1、专题 04 三角函数的应用一、本专题要特别小心：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期6.已知图象求解析式二【学习目标】1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题三 【方法总结】1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)后，再看 f
2、(x) 与 f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为 yA sin x 或 yAtan x，偶函数一般可化为 yA cos xb 的形式.2.三角函数的单调性(1)函数 yAsin(x )(A 0，0)的单调区间的确定，其基本思想是把 x 看作一个整体，比如：由 2k x2k (k Z)解出 x 的范围，所得区间即为增区间.2 2若函数 yAsin(x)中 A0， 0，可用诱导公式将函数变为 yAsin( x)，则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.对函数 yAcos(x)，y A tan(x)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函
3、数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型：(1)yAsin(x )B 或 y Atan(x)B，(2)yA(sin xa) 2B ，(3)ya(sin xcos x)bsin xcos x(其中 A，B ，a，bR ，A 0，a0).四 【题型方法】（一）利用三角函数测量应用例 1.如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B， C的俯角分别为 75， 30，此时气球的高是 60m，则河流的宽度 BC等于( )A 30(1)mB 120(3)mC 82D 4【答案】B【解析】
4、记 A点正下方为 O，由题意可得 60， 75B， 30ACo，在 AOB中，由1tant(4)23，得到60(23)；在 AOC中，由tan03得到603OC，所以河流的宽度 B等于 (2)1()B米.故选 B练习 1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚 A 测得山顶 B 的仰角为 ，他沿着倾斜角为 的斜坡向上走了 40 米后到达 C，在 C 处测得山顶 B 的仰角为 ，则山高 约为_米.（结果精确到个位， 在同一铅垂面）.参考数据： .【答案】【解析】过 C 做 CMBD
5、 于 M,CNAD 于 N,设 BM=h,则 CM=,解得 h=20(),BD=h+ 20（二）与圆有关的三角函数应用例 2. 如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， APB是锐角，大小为 .图中阴影区域的面积的最大值为A4+4cos B4+4sin C2 +2cos D2 +2sin【答案】B【解析】观察图象可知，当 P 为弧 AB 的中点时，阴影部分的面积 S 取最大值，此时BOP=AOP =-, 面积 S 的最大值为2+SPOB+ SPOA=4+1|sin()2OPB1|sin()2OPA424sin.故选：B.练习 1如图，四边形 ABCD内接于圆 O，若 1
6、AB， 2D，3cossinC，则 CS 的最大值为（ ）A74B724C734D72【答案】C【解析】做 DECB于点 E， cosDBCE， sin,DBCE 3cossin3BCDBCDBE3()EC在直角三角形 中，可得到tan3.3E根据该四边形对角互补得到23DAB在三角形 ABD 中，应用余弦定理得到11427BD在三角形 DCB 中，应用余弦定理以及重要不等式得到 2272BDCBCBCBD进而得到13734DSA故答案为：C.练习 2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为 124 米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要 30
7、 分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面 145米，可以俯瞰白浪河全景，图中 与地面垂直，垂足为点 ，某乘客从 处进入 处的观景舱，顺时针转动分钟后，第 1 次到达 点，此时 点与地面的距离为 114 米，则 （ ）A16 分钟 B18 分钟 C20 分钟 D22 分钟【答案】C【解析】根据题意，作 ， ，如下图所示：直径为 ，则 ，所以则 所以 ，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要 30 分钟所以从 A 到 B 所需时间为 分钟所以选 C练习 3.定义在封闭的平面区域 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点 在半径为 1 的圆上，且 ，分别以 各
8、边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域 ，则平面区域 的“直径”的最大值是_【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为 G,F，E，半径分别为 M,P,N 分别为半圆上的动点，则 PM+GF= + = ，当且仅当 M,G,F,P 共线时取等；同理：PN MN ,又 外接圆半径为 1， ，所以 ,BC=a=2sin = ,由余弦定理 解 b+c2 ,当且仅当 b=c= 取等；故故答案为（三） 模型的应用例 3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈的模型波动（x 为月份） ，已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 的解
9、析式为( )A BC D【答案】A【解析】因为 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，所以半周期 ，故 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，当 时， ， ， .，故选 A.练习 1. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律： (美元)( t(天)， ， )，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 (天)时达到最低油价，则 的最小值为_【答案】【解析】由最高油价为 80 美元知 .由 (天) 时达到最低油价知 ，所以， ，又 ，所以 的最小值为 .练习 2.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路 MON 进行分流，已知穿城公路 MON自西向东到达城市中心 O后
10、转向N方向，已知MON34，现准备修建一条城市高架道路 L，L 在MO 上设一出入口 A，在 ON 上设一出口 B，假设高架道路 L 在 AB 部分为直线段，且要求市中心 O与AB 的距离为 10km（1）求两站点 A，B 之间的距离；（2）公路 MO 段上距离市中心 O30km 处有一古建筑群 C，为保护古建筑群，设立一个以 C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区因考虑未来道路 AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心 O之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？【答案】 （1） 20(1)；（2） 020OA【解析】 （1）过 O作直线 OEAB 于 E，则 OE10，设EOA
11、 ，则EOB34， （ 2） ，故 AE10tan ，BE10tan （34） ，AB10tan +10tan（34 ）10（3sini4co）310sin4co，又 cos3cos4cos （2cos + sin）12sina24由 2，可得：2 3,4，故 cos max32cos4，当且仅当 2 4，即 38时取等号，此时，AB 有最小值为 20（ 1） ，即两出入口之间距离的最小值为 20（ 21） （2）由题意可知直线 AB 是以 O为圆心，10 为半径的圆 O的切线，根据题意，直线 AB 与圆 C 要相离，其临界位置为直线 AB 与圆 C 相切，设切点为 F，此时直线 AB 为圆
12、与圆 的公切线，因为，出入口 A 在古建筑群和市中心 O之间，如图所示，以 为坐标原点，以 O所在的直线为 x轴，建立平面直角坐标系 xy，由 CF 5，OE10，因为圆 的方程为 x2+y2100，圆 C的方程为（x+30 ） 2+y225，设直线 AB 的方程为 ykx+t（k0） ，则：221305tkt，所以两式相除可得：|30|tk2，所以 t20k，或 t60k，所以，此时 A（20，0）或 A（ 60，0） （舍去） ，此时 OA20，又由（1）可知当 4时，OA10 2，综上，OA (102,)即设计出入口 A 离市中心 O的距离在 10 km 到 20km 之间时，才能使高架
13、道路及其延伸段不经过保护区练习 3一半径为 的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每 转一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数；（2）点 第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2) 【解析】 （1）设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， . ， ，（2）令 ，得 ， ，点 第一次到达最高点大约要 的时间.练习 4.已知某海滨浴场海浪的高度 （米）是时间 的（ ，单位：小时）函数，记作 ，下表是
14、某日各时的浪高数据：（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观察， 的曲线，可以近似地看成函数 的图象（1）根据以上数据，求出函数 近似表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午时至晚上 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】 （1） ；（2）从 8 点到 16 点共 8 小时.【解析】 （1）设函数 ，同一周期内，当 时 ，当 时 ，函数的周期 ，得 ，且 ， ，又由题意得点 是函数图象上的一个最低点， ， ，函数近似表达式为 （
15、2）由题意得 ，即 ，解得 ，即 ，在规定时间上午 800 时至晚上 2000 时之间，令 ，得 ，在规定时间上午 800 时至晚上 2000 时之间，从 8 点到 16 点共 8 小时的时间可供冲浪者进行运动（四）数学文化中的三角应用例 4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（gu）影算法” 在大衍历中建立了晷影长 与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度等于表高 与太阳天顶距 正切值的乘积，即 已知天顶距 时，晷影长 现测得午中晷影长度 ，则天顶距 为（ ）（参考数据： ， ， ， ）A B C D【答案】B【解析】 ，且顶距 时，晷影长 ，
16、当晷影长度 ，故选：B练习 1我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为 ，那么用圆的内接正 边形逼近圆，算得圆周率的近似值 可表示成（ ）A B C D【答案】A【解析】令圆的半径为 1，则圆内接正 边形的面积为 ，圆内接正 边形的面积为 ，用圆的内接正 边形逼近圆，可得 ；用圆的内接正 边形逼近圆，可得 ；所以 .故选 A练习 2 “勾股定理”在西方被称为“
17、毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角为 ，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为 ，则锐角 （ ） A B C D【答案】D【解析】设 大正方形的边长为 a,小正方形边长为 b,则 =b,阴影三角形面积为 小正方形面积为 又阴影部分与大正方形的面积之比为 所以整理得 1- , 解得故选：D（五）三角形中的三角函数例 5. 某小区拟对如图一直角ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形 DEF ,在其内建造
18、文化景观。已知 201ABmC， ,则 DEF 面积最小值为_【答案】753【解析】因为 201ABmC， ，所以2013Bm，显然，,63，设 ,DExC，则 36EFB，且02，则 cos，所以 103cosx，在 BEF中，由正弦定理可得：103cosin()in6x，求得1032cosi7si()x，其中2,in7，则02，因为 0，所以当时， sin()取得最大值 1，则 x的最小值为127，所以面积最小值为23017534S，练习 1. 海上一艘轮船以 的速度向正东方向航行，在 处测得小岛 在北偏西 的方向上，小岛在北偏东 的方向上，航行 后到达 处测得小岛 在北偏西 的方向上，小
19、岛 在北偏西 的方向上，则两个小岛间的距离 _ .【答案】【解析】在 中，由题意可得由正弦定理在 中，由于由正弦定理可得可得 中，由余弦定理可得 解得即 C、D 之间的距离为故答案为练习 2如图，有一壁画，最高点 处离地面 6 m，最低点 处离地面 3.5 m若从离地高 2 m 的 处观赏它，则离墙_m 时，视角 最大【答案】【解析】如图，过点 作 的垂线，垂足为设 米，则 在 中，由余弦定理可得：（ ）.令 ，则当 时， 最大，此时 最小，此时 最大.即 时，视角 最大.练习 3.某小区拟对如图一直角ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形 DEF ,在其内建造文化景观。已知
20、 201ABmC， ,则 DEF 面积最小值为_【答案】753【解析】因为 201ABmC， ，所以2013Bm，显然，,63，设 ,DExC，则 36EFB，且02，则 cos，所以 103cosx，在 BEF中，由正弦定理可得：sin()sin6x，求得1031032cosi7si()x，其中2,in7，则 2，因为 0，所以当 2时， sin()取得最大值 1，则 x的最小值为127，所以面积最小值为23017534S（六）三角函数的综合应用例 6. 如图是一个半径为 2 千米，圆心角为 的扇形游览区的平面示意图 是半径 上一点， 是圆弧 上一点，且 .现在线段 ，线段 及圆弧 三段所示
21、位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段 处每千米为 元，线段 及圆弧 处每千米均为 元设 弧度，广告位出租的总收入为元(1)求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问： 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值【答案】 （1） ；（2）当 时，广告位出租的总收入最大，最大值为 元.【解析】(1)因为 ，所以 .在 中， ， ， .由正弦定理，得 ，得 ， . 又圆弧 长为 ，所以.(2)记 ，则 ，令 ，得 . 当 变化时， ， 的变化如下表：所以 在 处取得极大值，这个极大值就是最大值，即 .故当 时，广告位出租的总收入最大，最大值为 元练习 1. 某地拟在一个
22、U 形水面 PABQ（A=B=90 ）上修一条堤坝（ E 在 AP 上，N 在 BQ 上） ，围出一个封闭区域 EABN，用以种植水生植物为了美观起见，决定从 AB 上点 M 处分别向点 E，N 拉 2 条分隔线 ME，MN ，将所围区域分成 3 个部分（如图） ，每部分种植不同的水生植物已知AB=a， EM=BM，MEN =90，设所拉分隔线总长度为 l（1）设AME=2，求用 表示的 l 函数表达式，并写出定义域；（2）求 l 的最小值【答案】 （1）l= ， （0， ） ；（2）l min=2a【解析】 （1）EM=BM， B=MEN，BMNEMN，BNM=MNE，AME=2，BNM=M
23、NE= ，设 MN=x，在BMN 中，BM=xsin，EM=BM=xsin ，EAM 中，AM=EMcos2=xsincos2，AM+BM=a， xsincos2+xsin=a，x= ，l=EM+MN= ， （0， ） ；（2）令 f（）=sin（1-sin） ，sin （0， ） ， f（） ，当且仅当 = 时，取得最大值 ，此时 lmin=2a练习 2.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地，A 处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处，B 处位于海上一个灯塔处，在 A 处用测角器测得 ，在 A 处正西方向 1km 的点 C 处，用测角器测得 ，现有两种铺设方案： 沿线段 AB
24、在水下铺设； 在岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km，4 万元/km.（1）求 A、B 两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.【答案】 （1） 千米；（2）方案，理由见详解.【解析】 （1）过点 作 于点 ，设 ，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，即 ，解得 ,所以 (km).（2）由（1）可知 (km)，方案：沿线段 AB 在水下铺设，总铺设费用为 万元；方案：设 ，则 ，其中 ，在直角三角形 中， ， ，所以 ，则总铺设费用为 ，设 ，则 ，令 得 ，列表如下：单调递减 极小值 单调递增所以 的最小值为 .所以该方案的总铺设费用为 ，此时 .而 ，所以应选择方案进行铺设，点 选择 的正西方 处，总铺设费用最低.