1、第二篇 函数及其性质专题 2.05 指数与指数函数【考试要求】1.通过对有理数指数幂 a (a0，且 a1；m ，n 为整数，且 n0)、实数指数幂 ax(a0，且 a1；xR)含mn义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.【知识梳理】1.根式(1)概念：式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.na(2)性质：( )na(a 使 有意义) ；当 n 为奇数时， a，当 n 为偶数时， |a|na na nan nan
2、 a，a 0， a，a0，m，nN *，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义mn nam是 a (a0，m，nN *，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义.mn 1nam(2)有理指数幂的运算性质：a rasa rs ；(a r)sa rs；(ab) ra rbr，其中 a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数 ya x(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a1 00 时，y1；当 x1；当 x0 时，00，且 a1)的图象，应抓住三个关键点： (1，a)，(0，1) ，
3、 .( 1，1a)2.在第一象限内，指数函数 ya x(a0 且 a1)的图象越高，底数越大 .【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1) 4.( )4（ 4）4(2)(1) (1) .( )24 12 1(3)函数 y2 x 1 是指数函数.( )(4)函数 ya x2 1(a1)的值域是(0，).( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)由于 4，故(1)错.4（ 4）4 444(2)(1) 1，故(2)错.244（ 1）2(3)由于指数函数解析式为 ya x(a0，且 a1)，故 y2 x1 不是指数函数，故(3)错.(4)由于 x211，又 a
4、1，ax 21a.故 ya x21 (a1)的值域是a，) ，(4)错.【教材衍化】2.(必修 1P56 例 6 改编)若函数 f(x)a x(a0，且 a1)的图象经过 ，(2，13)则 f(1)( )A.1 B.2 C. D.33【答案】 C【解析】 依题意可知 a2 ，解得 a ，13 33所以 f(x) ，所以 f(1) .(33)x ( 33) 1 33.(必修 1P59A6 改编)某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使每年的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为( )A.ya(1 p%) x(00，将 表示成分数指数幂，其结果是
5、( )a2a3a2A.a B.a C.a D.a12567632【答案】 C【解析】 由题意得 a 2 a .a2a3a2 12 13 765.(2017北京卷)已知函数 f(x)3 x ，则 f(x)( )(13)x A.是偶函数，且在 R 上是增函数B.是奇函数，且在 R 上是增函数C.是偶函数，且在 R 上是减函数D.是奇函数，且在 R 上是减函数【答案】 B【解析】 函数 f(x)的定义域为 R，f(x)3 x 3 xf (x)，(13) x (13)x 函数 f(x)是奇函数.又 y3 x 在 R 上是增函数，函数 y 在 R 上是减函数，(13)x 函数 f(x)3 x 在 R 上
6、是增函数.(13)x 6.(2019潍坊检测)设 a0.6 0.6，b0.6 1.5，c 1.5 0.6，则 a，b，c 的大小关系是( )A.a1，b0，b0).a3b23ab2（a14b12）4a 13b13【答案】见解析【解析】(1)原式1 14 (49)12 ( 1100)12 1 1 .14 23 110 16 110 1615(2)原式 a 1 b1 2 .（a3b2a13 b23 ）12 ab2a 13b 32 16 13 13 13 ab【规律方法】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)
7、运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练 1】 化简下列各式：(1)(0.064 )2.5 0；15233338(2) a b2 (3a b1 ) (4a b3 ) .5613 12 23 12 【答案】见解析【解析】(1)原式 1(641 000)155223(278)13 1(410)3 15( 52)23 (32)3 13 10.52 32(2)原式 a b3 (4a b3 )52 16 23 12 a b3 (a b ) a b54 16 13 23 54 12 23 .54 1ab3
8、5ab4ab2考点二 指数函数的图象及应用【例 2】 (1)(2019镇海中学检测)不论 a 为何值，函数 y( a1)2 x 恒过定点，则这个定点的坐标是( a2)A. B.(1， 12) (1，12)C. D.( 1， 12) ( 1，12)(2)若函数 f(x) |2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.【答案】 (1)C (2)(0，2)【解析】 (1)y(a1)2 x a 2 x，令 2x 0，得 x1，a2 (2x 12) 12故函数 y(a1)2 x 恒过定点 .a2 ( 1， 12)(2)在同一平面直角坐标系中画出 y|2 x2|与 yb 的图象，如图所示.当 01
9、， b1，b0C.00D.01.73 B.0.61 0.62C.0.80.1 1.250.2 D.1.70.30.62，正确；C 中，(0.8) 1 1.25，问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小.y1.25 x 在 R 上是增函数，0.11, 00.93.1，错误.(2)当 a3，所以30，12a 44a 2，)这时 g(x)x 2 2x3，f(x ) .(13)x2 2x 3 由于 g(x)的单调递减区间是(，1，所以 f(x)的单调递增区间是(，1.角度 3 函数的最值问题 【例 33】 如果函数 ya 2x2a x1(a0，且 a1) 在区间1，1上的最大值是 1
10、4，则 a 的值为_.【答案】 3 或13【解析】 令 axt，则 ya 2x2a x1t 22t 1( t1) 22.当 a1 时，因为 x 1，1，所以 t，又函数 y(t1) 22 在 上单调递增，所以 ymax(a1) 2214，解得 a3(负值舍去).当1a，a 1a，a01 且 a2) 在区间(0，)上具有不同的单调性，则 M(a1) 0.2 与 N 的大小关系是( )(1a)0.1 A.MN B.MNC.MN(2)函数 f(x)3 的单调递增区间为_，单调递减区间为_.x2 5x 4(3)已知函数 f(x)b ax(其中 a，b 为常量，且 a0，a1)的图象经过点 A(1，6)
11、，B(3，24). 若不等式 (1a)x m0 在 x( ，1上恒成立，则实数 m 的最大值为 _.(1b)x 【答案】 (1)D (2)4 ， ) (，1 (3)56【解析】 (1)因为 f(x)x 2a 与 g(x)a x(a1，且 a2)在(0，) 上具有不同的单调性.所以 a2.因此 M( a1) 0.21，N N.(2)依题意知 x25x40，解得 x4 或 x1，令 u ，x(，14 ，)，x2 5x 4 (x 52)2 94所以当 x(，1时，u 是减函数，当 x4 ，)时， u 是增函数.而 31，所以由复合函数的单调性可知，f(x )3 在区间x2 5x 4(，1 上是减函数
12、，在区间4，) 上是增函数.(3)把 A(1，6)，B(3 ，24)代入 f(x)ba x，得 结合 a0，且 a1，解得 所以 f(x)32 x.要6 ab，24 ba3，) a 2，b 3，)使 m 在区间(，1上恒成立，(12)x (13)x 只需保证函数 y 在区间(，1 上的最小值不小于 m 即可.(12)x (13)x 因为函数 y 在区间(，1 上为减函数，(12)x (13)x 所以当 x1 时，y 有最小值 .所以只需 m 即可 .所以 m 的最大值为 .(12)x (13)x 56 56 56【反思与感悟】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利
13、用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x1 得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数 a 的大小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 01 两种情况分类讨论.【易错防范】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为 a2xb axc0 或 a2xb axc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 40 分钟)一、选择题1.(2019北京延庆区模拟)下列函数中，与函数 y2 x2 x 的
14、定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A.ysin x B.yx 3C.y D.ylog 2x(12)x 【答案】 B【解析】 y2 x2 x 是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数.而 ysin x 不是单调递增函数，不符合题意；y 是非奇非偶函数，不符合题意；(12)x ylog 2x 的定义域是(0， )，不符合题意；yx 3 是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意.2.函数 ya x (a0，且 a1)的图象可能是( )1a【答案】 D【解析】 若 a1 时，ya x 在 R 上是增函数，1a当 x0 时，y1 (0，1)，A，B 不满足.1a若 00，a1)的图象恒过
15、点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( )A.y B.y| x2|1 xC.y2 x1 D.ylog 2(2x)【答案】 A【解析】 f(x)过定点 A(1，1)，将点 A(1，1)代入四个选项，y 的图象不过点 A(1，1).1 x4.设 x0，且 10 时，11.又 x0 时，b x0 时， 1.(ab)x 1，ab，10，且 a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A.( ，2 B.2，)C.2，) D.(，2【答案】 B【解析】 由 f(1) ，得 a2 ，解得 a 或 a (舍去 )，即 f(x) .19 19 13 13 (13)|2x 4| 由于 y|
16、2x4|在(，2 上单调递减，在2，)上单调递增，所以 f(x)在( ，2上单调递增，在2，) 上单调递减.二、填空题6.化简 _.（a23b 1） 12a 12b136ab5【答案】 1a【解析】 原式 a b .a 13b12a 12b13a16b56 13 12 16 12 13 56 1a7.函数 y 1 在区间3，2 上的值域是_.(14)x (12)x 【答案】 34，57【解析】 令 t ，因为 x 3，2，所以 t ，故 yt 2t1 .当 t 时，y min ；(12)x 14，8 (t 12)2 34 12 34当 t8 时，y max57.故所求函数的值域为 .34，57
17、8.设偶函数 g(x)a |xb| 在(0 ，) 上单调递增，则 g(a)与 g(b1)的大小关系是_.【答案】 g(a)g(b1)【解析】 由于 g(x)a |xb| 是偶函数，知 b0，又 g(x)a |x|在(0，)上单调递增，得 a1.则 g(b1) g(1)g(1)，故 g(a)g(1) g(b1).三、解答题9.已知函数 f(x) ，a 为常数，且函数的图象过点(1，2).(12)ax (1)求 a 的值；(2)若 g(x)4 x 2，且 g(x) f(x)，求满足条件的 x 的值.【答案】见解析【解析】(1)由已知得 2，解得 a1.(12) a (2)由(1)知 f(x) ，(
18、12)x 又 g(x)f(x) ，则 4x 2 ，(12)x 20，(14)x (12)x 令 t，则 t0，t 2t20，即( t2)(t1)0，(12)x 又 t0，故 t2，即 2，解得 x1，(12)x 故满足条件的 x 的值为1.10.(2019长沙一中月考)已知函数 f(x) 为奇函数.3x a3x 1(1)求 a 的值；(2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明.【答案】见解析【解析】(1)因为函数 f(x)是奇函数，且 f(x)的定义域为 R；所以 f(0) 0，所以 a1.1 a1 1(2)由(1)知 f(x) 1 ，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.3x 13x 1
19、 23x 1理由：设 x10，函数 f(x) 的图象经过点 P ，Q .若 2pq 36pq，则2x2x ax (p，65) (q， 15)a_.【答案】 6【解析】 因为 f(x) ，且其图象经过点 P，Q，2x2x ax 11 ax2x则 f(p) ，即 ，11 ap2p 65 ap2p 16f(q) ，即 6，11 aq2q 15 aq2q得 1，则 2pq a 2pq36pq，a2pq2p q所以 a236，解得 a6，因为 a0，所以 a6.14.已知定义在 R 上的函数 f(x)2 x ，12|x|(1)若 f(x) ，求 x 的值；32(2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于
20、t1 ，2恒成立，求实数 m 的取值范围 .【答案】见解析【解析】(1)当 x0，所以 2x2，所以 x1.(2)当 t1 ，2时，2 t m 0，(22t 122t) (2t 12t)即 m(22t1) (2 4t1)，因为 22t10，所以 m(2 2t1)，因为 t1，2，所以(2 2t1) 17，5，故实数 m 的取值范围是5，).【新高考创新预测】15.(多填题) 若 f(x) 是 R 上的奇函数，则实数 a 的值为_，f( x)的值域为_.a（2x 1） 22x 1【答案】 1 (1，1)【解析】 函数 f(x)是 R 上的奇函数， f (0)0， 0，解得 a1，f(x) 1 .2a 22 2x 12x 1 22x 12 x11，0 2， 11 1，22x 1 22x 1f(x)的值域为(1，1).