1、第二篇 函数及其性质专题 2.01 函数的概念【考试要求】 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的概念设 A，B 都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf(x)，xA.2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf(x )，xA 中，x 叫做自变量，x 的
2、取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【微点提醒】1.直线 xa(a 是常数)与函数 yf(x)的图象有 0 个或 1 个交点.2.分段函数无
3、论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)函数 y1 与 yx 0 是同一个函数 .( )(2)对于函数 f：A B，其值域是集合 B.( )(3)f(x) 是一个函数.( )x 3 2 x(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】(1)错误.函数 y1 的定义域为 R，而 yx 0 的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域 CB，不一定有 CB.(3)错误.f(x) 中 x 不存在.x 3 2 x(
4、4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.【教材衍化】2.(必修 1P25B2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x )的图象可能是( )【答案】 B【解析】 A 中函数定义域不是 2，2；C 中图象不表示函数； D 中函数值域不是0，2.3.(必修 1P18 例 2 改编)下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是( )A.y( )2 B.y 1x 1 3x3C.y 1 D.y 1x2x x2【答案】 B【解析】 对于 A，函数 y( )2 的定义域为x|x 1 ，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；x 1对
5、于 B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于 C.函数 y 1 的定义域为x|x0，与函x2x数 yx1 的定义域 xR 不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.【真题体验】4.(2019北京海淀区期中)已知 f(x5)lg x，则 f(2)( )A. lg 2 B. lg 5 C. lg 2 D. lg 315 12 13 12【答案】 A【解析】 令 x52，则 x2 ，f (2)lg 2 lg 2.1515155.(2019河南、河北两省重点高中联考) 函数 f(x) ln(x4) 的定义域为_.4 4x【答案】 (4，1【解析】 f(x)有意义
6、，则 解得40，)6.(2019济南检测)已知函数 f(x)ax 32x 的图象过点( 1，4)，则 a_.【答案】 2【解析】 由题意知点(1， 4)在函数 f(x)ax 32x 的图象上，所以 4a2，则 a2.【考点聚焦】考点一 求函数的定义域【例 1】 (1)函数 y log2(tan x1)的定义域为_；1 x2(2)若函数 yf(x )的定义域是0，2 ，则函数 g(x) 的定义域为 _.f(2x)x 1【答案】 (1) (2)0，1)(4，1【解析】 (1)要使函数 y log 2(tan x1)有意义，则 1x 20，tan x10，且 xk (kZ ).1 x221x1 且
7、k0且 x1.)(2)易知 ff(x)flg(1 x) lg1lg(1x)，则 解得90，1 lg（1 x）0，)考点二 求函数的解析式【例 2】 (1)已知 f lg x ，则 f(x)_；(2x 1)(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_；(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f 1，则 f(x)_.(1x) x【答案】 (1)lg (x1) (2) x2 x2 (3) 2x 1 12 32 23x 13【解析】 (1)令 t 1( t1)，则 x ，2x 2t 1f(t)lg ，即 f(x)lg (x1).2t 1 2x
8、1(2)设 f(x)ax 2bxc (a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x 1)f(x) a(x 1) 2b(x1)2ax 2bx22ax abx1，所以 即 f(x) x2 x2.2a 1，a b 1，) a 12，b 32.) 12 32(3)在 f(x)2f 1 中，(1x) x将 x 换成 ，则 换成 x，1x 1x得 f 2f(x) 1，(1x) 1x由 解得 f(x) .f(x) 2f(1x) x 1，f(1x) 2f(x) 1x 1，) 23x 13【规律方法】 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数 fg(x)的
9、解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于 f(x)与 f 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组(1x)求出 f(x).【训练 2】 (1)(2019杭州检测) 已知函数 f(x)axb(a0)，且 ff(x)4x3，则 f(2)_；(2)若 f(x)满足 2f(x)f(x)3x，则 f(x)_.【答案】 (1)3 (2)3 x【解析】 (1)易知 ff(x)a(axb) ba 2xabb，a 2xabb4x 3(a0)，因此 解得a2 4，ab b 3，) a 2，b 1.)所以 f(x)2x1，则 f(2)3.(2)因为 2f(x
10、) f(x)3x，所以将 x 用x 替换，得 2f( x)f (x)3x ，由解得 f(x)3x.考点三 分段函数 角度 1 分段函数求值【例 31】 (2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4) f (x)(xR )，且在区间(2，2上，f(x) 则 ff(15)的值为_.cos x2，01 的 x 的取值范围是_.x 1，x0，2x，x0，) (x 12)【答案】 (1)D (2) ( 14， )【解析】 (1)f 3 b b，(56) 56 52若 b 时，52 32则 f f 3 b4，f (56) (52 b) (52 b)解得 b ，不合题意舍去.78若 b1，即 b ，则 2
11、 b 4，解得 b .52 32 52 12(2)当 x0 时，f(x )f (x1) ，(x 12) (x 12 1)原不等式化为 2x 1，解得 1，该式恒成立，12当 x 时，f( x)f 2 x2 x ，12 (x 12) 12又 x 时，2 x 2x 2 2 01 1 恒成立，12 12 12 2综上可知，不等式的解集为 .( 14， )【规律方法】 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值
12、范围.【提醒】 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练 3】 (1)(2019合肥模拟) 已知函数 f(x) 则 ff(1)( )x 1x 2，x2，x2 2，x2，)A. B.2 C.4 D.1112(2)已知函数 f(x) 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_.（1 2a）x 3a，x0，1 2a 3a1，) 12【反思与感悟】1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系
13、数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.【易错防范】1.复合函数 fg(x)的定义域也是解析式中 x 的范围，不要和 f(x)的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时： 35 分钟)一、选择题1.函数 f(x) 的定义域为 ( )2x 11x 2A.0，2) B.(2，)C.0，2)(2 ，) D.(，2)(2 ，)【答案】 C【解析】 由题意知 得 所以函数的定义域为0 ，2)(2，).2x 10，x 20，) x0，x2，)2.(2019郑州调研)如图是
14、张大爷晨练时离家距离 (y)与行走时间 (x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )【答案】 D【解析】 由 y 与 x 的关系知，在中间时间段 y 值不变，只有 D 符合题意.3.下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10 lg x 的定义域和值域相同的是( )A.yx B.ylg xC.y2 x D.y1x【答案】 D【解析】 函数 y10 lg x 的定义域、值域均为(0，)，而 yx，y2 x 的定义域均为 R，排除A，C；ylg x 的值域为 R，排除 B；D 中 y 的定义域、值域均为(0 ，).1x4.设函数 f(x) 则 f(2)
15、 f (log212)( )1 log2（2 x），x1，f(log 212)2 (log212)1 2 log266，因此 f(2) f(log 212)369.5.(2019西安联考)已知函数 f(x)x 24x，xm，5的值域是 5，4，则实数 m 的取值范围是( )A.( ，1) B.(1，2C.1，2 D.2，5【答案】 C【解析】 f(x)x 24x (x2) 24.当 x2 时，f(2)4.由 f(x)x 24x 5，得 x5 或 x1.要使 f(x)在m，5上的值域是 5，4，则1m2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数
16、大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(x表示不大于 x的最大整数)可以表示为( )A.y B.yx10 x 310C.y D.yx 410 x 510【答案】 B【解析】 代表人数与该班人数的关系是除以 10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要增加一名，故 y.x 3107.(2017山东卷)设 f(x) 若 f(a)f(a1)，则 f ( )x，00，则实数 a 的取值范围为( )x2 x，x0， 3x，x0 时，不等式 af(a)f(a)0 等价于 a22a0，解得 a2.当 a0 等价于 a22a0，解得 a0，x0
17、，1 x20) x0，x0， 1x1 )f(x)的定义域为(0，1.10.已知函数 f(x)满足 f f(x )2x(x0)，则 f(2)_.(1x) 1x【答案】 72【解析】 令 x2，可得 f f(2) 4，(12) 12令 x ，可得 f(2)2f 112 (12)联立解得 f(2) .7211.下列四个结论中，正确的命题序号是_.f(x) 与 g(x) 表示同一函数；|x|x 1，x0， 1，x0，) 12【答案】 1，2，22【解析】 由题意知，若 x0，则 2x ，解得 x1；12若 x0，则|log 2x| ，解得 x2 或 x2 .12 12 12故 x 的集合为 . 1，2
18、，22【能力提升题组】(建议用时： 15 分钟)13.具有性质：f f( x)的函数，我们称为满足“倒负” 变换的函数.下列函数：(1x)yx ；y ln ；y 1x 1 x1 x x，01. )其中满足“倒负” 变换的函数是( )A. B. C. D.【答案】 B【解析】 对于，f(x )x ，f x f(x)，满足题意；对于，f(x) ln ，则 f ln 1x (1x) 1x 1 x1 x (1x)f(x) ，不满足；x 1x 1对于，f 即 f (1x) 1x，01，) (1x) 1x，x1，0，x 1， x，00，所以 f log 2x，则 f(x)log 2 log 2x.(1x)
19、 1x16.(2019绍兴调研)设 f(x) 则 f(f(1)_；不等式 f(x)2 的解集为_.2ex 1，x 2，log3（x2 1），x2，)【答案】 1 (1，2)( ，)10【解析】 f(1)2e 02，f(f(1)f (2)log 3(41) 1.当 x2 时，f(x) 2 即ex1 1e 0，x 1，1x 2.当 x2 时，f(x)2 即为 log3(x21)2log 332，x 210，即 x 或 x ，x .10 10 10【新高考创新预测】17.(多选题) 已知定义域内的函数 f(x)满足：f (f(x)x 0 恒成立，则 f(x)的解析式不可能是( )A.f(x) B.f(x)e x2 019xC.f(x) x2 D.f(x)lg 1 x2【答案】 ACD【解析】 A 中，f(f( x) f x( x0)恒成立，(2 109x )所以 f(f(x)x0 不恒成立，A 正确；B 中，因为 exx，所以 eexexx，所以 f(f(x)ee xx 恒成立，B 错误；C 中，f (f(x)x 4x，此方程有 x0 或 x1 两个根，所以 f(f(x)x0 不恒成立，C 正确；D 中，x0 时，f (f(x)x 成立，所以 f(f(x)x 0 不恒成立， D 正确.