1、第二篇 函数及其性质专题 2.02 函数的单调性与最值【考试要求】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义【知识梳理】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的
2、)单调性，区间 D 叫做函数 yf (x)的单调区间.2.函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意 xI，都有 f(x)M；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M结论 M 为最大值 M 为最小值【微点提醒】1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数 yf(x)( f(x)0)在公共定义域内与 yf (x)，y 的单调性相反.1f（x）3.“对勾函数”
3、y x (a0)的增区间为( ， )，( ，)；单调减区间是 ，0) ，(0， .ax a a a a【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x 2D ，且 x1x2 有(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( )(2)函数 y 的单调递减区间是(，0) (0，).( )1x(3)对于函数 yf(x )，若 f(1)f(1) B.f(m)0，所以 m1，所以 f(m)f(1).6.(2017全国卷)函数 f(x)ln(x 22x8) 的单调递增区间是( )A.( ，2) B.(，1)C
4、.(1，) D.(4，)【答案】 D【解析】 由 x22x 80 ，得 x4 或 x0)，12易知 tx2ax 3a 在 上单调递减，( ，a2)在 上单调递增 .(a2， )ylog (x2ax3a)在区间 (2，)上是减函数，12tx 2ax3a 在(2，)上是增函数，且在(2，) 上 t0，2 ，且 42a3a0，a4，4.a2(2)判断并证明函数 f(x)ax 2 (其中 10， 20，1x1x2从而 f(x2)f(x 1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1，3)时，f( x)在1 ，2 上单调递增.【规律方法】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如
5、例 1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“ ，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法； 利用已知函数的单调性；导数法.(2)函数 yfg(x) 的单调性应根据外层函数 yf(t )和内层函数 tg( x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练 1】 (一题多解)试讨论函数 f(x) (a0)在(1，1)上的单调性.axx 1【答案】见解析【解析】法一 设10， x110 时，f (x1)f (x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增
6、.考点二 求函数的最值 【例 2】 (1)已知函数 f(x)a xlog ax(a0，且 a1)在1 ，2上的最大值与最小值之和为 loga26，则 a 的值为( )A. B. C.2 D.412 14(2)已知函数 f(x) 则 ff(3) _，f(x) 的最小值是_.x 2x 3，x1，lg（x2 1），x0，所以 a2.(2)f( 3)lg( 3) 21lg 101，ff(3)f(1)0，当 x1 时，f(x)x 32 3，当且仅当 x 时，取等号，此时 f(x)min2 3x11 时，f(x 2)f (x1)(x2x 1)ab B.cbaC.acb D.bac【答案】 D【解析】 由于
7、函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函数 yf (x)的图象关于直线 x1 对称，所以 af f .( 12) (52)当 x2x11 时，f( x2)f(x 1)(x2x 1)ac.角度 2 求解函数不等式【例 32】 (2018全国卷) 设函数 f(x) 则满足 f(x1)0. )A.( ，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)【答案】 D【解析】 当 x0 时，函数 f(x)2 x 是减函数，则 f(x)f(0)1.作出 f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使 f(x1)f(2x)，当且仅当 或x 10 成立，那么 a 的取值（2 a）x
8、1，x0，f（x1） f（x2）x1 x2所以 yf(x) 在(，)上是增函数.所以 解得 a0，a1，（2 a）1 1a，) 32故实数 a 的取值范围是 .32，2)【规律方法】1.利用单调性求参数的取值(范围 )的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程 (组)(不等式( 组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.【训练 3】 (1)(2017天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，若 af
9、，bf(log 2 4.1)，c f (20.8)，(log215)则 a，b，c 的大小关系为( )A.alog24.1220.8，且 yf (x)在 R 上是增函数，所以 abc.(2)因为 f(x) x22ax(xa) 2a 2 在1 ，2上为减函数，所以由其图象得 a1，g( x) ，ax 1g(x) ，a（x 1）2要使 g(x)在1，2上为减函数，需 g(x)0，综上可知 00 且 a1)，若 f(0)0，可得30， 2a 2，) 2a2 10，a1， )8.(一题多解)(2019天津河东区模拟)对于任意实数 a，b，定义 mina，b 设函数 f(x)a，ab，b，ab.)x3，
10、g(x)log 2x，则函数 h(x)minf (x)，g(x)的最大值是 _.【答案】 1【解析】 法一 在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x) 图象，依题意，h(x) 的图象如图所示的实线部分 .易知点 A(2，1)为图象的最高点，因此 h(x)的最大值为 h(2)1.法二 依题意，h(x) log2x，02. )当 02 时，h( x)3x 是减函数，因此 h(x)在 x 2 时取得最大值 h(2)1.三、解答题9.已知函数 f(x) (a0， x0).1a 1x(1)求证：f(x) 在 (0，)上是增函数；(2)若 f(x)在 上的值域是 ，求 a 的值.12，2 12，2【答案】
11、见解析【解析】(1)证明 设 x2x10，则 x2x 10，x 1x20，f(x 2)f(x 1) 0，f(x 2)f(x1)，f (x)在(0，)上是增函数.(1a 1x2) (1a 1x1) 1x1 1x2 x2 x1x1x2(2)解 f(x) 在 上的值域是 ，12，2 12，2又由(1)得 f(x)在 上是单调增函数，12，2f ，f(2)2，易得 a .(12) 12 2510.函数 f(x)log a(1x )log a(x3)(00，x 30，)f(x)的定义域为(3，1).则 f(x)log a(x 22x 3)，x(3，1)，令 f(x)0，得x 22x 3 1，解得 x1
12、或 x1 ，3 3检验，均满足原方程成立.故 f(x)0 的解为 x1 .3(2)由(1)得 f(x)log a(x 1) 24，x( 3，1)，由于 0g(1)1a0；ax当 a0 时，g(x)x 在区间(1，)上为增函数，此时，g(x) ming(1)1；当 01a0，ax ax2此时 g(x)ming(1)1a；综上，g(x) 在区间(1，)上单调递增.13.已知 f(x) 不等式 f(xa)f(2ax)在 a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是x2 4x 3，x0， x2 2x 3，xf (2ax )得到 xa0 ，2 x210.f(x 1)f(x 2)1，)_.【答案】 2 0，)【解析】 f(x ) f (1)1 212，ff(1) f(2)2 22a.由 ff(1)x2 1，x1，2x ax，x1，)4a，2 22a4a，a2.当 x1 时，f (x)在(，0 上递减，在 0，1上递增，且 f(1)2；当 x1 时，f(x)2 x2x 在(1，)上递增，令 x1 时，2 x2x2 24f (1)，故 f(x)的单调增区间为0 ，1(1，) 0，).