1、第一篇 集合与不等式专题 1.01 集 合【考纲要求】1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.【知识梳理】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符
2、号分别为 和 .(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意 xA，都有 xB ，则 AB 或 BA.(2)真子集：若 AB，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB或 BA.(3)相等：若 AB，且 BA，则 AB.(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号表示 AB AB若全集为 U，则集合 A 的补集为 UA图形表示集合表示 x|xA，或 xB x|xA，且 xB x|xU，且 xA4.集合的运算性质(1)AAA，A ，ABBA.(2)AAA， A A，A
3、BB A.(3)A(UA)， A( UA)U， U(UA)A.【微点提醒】1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n1 个.2.子集的传递性：AB，BCAC.3.ABABA ABB UAUB.4.U(AB)( UA)( UB)， U(AB)( UA)(UB).【疑难辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)x|y x21 y|yx 21(x ，y)|yx 21.( )(2)若x 2，10，1，则 x0，1.( )(3)对于任意两个集合 A，B ，关系 (AB)(AB)恒成立.( )(4)含有 n 个元素的集合有 2n 个真子集.( )【答案】
4、 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)错误.x|y x21R，y|yx 211，) ，(x，y)|yx 21是抛物线 yx 21 上的点集.(2)错误. 当 x1 时，不满足集合中元素的互异性.(3)正确.(4)错误. 含有 n 个元素的集合有 2n1 个真子集.【教材衍化】2.(必修 1P12A5 改编)若集合 PxN|x ，a 2 ，则( )2 019 2A.aP B.aPC.aP D.aP【答案】D【解析】 因为 a2 不是自然数，而集合 P 是不大于 的自然数构成的集合，所以 aP，只有 D 正确.2 2 0193.(必修 1P12B1 改编)已知集合 M0，1，2，3，4
5、，N1，3，5 ，则集合 MN 的子集的个数为_.【答案】 64【解析】由已知得 MN0，1，2，3，4，5，所以 MN 的子集有 2664(个).【真题体验】4. （2019全国卷）已知集合 240xx， ，则 MN=（ ）A 43xB 2C 2D 3x【答案】C【解析】 246023,MxNxABx， 2x. (2018全国卷)已知集合 Ax|x 2x20，则 RA( )A.x|12 D.x|x1x|x2【答案】B【解析】法一 Ax|x 2x20x|(x2)(x1)0x|x2，所以 RAx|1x2.法二 因为 Ax|x 2x20，所以 RAx|x 2x20x|1x2.5.(2019菏泽模拟
6、)若 Ax|x4k1，kZ ，B x|x2k1，kZ，则集合 A 与 B 的关系是A_B.【答案】 【解析】 因为集合 Bx|x2k1，kZ，Ax|x4k1，kZ，所以 B 表示奇数集，A 表示除以4 余 1 的整数集，所以 A B.6.(2017全国卷改编)已知集合 A(x，y)|x 2y 21 ，B (x ，y)|x，yR ，且 yx ，则 AB中元素的个数为_.【答案】 2【解析】 集合 A 表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合 B 表示直线 yx 上所有点的集合，易知直线 yx和圆 x2y 21 相交，且有 2 个交点，故 AB中有 2 个元素.【考点聚焦】考点一 集合的基本概念
7、【例 1】 (1)(2019湖北四地七校联考) 若集合 Mx|x|1，N y|yx 2，|x|1 ，则( )A.MN B.MNC.MN D.NM(2)若 xA，则 A，就称 A 是“ 伙伴关系”集合，集合 M 的所有非空子集中具有“伙伴1x 1，0，12，2，3关系”的集合的个数是( )A.1 B.3 C.7 D.31【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)易知 Mx| 1x1，N y|yx 2，|x|1y|0y1，NM.(2)具有伙伴关系的元素组是1， ，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个： 1， ， .12 12，2 1，12，2【规律方法】 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的
8、元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练 1】 (1)(2018全国卷) 已知集合 A(x ，y)|x 2y 23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.4(2)设集合 A x|(xa) 20，N ，则( )x|1x0.其它条件不变，则 m 的取值范围是_.【答案】 (1)C (2)(，26 ，)【解析】 (1)集合 Mx|x 2x0 x|x1 或 x1 或 x0x|x7.当 B
9、时，有 m12m1，则 m2.当 B 时，若 BA，则 或m 10，则( )A.AB B.AB x|x0 ，A x|x2， RBx|x0，( R A)Bx|x1，A 项不正确.ABx| 10，若 AB，则实数 c 的取值范围为( )A.(0，1 B.1，)C.(0，1) D.(1，)【答案】 B【解析】 法一 由题意知，Ax|ylg(xx 2)x|xx 20x|00x|00x|00，则( R S)T_.【答案】x|20x|x0，则 AB x|1x0.【能力提升题组】(建议用时： 10 分钟)13.(2018河南百校联盟联考) 若集合 Ax|ylg(3xx 2)，B ，则 A(R B)等y|y
10、1 4x 1，)x A于( )A.(0，2 B.(2，3) C.(3，5) D.(2，1)【答案】 A【解析】 由 3xx 20，得 0x3，则 A(0，3)，B (2，5) ，y|y 1 4x 1，x A)则 R B( ， 25 ，)，故 A(R B)(0，2.14.已知集合 Ax|y ，Bx|axa 1 ，若 ABA，则实数 a 的取值范围为( )4 x2A.( ，3 2，) B.1，2C.2，1 D.2，)【答案】 C【解析】 集合 Ax|y x|2x2，因 AB A ，则 BA，又 B，所以有4 x2所以2a1.a 2，a 12，)15.已知集合 A(x，y)|x 24y，B(x，y)
11、|yx ，则 AB的真子集个数是_.【答案】 3【解析】 由 得 或 即 AB(0，0)，(4，4) ，AB 的真子集个数为x2 4y，y x ) x 0，y 0) x 4，y 4，)2213.16.集合 UR，Ax|x2x20，B x|y ln(1 x)，则图中阴影部分所表示的集合是_.【答案】 1，2)【解析】 易知 A(1，2)，B(，1) ， UB1 ，) ，A( UB)1 ，2).因此阴影部分表示的集合为 A(UB)x|1x2.【新高考创新预测】17.(多填题，答案不唯一型)若集合a，b，c，d1 ，2， 3，4，且下列四个关系：a1；b1 ；c 2； d4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a ，b，c，d)_，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_.【答案】 (3，2，1，4)( 填一个正确的即可 ) 6【解析】 显然不可能正确，否则都正确；若正确，则 或 若正确，a 2，b 3，c 1，d 4，) a 3，b 2，c 1，d 4.)此时 若正确此时有 所以符合条件的数组共 6 个.a 3，b 1，c 2，d 4，) a 2，b 1，c 4，d 3，)a 3，b 1，c 4，d 2，)a 4，b 1，c 3，d 2.)