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本文(专题09正弦定理与余弦定理的综合应用_名师揭秘2020年高考数学理一轮总复习之三角函数三角形平面向量Word版含解析)为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

专题09正弦定理与余弦定理的综合应用_名师揭秘2020年高考数学理一轮总复习之三角函数三角形平面向量Word版含解析

1、专题 09 正弦定理与余弦定理的综合应用一、本专题要特别小心:1.解三角形时的分类讨论(锐角钝角之分)2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二 【学习目标】掌握正、余弦定理,能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形,培养运算求解能力三 【方法总结】1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角( 从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即

2、ABabsin Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时,利用正弦定理求解时,要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其余角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时,一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四 【题型方法】(一)三角形中角的范围问题例 1. 在 中, , ,则 的最大值为 A B C D【答案】A【解析】 中, , ,则 ,其中由于 ,

3、 所以 ,所以最大值为 故选:A练习 1. 在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,若 ,则ABC, ,abc3sinA的最小值是_tanttan【答案】 12【解析】由正弦定理可得: si3insBA得: sinicoinAB,即cosnsitat3tanBA又 tattatatnCABCA2n3t1t1tAB令 ,得:ta2236133tnttan 61 1tttABCt为锐角三角形 tantant 0tABB得: ,即 tan1033ttta62162ABCtt当且仅当 ,即 时取等号31ttanABmitantta12AB本题正确结果: 12练习 2.设 的内角 的对边分别为 ,其外接圆

4、的直径为 1, ,且角为钝角. (1)求 的值;(2)求 的取值范围【答案】(1) . (2) .【解析】 (1) 三角形 外接圆的直径为 1, 由 得, 又因 为钝角,所以 ,所以 ,所以 . (2)由(1)知, ,所以 于是 = , 因为 ,所以 , ,因此 的取值范围是 (二)正余弦定理与三角形面积综合例 2. 在 中, 为 的外心,若 ,其中 .则点的轨迹所对应图形的面积是_【答案】【解析】由余弦定理得, ,所以 .因此由题意知,点 的轨迹对应图形是边长为 的菱形, 于是这个菱形的面积是故答案为:练习 1. 在 中,内角 的对边分别为 ,且 , .VABCBC, , abc, , 32

5、cosbaC(1)求 ;(2)点 在 边上,且 , ,求 .MA34MCABS,a【答案】(1) .(2) .23A7,5ab【解析】 (1)因为 ,所以 ,cos2sin2sincoC即 ,整理得 ,2sin()si2inCAC(1)0A因为 ,所以 ,解得 .i01co3(2)由题意得, ,BAM因为 ,所以 ,即 ,34AMCS4C7aBAM由余弦定理可知 ,即 ,22cosab293b解得 (舍去) ,即 .5,8b7,5ab练习 2. 如图,在平面四边形中, , , .14ABcos5cs13ABD(1)求对角线 的长;BD(2)若四边形 是圆的内接四边形,求 面积的最大值.ACBC

6、D【答案】(1) (2) 13B698【解析】 (1)在 中,D,sinsi()sin()AABABD56sincocsinABABD由正弦定理得 ,siniBDA即 .13i(2)由已知得, ,所以 ,CA3cos5C在 中,由余弦定理可得 ,BD2 2cos169BDCBD则 ,261616955即 ,19BC所以 ,sin2BCDSC154169268当且仅当 时取等号.354(三)三角形问题中的数形结合例 3. 中,三内角 的对边分别为 ,且满足 , , 是以 为直径的圆上一点,则 的最大值为_【答案】【解析】由 ,a=1,得 ,根据正弦定理 sinB= sinAsin(C+ ) ,s

7、in(A+C)= sinAsin(C+ ) ,可得 cosAsinC=sinAsinCsinC0, cosA=sinA 即 A= 作ABC 的外接圆,当 AD 经过 ABC 的外接圆的圆心且垂直于 BC 时,AD 最大设 BC 中点为 O,此时 OA= 那么:AD=OA+OD= 故答案为:练习 1已知平面上有四点 O,A,B,C ,向量 满足: ,则 ABC 的周长是( )A3 B 9 C3 D6【答案】A【解析】平面上有四点 ,满足 , 是 的重心, ,即 ,同理可得: ,即 是垂心,故 是正三角形, ,设外接圆半径为 ,则 ,即 ,即 ,即 ,故周长 ,故选 A.(四)判断三角形的形状例

8、4. 在 中, ,则 一定是( )ABCcosabABCA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理可知: ,而已知 ,所以 ,siniabABcosabAcosinBA即 ,而 ,所以有sincoico2snAB,(0,)2,(0,)B或 ,即 或 ,所以 是等腰三角形或直角三角形,故本题选 D.22C练习 1. 中, , ,则 一定是 ( )VC602bacVABA锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形【答案】D【解析】 中, ,VABC60, 2bac22 221os 00cbacaca故得到 ,故得到角 A 等于角 C,

9、三角形为等边三角形.故答案为:D.练习 2.在 中,角 , , 所对的边的长分别为 , , ,若 ,则BCBabcsinisinaAbBcC的形状是( )AA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形【答案】C【解析】由正弦定理得: 22abc由余弦定理得: (3)(3)为钝角,则 为钝角三角形0,CABC本题正确选项:练习 3在 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ,则 的形状一定是( )V2osCabVABCA直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】A【解析】2cosab+=化简得1inCAB+ sincosiACB=即()Bp-si()+in0即

10、是直角三角形 故选 Asin0Qco009(五)三角形中边的范围问题例 5. 已知 中 ,角 的对边分别为 VABC23,ABC,abc(1)若 依次成等差数列,且公差为 2,求 的值;,abcc(2)若 的外接圆面积为 ,求 周长的最大值VABCVABC【答案】 (1) ;(2) .7c3【解析】 (1) 依次成等差数列,且公差为 ,ab22bac,bc4,由余弦定理得:23ACB222 1cos 4ccab整理得: ,解得: 或291407又 ,则acc7(2)设 ,外接圆的半径为 ,则 ,解得:BR21R由正弦定理可得: sinisinabcABC2sinsii33b可得: , ,2si

11、bina3c的周长ABC2siin3fb2sinicosi3icos2sin33 又 0,2当 ,即: 时, 取得最大值326f23练习 1.在 中, 分别是角 的对边, , 且ABC,abc,ABCcos,2mAab,1ncmn(1)求角 的大小;C(2)若 ,求 的取值范围cab【答案】(1) (2) 3(2,4【解析】 (1)由 得:mncos20Aab由正弦定理得: 2sicoiinCB又 sinBAcsinis2cosiin2sico0ACACsin01o,C3(2)由余弦定理得:22241cos 2ababcC整理可得: 243ab又 ,当且仅当 时取等号ab2243ab216ab

12、4ab又 c,4ab练习 2. 在 中,角 的对边分别为 ,点 为边 的中点,若 ,且满足ABC, ,cDBCADm224abcm(I)求 ;BAC(II)若 ,求 的周长的最大值2a【答案】 (I) ;(II )36【解析】 (I)在 和 中,由余弦定理得:ABDC;221cos4cma221cos4bmaADCs0AB,即22b224c又 4acaba即: 2221cosbcBAC又 03BAC(II)在 中,由余弦定理可得:A,即:2224cos33bbcbc243bcb又 2c2234当且仅当 时取等号b的周长: ,即 周长的最大值为ABC 6LabcABC6练习 3. 已知 的三个内

13、角 , , 的对边分别为 , , ,若abc.222coscos1insB(1)求角 的大小;(2)若 ,求 的最大值.3ba【答案】 (1) ;(2) .B7【解析】 (1) ,2coscos1insACBAC ,iinisin22由正弦定理可得: ,22bac由余弦定理可得: ,1osbB ,0,B .3(2) , ,可得 ,b3B2sinbRB4sin2i4isi3acRACA,其中 .5si3os7itan5 的最大值为 .ca22(六)三角形应用题例 6. 如图为一块边长为 2km 的等边三角形地块 ABC,为响应国家号召,现对这块地进行绿化改造,计划从 BC 的中点 D 出发引出两

14、条成 60角的线段 DE 和 DF,与 AB 和 AC 围成四边形区域 AEDF,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设BDE (1)当 60时,求绿化面积;(2)试求地块的绿化面积 的取值范围()S【答案】 (1) (2)3km3,82【解析】(1)当 时,DE AC,DFAB,四边形 是平行四边形, 和 均为边长为60aAEDFBDEACF的等边三角形,面积都是 ,1km234km所以绿化面积为 .22(2)由题意知, ,在 中, ,309BDEA120由正弦定理是 ,所以 ,1sini2BEsin在 中, , ,CDF0CF由正弦定理得 ,所以 ,1sini2sin120所以 22

15、0isinsiin10siBEF 22 231533cosinsisiincos2441siii 2233sincos44111isin2(cos2).312sin02所以3() ()4ABCDECOFSSBECF,310948sin23 当 , ,09051 13sin231,sin202,所以 .213sin0233()82S答:地块的绿化面积 的取值范围是 .Sa,练习 1如图,在等腰梯形 中, , , , ,梯形ABCD/2(6)CD2BCFBC的高为 , 是 的中点,分别以 为圆心, , 为半径作两条圆弧,交 于ABCD31E,EA两点.,FG(1)求 的度数; BFC(2)设图中阴

16、影部分为区域 ,求区域 的面积.【答案】 (1) (2)45(31)S【解析】 (1)设梯形 的高为 ,ABDh因为 ,3162sin,18042hCBCDF所以 .62isi80sin4BF在 中,由正弦定理,得 ,即 ,CsinsiCFBC2sin6BFC解得 .2sinBF又 ,且 ,所以 .0,18CFB45F(2)由(1)得 .在 中,由余弦定理推论,得45EC,即 ,22cosBFC2(31)430BF解得 (舍去).,3因为 ,1 2sin2(6)312CBFDAGSCA所以 .(3)练习 2如图, , 是海面上位于东西方向相海距 里的两个观测点,现位于 点北偏东 ,B4(3)A45点北偏西 的 点有一艘轮船发出求救信号,位于 点南偏西 且与 点相距 海里的 点的B60DB60B163C救援船立即前往营救,其航行速度为 24 海里/小时()求 的长;BD()该救援船到达 点所需的时间【答案】 () ;( )1 小时.83【解析】 ()由题意可知:在 中, , ,则ADB4530DBA105B由正弦定理 得:sinsiB3sin10si由62i10546045co645n04代入上式得: 83DB()在 中, , ,C1683DB60C由余弦定理得: 22cos2 21638344CD412stv即该救援船到达 点所需的时间 小时 D1