1、专题 13 平面向量基本定理及其应用一、本专题要特别小心：1.平面向量基本定理的应用问题2. 基本定理的两条路径法表示向量问题3. 数形结合的应用4.向量于线性规划问题等综合问题 5. 向量的坐标表示及运算性质6.向量共线与垂直的坐标表示7.向量与数列的综合8.向量与解析几何的综合二 【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件三 【方法总结】1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量 实数对(x，y) ，任何一个平面向量都有唯 对 应 一的坐标表示，但是每一个坐
2、标所表示的向量却不一定唯一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系。2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.3.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问
3、题提供了一种有效方法.四 【题型方法】（一）平面向量基本定理例 1. 已知 O是正方形 ABCD的中心若 OABC，其中 ,R，则 （ ）A 2B12C 2D 2【答案】A【解析】 1122DOACBOACABC1， 2本题正确选项：练习 1. 在平行四边形 ABCD中，13,2,32APBAQD若 12,CPQ则ADC( )A56B34C23D 2【答案】C【解析】如图所示, 平行四边形 ABCD中, 3,2A, 1,32PABQD，PB，1C, 因为 12CQ, 所以232PADBAD2433ABDB2214cos12, 1cos2BAD，,3所以C，故选 C.练习 2.在 中，若点 满足
4、 2CDB，点 M为 AC中点，则 D=（ ）A2136BB136AC13D2136ABC【答案】A【解析】作出图形如下， 1212()33MDCACBABC2136A,故选 A练习 3.已知平行四边形 D的对角线分别为 ， D，且 E，点 F是 BD上靠近 的四等分点，则（ ）A12FEBADB512FEADC5DB【答案】B【解析】由题意，因为 2AEC，且点 F是 上靠近 的四等分点，14FOD，16，146FEODBAC， AB， ，11()()46512BAD.故选：B（二）由平面向量基本定理求最值例 2. 在边长为 2的正方形 OABC中，点 D为线段 BC的中点，点 M在线段 O
5、D上，则 AMB的最大值为A 51B 5C 4D 5【答案】C【解析】设线段 的中点为 N，连接 MN，则221()()4ABMAB221()14MNBA，易得22max()5O，所以 的最大值为 ，故选 C练习 1. 已知点 G 是ABC 内一点，满足 + + = ，若 BAC= ， =1，则| |的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】因为 + + = ，所以 G 是 ABC 重心，因此 ，从而,选 A.(当且仅当 时取等号)练习 2.正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足 ，若，其中 m、 nR，则 的最大值是_【答案】【解析】建立如图所
6、示的直角坐标系，则 A（1， 1） ，B（ 1，1） ，D（1，1） ，又 ，所以 ，则 ，其几何意义为过点 E（3 ，2 ）与点 P（sin，cos）的直线的斜率，设直线方程为 y+2 k（x +3 ） ，点 P 的轨迹方程为 x2+y21，由直线与圆的位置关系有： ，解得： ，即 的最大值是 1，故答案为：1练习 3.已知 是等边 的外接圆，其半径为 4， 是 所在平面内的动点，且 ，则的最大值为( )A4 B6 C8 D10【答案】C【解析】结合题意，绘制图形，可知， 代入得到故而 故要计算最大值，可知当 的时候，取到最大值，故最大值为，故选 C。练习 4.如图， 0,|2,|OABOB
7、，点 C是线段 AB 上的一个动点，D 为 OB 的中点，则D的最小值为_.【答案】12【解析】选取,OAB为基向量，设 (1)OCAOB，其中 10，因为 D 为 OB 的中点，所以 2BD，所以()2DCAOB，所以21=()(1)6CAA216()，因为 0，所以当 2时， DCO取得最小值，为1，故答案为 （三）平面向量基本定理求参数例 3.如图，在 ABC中，点 O在 边上，且 2BOC，过点 的直线与直线 AB， C分别交于,MN两点（ ,不与点 ,重合） ，若 AMm， Nn，则 2mn（ ）A32B12C13D14【答案】C【解析】由 2OC得： AAO，即：123ABC又 ,
8、MN三点共线，设： MN，则： MNO整理可得： 1mBnC1mnAOBAC132n213n则：23，即：231m本题正确选项：练习 1.已知平面内的两个单位向量 OA， B，它们的夹角是 60， OC与 A、 B向量的夹角都为 30，且 |23OC，若 ，则 值为（ ）A B 43C2 D4【答案】D【解析】由题意，可得 C在 AO的角平分线上，所以 ()OkAB,再由 OAB可得 ，即 ()AB，再由 23OC，得222 0()()(1cos61)ABOAB，解得 ，故 ，所以 4，故选 D.练习 2.如图,在梯形 中, , 为线段 上一点,且 ， 为 的中点, 若（ ， ）,则 的值为（
9、 ）A B C D【答案】B【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得：又因为 ，所以 ，所以 ，故选 B.练习 3.已知菱形 ABCD的边长为 2， 120BAD，点 E， F分别在边 BC， D上， 3BE，DF，若 1E，则 的值为（ ）A3 B2 C 23D52【答案】B【解析】由题意可得： EFEADF113ABCB22113BCABC，且：24,cos0A，故41213，解得： 2.故选：B.（四）平面向量基本定义与几何意义例 4. 在 中， 为 的重心， 为 上一点，且满足 ，则（ ）A BC D【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得 ，因为 G 为
10、ABC 的重心，M 满足所以 ， ，所以 所以选 B练习 1. 如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若 ，则等于（ ） A B C D【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以 ，即 ，故选：A练习 2.在梯形 中， ， ， ， ， ，若 ，则 的值为_【答案】7【解析】AB CD，AB 4， CD2， ， ， ， ， （ ）（ ） 3，即 9 3， 4又 ， （ ） 927故答案为：7练习 3.如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则实数 的值为_【答案】【解析】设 , ,已知 ,所以有 .（五）平面向量基本定理的两条路径表示法例 5.如图，在OACB 中，E 是 A
11、C 的中点，F 是 BC 上的一点，且 BC=3BF，若 =m ，其中m，nR ，则 m+n 的值为（ ）A1 B C D【答案】C【解析】在平行四边形中 因为 E 是 AC 中点，所以所以 ,因为 ，所以 所以 ，因为 ，所以，解得所以 故选 C练习 1如图，在 的边 AB、AC 上分别取点 M、N，使 ，BN 与 CM 交于点 P，若 ， ，则 的值为 A B C D6【答案】D【解析】由题意 ，根据平面向量基本定理，可得 ， 故选 D练习 2如图，在 VABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 O.若6ABOE，则 的值是_.【答案】 3.
12、【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.3632AOECDAEBACE21112 33B ABC 2 2233ACABC，得221,B即 ,故3.练习 3.如图，在 中，若 ， ，线段 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，若，则 _【答案】【解析】由题意，因为 为 中点，所以 ，因为 为 中点，所以 ，因为 为 中点， ， ， ,而 , , 故答案为： 练习 4.已知 在 内，且 ， ，则 _【答案】【解析】如图，设 BO 与 AC 相交于 D，则由 ，可得 ，设 CO 与 AB 相交于 E，则由
13、，可得 ，因 B,O,D 三点共线，故存在实数 m，使 ，因 C,O,E 三点共线，故存在实数 n，使得，所以 ，解得 ，所以 ， ，故答案是： .（六）平面向量基本定理与坐标系例 6. 已知等边 的边长为 2，若 ， ，则 的面积为_【答案】【解析】以 的中点为原点， 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为 , 所以 ，故 ， ，设 的夹角为 ， ，所以， ，点 到直线 的长度为 ， 的面积为 .练习 1. 如图，点 是单位圆与 轴正半轴的交点， （I）若 ，求 的值；（II）设点 为单位圆上的一个动点，点 满足 若 ， 表示 ，并求的最大值【答案】 （） ；（） .【解析】 （）点 是单位圆与 轴正半轴的交点， 可得 ， ， （）因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，的最大值 练习 2. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (3,0)(1,23,)ABD，动点 P 满足 OAB，其中 0,1,21,，则点 P 落在三角形 A里面的概率为( )A 2B3C 2D23【答案】A【解析】以 O， 为邻边做平行四边形 OAB，延长 至 E，使得 2OB，OPAB，且 0,1,21,，P 点位于平行四边形 EC的内部（包含边界） ，则点 P 落在三角形 ABD里面的概率 2ABCESP，故选：A.