1、第二篇 函数及其性质专题 2.06 对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数 ylog ax 与指数函数 ya x 互为反函数( a0，且 a1)【知识梳理】1.对数的概念如果 ax N(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog aN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：a logaNN；log aabb(
2、 a0，且 a1).(2)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N 0，那么log a(MN)log aMlog aN；log a log aMlog aN；MNlog aMnnlog aM(nR)；log a mMn logaM(m，nR，且 m0).nm(3)换底公式：log bN (a，b 均大于零且不等于 1).logaNlogab3.对数函数及其性质(1)概念：函数 ylog ax(a0 ，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a1 01 时，y0；当 01 时，y 0性质在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数4.反函数
3、指数函数 ya x(a0，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称.【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab ；(2)log ambn logab.1logba nm其中 a0，且 a1，b0 ，且 b1，m，nR .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数 ylog ax(a0，且 a1)的图象过定点(1 ，0)，且过点(a，1)， ，函数图象只在第一、四象(1a， 1)限.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)log2x22log 2x.( )(2)函数 ylo
4、g 2(x1)是对数函数.( )(3)函数 yln 与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( )1 x1 x(4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 abc B.acbC.cba D.cab【答案】 D【解析】 01.1213cab.3.(必修 1P74A7 改编)函数 y 的定义域是_.log23(2x 1)【答案】 (12，1【解析】 由 log (2x1)0，得 00，且 a1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a1， c1 B.a1，01 D.00，即 logac0，所以00，且 a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练 1】 (1)若
5、lg 2，lg(2 x1)，lg(2 x5)成等差数列，则 x 的值等于( )A.1 B.0 或 C. D.log2318 18(2)(2019成都七中检测)已知 ab1，若 logablog ba ，a bb a，则 a_，b_.52【答案】 (1)D (2)4 2【解析】 (1)由题意知 lg 2lg(2 x5)2lg(2 x1)，2(2 x5) (2 x1) 2，(2 x)2 90，2 x3，xlog 23.(2)设 logb at，则 t1，因为 t ，1t 52所以 t2，则 ab 2.又 abb a，所以 b2bbb 2，即 2bb 2，又 ab1，解得 b2，a4.考点二 对数函
6、数的图象及应用 【例 2】 (1)(2019潍坊一模 )若函数 f(x)a xa x (a0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 ylog a(|x|1)的图象可以是( )(2)当 x(1，2)时，不等式( x1) 21 时，y log a(x1)的图象由 ylog ax 向右平移一个单位得到.因此选项 D 正确.(2)由题意，易知 a1.在同一坐标系内作出 y( x1) 2，x(1，2) 及 ylog ax 的图象 .若 ylog ax 过点(2，1)，得 loga21，所以 a2.根据题意，函数 ylog ax，x(1，2) 的图象恒在 y( x1) 2，x(1，2)的上方.结合图象，a
7、 的取值范围是(1，2.【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 .2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练 2】 (1)(2018湛江模拟)已知函数 f(x)log a(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是( )A.01.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0 ，log ab)，由函数图象可知1bc B.bacC.cba D.cab(2)若 loga(a21)1，bln 2(0 ，1)，c log log 23log2ea1，所以
8、 cab.1213法二 log log 23，如图，在同一坐标系中作出函数 y log2x，y ln x 的图象，由图知 cab.1213(2)由题意得 a0 且 a1，故必有 a212 a，又 loga(a21)1，a .综上，a .12 (12，1)角度 3 对数型函数性质的综合应用【例 33】 已知函数 f(x)log a(3ax).(1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1 ，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a的值；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)a0 且 a1，设
9、 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0， 2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0 ，2时，f(x)恒有意义，即 x0 ，2时，3ax 0 恒成立.32a0.a0 且 a1，a 的取值范围是(0 ，1) .(1，32)(2)t(x)3ax，a0 ，函数 t(x)为减函数.f(x)在区间1，2上为减函数，ylog at 为增函数，a1，x1 ， 2时，t(x )最小值为 32a，f (x)最大值为 f(1)log a(3a)， 即3 2a0，loga（3 a） 1，) ab0，0cb(2)若函数 f(x) loga (a0，a1)在区间 内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增
10、区间为_.(x2 32x) (12， )【答案】 (1)B (2)(0，)【解析】 (1)由 yx c 与 yc x 的单调性知，C，D 不正确；ylog cx 是减函数，得 logca0，所以 a1，所以函数 ylog aM 为增函数，32 (12， )又 M ，因此 M 的单调递增区间为 .(x 34)2 916 ( 34， )又 x2 x0，所以 x0 或 x1 且 b1 或 00；当 a1 且 01 时，log ab1 两种情况讨论.2.在运算性质 logaMlog aM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为 logaM loga|M|(N *，且 为偶数).3.解决与对数函数
11、有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、选择题1.已知函数 f(x) 则 f(2log 23)的值为( )2x，x4，f(x 1)，xbc B.bacC.cba D.cab【答案】 D【解析】 log log 31 51 log 35，因为函数 ylog 3x 在(0，)上为增函数，所以 log35log3 13 15log331，因为函数 y 在( ，)上为减函数，所以 ab.72 (14)x (14)13 (14)0 3.(2019张家界三模)在同一直角坐标系中，函数 f(x)2ax，g
12、( x)log a(x2)( a0，且 a1)的图象大致为( )【答案】 A【解析】 由题意，知函数 f(x)2ax(a0，且 a1)为单调递减函数，当 02，且函数 g(x)log a(x2) 在(2，)上为单调递减函数，C，D 均不满足；当 a1 时，函数2af(x)2ax 的零点 x 0，又 g(x)log a(x2)在(2，)上是增函数，排除 B，综上只有2a 2aA 满足.4.(2019宁波二模)已知 f(x)lg(10x )lg(10x )，则( )A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)
13、上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】 D【解析】 由 得 x(10，10) ，10 x0，10 x0，)且 f(x)lg(100x 2).f(x)是偶函数，又 t100x 2 在 (0，10)上单调递减，ylg t 在(0，) 上单调递增，故函数 f(x)在(0，10)上单调递减.5.(2019临汾三模)已知函数 f(x)|ln x| ，若 f(m)f(n)(m n0)，则 ( )2m 1 2n 1A. B.1 C.2 D.412【答案】 C【解析】 由 f(m)f( n)，mn0，可知 m1n0，ln mln n，则 mn1.所以 2.2m 1 2n 1 2（m
14、 n） 4mn m n 1 2（m n 2）m n 2二、填空题6.lg 2lg 2 _.52 (12) 1 【答案】 1【解析】 lg 2lg 2 lg lg 22252 (12) 1 52lg 2121.(524)7.(2019昆明诊断)设 f(x)lg 是奇函数，则使 f(x)0 时，f(2a) log 2(1a) 1.解得 a ，不合题意.12当 2a2，即 a0 时，f(2a)2 a 11，即 2a 2，解得 a1，所以 f(a)f (1)log 242.三、解答题9.设 f(x)log a(1x )log a(3x)(a0，a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定
15、义域；(2)求 f(x)在区间 上的最大值.0，32【答案】见解析【解析】(1)f (1)2，log a42(a0，a1)，a2.由 得1x3，1 x0，3 x0，)函数 f(x)的定义域为(1，3).(2)f(x)log 2(1x)log 2(3 x)log 2(1x)(3x )log 2(x1) 24 ，当 x0 ，1时，f(x)是增函数；当 x 时，f (x)是减函数，(1，32故函数 f(x)在 上的最大值是 f(1)log 242.0，3210.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)0，当 x0 时，f(x)log x.12(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不
16、等式 f(x21)2.【答案】见解析【解析】(1)当 x0，则 f(x)log (x).12因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)log (x)，12所以函数 f(x)的解析式为f(x)log12x，x0，0，x 0，log12（ x），x2 转化为 f(|x21|)f (4).又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以|x 21|0 且 a1，函数 f(x)log a(x )在区间x2 b(， )上既是奇函数又是增函数，则函数 g(x)log a|x|b|的图象是( )【答案】 A【解析】 函数 f(x)log a(x )在区间(，)上是奇函数，f (0)0，b1，又函数 f
17、(x)x2 blog a(x )在区间( ，)上是增函数，所以 a1.x2 b所以 g(x)log a|x|1|，当 x1 时，g( x)log a(x1)为增函数，排除 B，D；当 01.则 xlog 2t ，同理，y ，z .lg tlg 2 lg tlg 3 lg tlg 52x3y 2lg tlg 2 3lg tlg 3 lg t（2lg 3 3lg 2）lg 2lg 3 0，lg t（lg 9 lg 8）lg 2lg 32x3y.又2x5z 2lg tlg 2 5lg tlg 5 lg t（2lg 5 5lg 2）lg 2lg 5 0，4m2 4m0，)14.已知函数 f(x)ln
18、.x 1x 1(1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性；(2)对于 x2，6，f( x)ln ln 恒成立，求实数 m 的取值范围.x 1x 1 m（x 1）（7 x）【答案】见解析【解析】(1)由 0，解得 x1，x 1x 1函数 f(x)的定义域为(， 1)(1，) ，当 x( ，1)(1，)时，f(x)ln ln ln x 1 x 1 x 1x 1 (x 1x 1) 1 ln f(x).x 1x 1f(x)ln 是奇函数.x 1x 1(2)由于 x2，6时，f( x)ln ln 恒成立，x 1x 1 m（x 1）（7 x） 0，x 1x 1 m（x 1）（7 x）x2 ，6，0m( x1)(7x)在 x2 ，6上恒成立.令 g(x)(x1)(7x )(x3) 216，x 2 ，6，由二次函数的性质可知，x2，3 时函数 g(x)单调递增， x3，6时函数 g(x)单调递减，即 x2 ，6时，g(x )ming(6)7，0m 7.故实数 m 的取值范围为(0，7).