ，( ， 2) (0，2)即 f(x)的单调递增区间为 ， .( ， 2) (0，2)考点二 讨论函数的单调性【例 2】 (2017全国卷改编) 已知函数 f(x)e x(exa) a 2x，其中参数 a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0，求 a 的取值范围 .【答案】见解析【解析】(1)函数 f(x)的定义域为( ，)，且 a0.f(x)2e 2xae xa 2(2e xa )(exa).若 a0，则 f(x)e 2x，在(
7、，)上单调递增.若 a0.(ln( a2)， )故 f(x)在 上单调递减，( ，ln( a2)在区间 上单调递增.(ln( a2)， )(2)当 a0 时，f (x)e 2x0 恒成立.若 aa2e 时，f(x )0.34综上，a 的取值范围是2e ，0.34【规律方法】 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 .(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点.2.个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x) x3，f (x)3x 20(f(x)0 在 x0 时取到) ，f (x)在 R上是增函数.【
8、训练 2】 已知 f(x) aln x，aR ，求 f(x)的单调区间.x22【答案】见解析【解析】因为 f(x) aln x，x(0，) ，x22所以 f(x)x .ax x2 ax(1)当 a0 时，f( x)0，所以 f(x)在(0，)上为单调递增函数.(2)当 a0 时，f(x) ，则有（x a）（x a）x当 x(0 ， )时，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为( ，).a a综上所述，当 a0 时，f(x )的单调递增区间为(0，) ，无单调递减区间.当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0 ， )，单调递增区间为( ，).a a考点三 函数单调性的简单应用 角度
9、1 比较大小或解不等式【例 31】 (1)已知函数 y f(x)对于任意的 x 满足 f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中 f(x)是函数 f(x)(0，2)的导函数，则下列不等式成立的是( )A. f f2(3) (4) 2(3) (4)C. f f D. f f2(6) 3(4) 3(3) (6)(2)已知函数 f(x)是函数 f(x)的导函数，f(1) ，对任意实数都有 f(x)f (x)0，设 F(x) ，则不等式1e f（x）exF(x)0，) 1e 2解得 0 ，所以 g g ，所以 ，34 (3) (4)f(3)cos 3f(4)cos 4即 f f .2(3)
10、(4)(2)F(x) ，f(x)ex exf(x)(ex)2 f(x) f(x)ex又 f(x)f(x )0，知 F(x)1，1e2所以不等式 F(x)0.12h(x) ax2.1x(1)若函数 h(x)在(0 ，)上存在单调减区间，则当 x0 时， ax 2 有解.1x 1x2 2x设 G(x) ，所以只要 aG(x)min.1x2 2x又 G(x) 1，所以 G(x)min1.(1x 1)2 所以 a1.即实数 a 的取值范围是( 1，).(2)由 h(x)在1 ，4上单调递减，当 x1 ，4时，h(x ) ax20 恒成立，1x则 a 恒成立，设 G(x) ，1x2 2x 1x2 2x所
11、以 aG(x)max.又 G(x) 1，x1，4 ，(1x 1)2 因为 x1 ，4，所以 ，1x 14，1所以 G(x)max (此时 x4)，所以 a .716 716又当 a 时，h(x) x2 ，716 1x 716 （7x 4）（x 4）16xx1 ，4，h(x ) 0，（7x 4）（x 4）16x当且仅当 x4 时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数 a 的取值范围是 . 716， )【规律方法】 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集
12、合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b) 上单调，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的 x(a，b) 都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练 3】 (1)已知 f(x)是定义在区间 (0，)内的函数，其导函数为 f(x)，且不等式 xf(x)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(2019淄博模拟)若函数 f(x)kxln x 在区间(2 ，)上单调递增，则 k 的取值范围是( )A.( ，2 B.12， )C
13、.2，) D.( ，12【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)设函数 g(x) (x0)，则 g(x) g(2)，即 ，所以 4f(1)f(2).f(1)12 f(2)22(2)由于 f(x)k ，f(x )kxln x 在区间(2，) 上单调递增，等价于 f(x)k 0 在(2，)上恒成立，1x 1x由于 k ，而 00，f(x)0(f(x)0；在(0，)上，f (x)0，解得 xe1，所以函数 f(x)的单调递增区间是(e1，).3.(2019青岛二中调研)若函数 f(x)x 312x 在区间( k1，k1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是( )A.k3 或1k1 或 k3B
14、.不存在这样的实数 kC.2f(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)【答案】 D【解析】 f(x)的定义域是(0，) ，f (x) ，1 ln xx2x(0 ，e) ，f(x )0，x (e，)，f (x)f(3)f(2).5.(2019济宁一中模拟)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为( )A.(1， 1) B.(1，)C.(，1) D.(，)【答案】 B【解析】 由 f(x)2x4，得 f(x)2x 40，设 F(x)f (x)2x4，则 F(x)f (x)2，因为
15、f(x)2，所以 F(x)0 在 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上单调递增.又 F(1) f( 1)2(1) 42240，故不等式 f(x)2x40 等价于 F(x)F(1)，所以 x1.二、填空题6.已知函数 f(x)(x 22x)e x(xR，e 为自然对数的底数)，则函数 f(x)的单调递增区间为_.【答案】 ( ， )2 2【解析】 因为 f(x)(x 22x)e x，所以 f(x)( 2x2)e x(x 22x )ex(x 22)e x.令 f(x)0，即( x 22)e x0，因为 ex0，所以 x220 ，解得 0，解得 a3，所以实数 a 的取值范围是( 3，0) (0，
16、).8.若函数 f(x) x3 x22 ax 在 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_.13 12 23， )【答案】 ( 19， )【解析】 对 f(x)求导，得 f(x)x 2x 2a 2 2a.当 x 时，f(x)的最大值为 f (x 12) 14 23， ) (23)2a.令 2a0，解得 a .所以 a 的取值范围是 .29 29 19 ( 19， )三、解答题9.已知函数 f(x) ln x ，其中 aR ，且曲线 yf (x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x.x4 ax 32 12(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间 .【答案】见解析【解析】(1
17、)对 f(x)求导得 f(x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x 知 f(1) a2，解得 a .12 34 54(2)由(1)知 f(x) ln x (x0).x4 54x 32则 f(x) .x2 4x 54x2令 f(x)0，且 x0，x5( x1 舍去).当 x(0 ，5)时，f(x)5 时，f (x)0.所以函数 f(x)的增区间为(5，) ，减区间为(0，5).10.(2019成都七中检测)设函数 f(x)ax 2aln x，g(x) ，其中 aR ，e2.718为自然对数的底数.1x eex(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当
18、x1 时，g(x )0.【答案】见解析【解析】(1)解：由题意得 f(x)2ax (x0).1x 2ax2 1x当 a0 时，f(x )0 时，由 f(x)0 有 x ，12a当 x 时，f(x)0，f (x)单调递增.(12a， )(2)证明 令 s(x)e x1 x，则 s(x)e x1 1.当 x1 时，s(x)0，所以 s(x)s(1)，即 ex1 x，从而 g(x) 0.1x eex e（ex 1 x）xex【能力提升题组】(建议用时： 20 分钟)11.(2017山东卷)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有
19、 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是( )A.f(x)2 x B.f(x)x 2C.f(x) 3x D.f(x)cos x【答案】 A【解析】 设函数 g(x)e xf(x)，对于 A，g(x)e x2x ，在定义域 R 上为增函数，A 正确.对于(e2)x B，g(x)e xx2，则 g(x)x (x2)e x，由 g(x)0 得 x0，g(x )在定义域 R 上不是增函数，B 不正确.对于 C，g(x) e x3x 在定义域 R 上是减函数，C 不正确.对于 D，g( x)e xcos x，则 g(x) excos(e3)x 2，g(x)0 在定义域 R 上不恒成立，D 不正确.(x
20、4)12.(2019上海静安区调研)已知函数 f(x)x sin xcos xx 2，则不等式 f(ln x)f 0 ，得 x0 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，)上单调递增.|ln x|0 时，f( x)的递增区间为(0 ，1)，递减区间为(1，) ；当 a0.)当 g(t)0，即 m .373 m9.373即实数 m 的取值范围是 .( 373， 9)【新高考创新预测】15.(多填题) 已知函数 f(x)x 3mx 2nx2 的图象过点(1，6)，函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对称.则 m_，f(x)的单调递减区间为 _.【答案】 3 (0，2)【解析】 由函数 f(x)的图象过点(1，6) ，得 mn3.由 f(x)x 3mx 2nx2，得 f(x)3x 22mx n，所以 g(x)f(x)6x3x 2(2m 6)xn.因为 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以 0，2m 623所以 m3，代入得 n 0，所以 f(x)3x 26x3x (x2).由 f(x)0，得 0x2，所以 f(x)的单调递减区间是(0，2).