1、专题 09 正弦定理与余弦定理的综合应用一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二 【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力三 【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角( 从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即
2、ABabsin Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四 【题型方法】（一）三角形中角的范围问题例 1. 在 中， ， ，则 的最大值为 A B C D【答案】A【解析】 中， ， ，则 ，其中由于 ，
3、 所以 ，所以最大值为 故选：A练习 1. 在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，若 ，则ABC, ,abc3sinA的最小值是_tanttan【答案】 12【解析】由正弦定理可得： si3insBA得： sinicoinAB，即cosnsitat3tanBA又 tattatatnCABCA2n3t1t1tAB令 ，得：ta2236133tnttan 61 1tttABCt为锐角三角形 tantant 0tABB得： ，即 tan1033ttta62162ABCtt当且仅当 ，即 时取等号31ttanABmitantta12AB本题正确结果： 12练习 2.设 的内角 的对边分别为 ，其外接圆
4、的直径为 1, ，且角为钝角. （1）求 的值；（2）求 的取值范围【答案】(1) . (2) .【解析】 （1） 三角形 外接圆的直径为 1， 由 得， 又因 为钝角，所以 ，所以 ，所以 . （2）由（1）知， ,所以 于是 = ， 因为 ，所以 ， ，因此 的取值范围是 （二）正余弦定理与三角形面积综合例 2. 在 中， 为 的外心，若 ，其中 .则点的轨迹所对应图形的面积是_【答案】【解析】由余弦定理得， ,所以 .因此由题意知，点 的轨迹对应图形是边长为 的菱形, 于是这个菱形的面积是故答案为：练习 1. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， .VABCBC， ， abc， ， 32
5、cosbaC（1）求 ；（2）点 在 边上，且 ， ，求 .MA34MCABS,a【答案】(1) .(2) .23A7,5ab【解析】 （1）因为 ，所以 ，cos2sin2sincoC即 ，整理得 ，2sin()si2inCAC(1)0A因为 ，所以 ，解得 .i01co3（2）由题意得， ，BAM因为 ，所以 ，即 ，34AMCS4C7aBAM由余弦定理可知 ，即 ，22cosab293b解得 （舍去） ，即 .5,8b7,5ab练习 2. 如图，在平面四边形中， ， ， .14ABcos5cs13ABD（1）求对角线 的长；BD（2）若四边形 是圆的内接四边形，求 面积的最大值.ACBC
6、D【答案】(1) (2) 13B698【解析】 （1）在 中，D，sinsi()sin()AABABD56sincocsinABABD由正弦定理得 ，siniBDA即 .13i（2）由已知得， ，所以 ，CA3cos5C在 中，由余弦定理可得 ，BD2 2cos169BDCBD则 ，261616955即 ，19BC所以 ，sin2BCDSC154169268当且仅当 时取等号.354（三）三角形问题中的数形结合例 3. 中，三内角 的对边分别为 ，且满足 ， ， 是以 为直径的圆上一点，则 的最大值为_【答案】【解析】由 ，a=1，得 ，根据正弦定理 sinB= sinAsin（C+ ） ，s
7、in（A+C）= sinAsin（C+ ） ，可得 cosAsinC=sinAsinCsinC0， cosA=sinA 即 A= 作ABC 的外接圆，当 AD 经过 ABC 的外接圆的圆心且垂直于 BC 时，AD 最大设 BC 中点为 O，此时 OA= 那么：AD=OA+OD= 故答案为：练习 1已知平面上有四点 O，A，B，C ，向量 满足： ，则 ABC 的周长是( )A3 B 9 C3 D6【答案】A【解析】平面上有四点 ，满足 ， 是 的重心， ，即 ，同理可得： ，即 是垂心，故 是正三角形， ，设外接圆半径为 ，则 ，即 ，即 ，即 ，故周长 ，故选 A.（四）判断三角形的形状例
8、4. 在 中， ，则 一定是（ ）ABCcosabABCA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理可知： ，而已知 ，所以 ，siniabABcosabAcosinBA即 ，而 ，所以有sincoico2snAB,(0,)2,(0,)B或 ，即 或 ，所以 是等腰三角形或直角三角形，故本题选 D.22C练习 1. 中， ， ，则 一定是 （ ）VC602bacVABA锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形【答案】D【解析】 中， ，VABC60, 2bac22 221os 00cbacaca故得到 ，故得到角 A 等于角 C，
9、三角形为等边三角形.故答案为：D.练习 2.在 中，角 ， ， 所对的边的长分别为 ， ， ，若 ，则BCBabcsinisinaAbBcC的形状是（ ）AA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D正三角形【答案】C【解析】由正弦定理得： 22abc由余弦定理得： (3)(3)为钝角，则 为钝角三角形0,CABC本题正确选项：练习 3在 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，则 的形状一定是( )V2osCabVABCA直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形【答案】A【解析】2cosab+=化简得1inCAB+ sincosiACB=即()Bp-si()+in0即
10、是直角三角形 故选 Asin0Qco009（五）三角形中边的范围问题例 5. 已知 中 ，角 的对边分别为 VABC23,ABC,abc（1）若 依次成等差数列，且公差为 2，求 的值；,abcc（2）若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值VABCVABC【答案】 （1） ；（2） .7c3【解析】 （1） 依次成等差数列，且公差为 ,ab22bac，bc4，由余弦定理得：23ACB222 1cos 4ccab整理得： ，解得： 或291407又 ，则acc7（2）设 ，外接圆的半径为 ，则 ，解得：BR21R由正弦定理可得： sinisinabcABC2sinsii33b可得： ， ，2si
11、bina3c的周长ABC2siin3fb2sinicosi3icos2sin33 又 0,2当 ，即： 时， 取得最大值326f23练习 1.在 中， 分别是角 的对边， ， 且ABC,abc,ABCcos,2mAab,1ncmn（1）求角 的大小；C（2）若 ，求 的取值范围cab【答案】(1) (2) 3(2,4【解析】 （1）由 得：mncos20Aab由正弦定理得： 2sicoiinCB又 sinBAcsinis2cosiin2sico0ACACsin01o,C3（2）由余弦定理得：22241cos 2ababcC整理可得： 243ab又 ，当且仅当 时取等号ab2243ab216ab
12、4ab又 c,4ab练习 2. 在 中，角 的对边分别为 ，点 为边 的中点，若 ，且满足ABC, ,cDBCADm224abcm（I）求 ；BAC（II）若 ，求 的周长的最大值2a【答案】 （I） ；（II ）36【解析】 （I）在 和 中，由余弦定理得：ABDC；221cos4cma221cos4bmaADCs0AB，即22b224c又 4acaba即： 2221cosbcBAC又 03BAC（II）在 中，由余弦定理可得：A，即：2224cos33bbcbc243bcb又 2c2234当且仅当 时取等号b的周长： ，即 周长的最大值为ABC 6LabcABC6练习 3. 已知 的三个内
13、角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若abc.222coscos1insB（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的最大值.3ba【答案】 （1） ；（2） .B7【解析】 （1） ，2coscos1insACBAC ，iinisin22由正弦定理可得： ，22bac由余弦定理可得： ，1osbB ，0,B .3（2） ， ，可得 ，b3B2sinbRB4sin2i4isi3acRACA，其中 .5si3os7itan5 的最大值为 .ca22（六）三角形应用题例 6. 如图为一块边长为 2km 的等边三角形地块 ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从 BC 的中点 D 出发引出两
14、条成 60角的线段 DE 和 DF，与 AB 和 AC 围成四边形区域 AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE （1）当 60时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积 的取值范围()S【答案】 （1） （2）3km3,82【解析】(1)当 时，DE AC，DFAB，四边形 是平行四边形， 和 均为边长为60aAEDFBDEACF的等边三角形，面积都是 ，1km234km所以绿化面积为 .22（2）由题意知， ，在 中， ，309BDEA120由正弦定理是 ，所以 ，1sini2BEsin在 中， ， ，CDF0CF由正弦定理得 ，所以 ，1sini2sin120所以 22
15、0isinsiin10siBEF 22 231533cosinsisiincos2441siii 2233sincos44111isin2(cos2).312sin02所以3() ()4ABCDECOFSSBECF，310948sin23 当 ， ，09051 13sin231,sin202，所以 .213sin0233()82S答:地块的绿化面积 的取值范围是 .Sa,练习 1如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，梯形ABCD/2(6)CD2BCFBC的高为 ， 是 的中点，分别以 为圆心， ， 为半径作两条圆弧，交 于ABCD31E,EA两点.,FG（1）求 的度数； BFC（2）设图中阴
16、影部分为区域 ，求区域 的面积.【答案】 （1） （2）45(31)S【解析】 （1）设梯形 的高为 ，ABDh因为 ，3162sin,18042hCBCDF所以 .62isi80sin4BF在 中，由正弦定理，得 ，即 ，CsinsiCFBC2sin6BFC解得 .2sinBF又 ，且 ，所以 .0,18CFB45F（2）由（1）得 .在 中，由余弦定理推论，得45EC，即 ，22cosBFC2(31)430BF解得 （舍去）.,3因为 ，1 2sin2(6)312CBFDAGSCA所以 .(3)练习 2如图， ， 是海面上位于东西方向相海距 里的两个观测点，现位于 点北偏东 ，B4(3)A45点北偏西 的 点有一艘轮船发出求救信号，位于 点南偏西 且与 点相距 海里的 点的B60DB60B163C救援船立即前往营救，其航行速度为 24 海里/小时（）求 的长；BD（）该救援船到达 点所需的时间【答案】 （） ；（ ）1 小时.83【解析】 （）由题意可知：在 中， ， ，则ADB4530DBA105B由正弦定理 得：sinsiB3sin10si由62i10546045co645n04代入上式得： 83DB（）在 中， ， ，C1683DB60C由余弦定理得： 22cos2 21638344CD412stv即该救援船到达 点所需的时间 小时 D1