1、第二篇 函数及其性质专题 2.04 幂函数与二次函数【考试要求】1.通过具体实例，结合 yx ，y ，yx 2，y ，yx 3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；1x x2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题【知识梳理】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如 yx 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数.(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1) 和(0，0) ，且在 (0，)上单调递增；当 0) yax 2bxc (a0，当 时，恒有 f(x)0，0 时，幂函数
2、 yx n 在(0，) 上是增函数.( )(3)二次函数 yax 2bx c (xR )不可能是偶函数.( )(4)二次函数 yax 2bx c (x a，b)的最值一定是 .( )4ac b24a【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)x ，故 y2x 不是幂函数，(1)错.13(3)由于当 b0 时，yax 2bxc ax 2c 为偶函数，故(3)错.(4)对称轴 x ，当 小于 a 或大于 b 时，最值不是 ，故(4)错.b2a b2a 4ac b24a【教材衍化】2.(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)k x的图象过点 ，则 k
3、 ( )(12，22)A. B.1 C. D.212 32【答案】 C【解析】 因为 f(x)k x是幂函数，所以 k1.又 f(x)的图象过点 ，所以 ，所以 ，所以(12，22) (12) 22 12k1 .12 323.(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)4x 2kx8 在1，2上是单调函数，则实数 k 的取值范围是_.【答案】 (，816，)【解析】 由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x ，所以要使 f(x)在1，2 上是单调函数，则有k81 或 2，即 k8 或 k16.k8 k8【真题体验】4.(2016全国卷)已知 a2 ，b3 ，c 25 ，则( )43 23
4、 13A.bab.43 23 23 23 235.(2019衡水中学月考)若存在非零的实数 a，使得 f(x)f(ax) 对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f(x)可能是( )A.f(x)x 22x1 B.f(x)x 21C.f(x) 2x D.f(x)2x1【答案】 A【解析】 由存在非零的实数 a，使得 f(x)f(ax)对定义域上任意的 x 恒成立，可得函数图象的对称轴为x 0.只有选项 A 中，f (x)x 22x1 关于 x1 对称.a26.(2019菏泽检测)幂函数 f(x)(m 24m4)x m26m8 在(0，) 上为增函数，则 m 的值为_.【答案】 1【解析】 由题意知
5、 解得 m1.m2 4m 4 1，m2 6m 80，)【考点聚焦】考点一 幂函数的图象和性质【例 1】 (1)幂函数 yf(x )的图象过点(4，2) ，则幂函数 yf (x)的图象是( )(2)若 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是( )(12)23 (15)23 (12)13 A.ab ，因为 y 是减函数，所以 a 1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练 1】 (1)(2019洛阳二模) 已知点 在幂函数 f(x) (a1)x b 的图象上，则函数 f(x)是( )(a，12)A
6、.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数(2)(2018上海卷)已知 ，Error!.若幂函数 f(x)x 为奇函数，且在(0，) 上递减，则 2， 1， 12)_.【答案】 (1)A (2)1【解析】 (1)由题意得 a11，且 a b，因此 a2 且 b1.故 f(x)x 1 是奇函数，但在定义域12(，0) (0 ，)不是单调函数.(2)由题意知 可取1，1，3.又 yx 在(0，) 上是减函数，0 且 a1)与二次函数 y(a1) x2x 在同一坐标系内的图象可能是( )(2)设函数 f(x) x2xa( a0)，已知 f(m)0 D.f(m1)1，则 ylog
7、a x 在(0，)上是增函数，y(a 1)x2x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.(2)因为 f(x)的对称轴为 x ，f(0)a0，所以 f(x)的大致图象如图所示.12由 f(m)0，所以 f(m1)f(0)0.【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练 3】 一次函数 yax b 与
8、二次函数 yax 2bxc 在同一坐标系中的图象大致是( )【答案】 C【解析】 A 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，此时二次函数 yax 2bxc 的图象应该开口向上，A 错误；B 中，由一次函数 yaxb 的图象可得 a0，b0 ，此时二次函数 yax 2bxc 的图象应该开口向上，对称轴 x xk 在区间3，1 上恒成立，试求 k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意知 解得a0， b2a 1，f（ 1） a b 1 0，) a 1，b 2.)所以 f(x)x 22x 1，由 f(x)(x1) 2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2
9、)由题意知，x 22x1x k 在区间 3，1上恒成立，即 k0 时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；0，所以 f(x)在( ，2上是递减的，在2，)上是递增的.3.(2019北京朝阳区模拟)已知函数 f(x)x 24xa，x 0，1，若 f(x)有最小值2，则 f(x)的最大值为( )A.1 B.0 C.1 D.2【答案】 A【解析】 f(x)x 24x a (x2) 2a4，函数 f(x)x 24x a 在0，1上单调递增，当 x0 时，f( x)取得最小值，当 x1 时，f (x)取得最大值，f(0)a2，f(1) 3a321.4.(2019岳阳一中)已知函数 yax
10、 2bx1 在(，0 是单调函数，则 y2axb 的图象不可能是( )【答案】 B【解析】当 a 0， b0时， y 2ax b 的图象可能是 A；当 a0 时， 0b0， y 2ax b 的图象可能是 C；b2a当 a0，且 14ab0，4ab 1，且 b0.故 a4b2 2，4ab当且仅当 a4b，即 a1，b 时等号成立.14所以 a4b 的取值范围是2， ).8.已知二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x)，且 f(x)在0 ，2上是增函数，若 f(a)f(0)，则实数 a 的取值范围是_.【答案】 0，4【解析】 由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x2(如图)，若
11、 f(a)f (0)，从图象观察可知0a4.三、解答题9.已 知 幂 函 数 f(x) (m 1)2xm2 4m 2 在 (0， )上 单 调 递 增 ， 函 数 g(x) 2x k.(1)求 m 的值；(2)当 x1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：x A，q：xB，若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)依题意得：(m1) 21m 0 或 m2，当 m2 时，f(x)x 2 在(0 ，)上单调递减，与题设矛盾，舍去， m 0.(2)由(1)得，f(x)x 2，当 x1 ，2)时，f(x)1，4)，即 A1 ，4)，
12、当 x1 ，2)时，g(x )2k，4k)，即 B2k，4k)，因 p 是 q 成立的必要条件，则 BA，则 即 得 0k1.2 k1，4 k4，) k1，k0，)故实数 k 的取值范围是0，1.10.已知奇函数 yf( x)定义域是 R，当 x0 时，f(x)x(1x).(1)求出函数 yf(x )的解析式；(2)写出函数 yf(x )的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)【答案】见解析【解析】(1)当 x0，所以 f(x) x(1 x).又因为 yf(x) 是奇函数，所以 f(x)f(x )x(1x).综上 f(x) x（1 x），x 0，x（1 x），x0)，当1x1 时
13、， |f(x)|1 恒成立，则 f _.(23)【答案】 19【解析】 当 x1，1时， |f(x)|1 恒成立.|f（0）|1|n|1 1n1；|f（1）|1|2 n|1 3n 1，)因此 n1，f(0)1，f (1)1.由 f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线 x0，2m0，m2，f(x)2x 21，f .(23) 1914.已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x1，1时，函数 yf (x)的图象恒在函数 y2xm 的图象的上方，求实数 m 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设 f(x)ax 2bx
14、1(a0) ，则 f(x 1)f(x )2x，得 2axab2x .所以，2a2 且 ab0，解得 a1，b1，又 f(0)1，所以 c1，因此 f(x)的解析式为 f(x)x 2x1.(2)因为当 x1，1时，y f (x)的图象恒在 y2xm 的图象上方，所以在1，1上，x 2x 12 xm 恒成立；即 x23x1m 在区间1， 1上恒成立.所以令 g(x)x 23x1 ，(x 32)2 54因为 g(x)在1，1上的最小值为 g(1)1，所以 m1.故实数 m 的取值范围为( ，1).【新高考创新预测】15.(思维创新) 若函数 f(x)x 2ax b 在区间0 ，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm( )A.与 a 有关，且与 b 有关B.与 a 有关，但与 b 无关C.与 a 无关，且与 b 无关D.与 a 无关，但与 b 有关【答案】 B【解析】 设 x1，x 2 分别是函数 f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mx ax 1b，Mx ax 2b.21 2Mmx x a(x 2x 1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关. 2 21