1、第一章勾股定理一、选择题(每题 3 分，共 30 分)1下列由线段 a， b， c 组成的三角形是直角三角形的是( )A a1， b2， c3 B a2， b3， c4C a3， b4， c5 D a4， b5， c62如图 1 所示， AOC BOC，点 P 在 OC 上， PD OA 于点 D， PE OB 于点 E.若OD8， OP10，则 PE 的长为( )图 1A5 B6C7 D83下列结论中，错误的有( )在 Rt ABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5； ABC 的三边长分别为 a， b， c，若 a2 b2 c2，则 A90；在 ABC 中，若 A B C
2、156，则 ABC 是直角三角形；若三角形的三边长之比为 345，则该三角形是直角三角形A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4如图 2，将长为 8 cm 的橡皮筋放置在地面上，固定两端点 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3 cm 至点 D，则橡皮筋被拉长了( )图 2A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm5将面积为 8 的半圆与两个正方形按图 3 所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为( )图 3A16 B32 C8 D646若 ABC 的三边长 a， b， c 满足 0，则下列对此三角形(a b)2 |b 2| (c2 8)2 的形状描述最确切的是( )A等边三角形 B等腰
3、三角形C等腰直角三角形 D直角三角形7如图 4 所示， AC BD， O 为垂足，设 m AB2 CD2， n AD2 BC2，则 m， n 的大小关系为( )图 4A m n B m nC m n D不确定8如图 5，点 D 在 ABC 的边 AC 上，将 ABC 沿 BD 翻折后，点 A 恰好与点 C 重合若 BC5， CD3，则 BD 的长为( )图 5A1 B2 C3 D49如图 6，设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，黑甲壳虫从点 A 出发，白甲壳虫从点 C1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行黑甲壳虫爬行的路线是：AA1 A1D1 D1C1 C1C CB BA AA
4、1 A1D1，白甲壳虫爬行的路线是：C1C CB BB1 B1C1 C1C CB，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第 2018 条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )图 6A2 B3 C4 D510如图 7 所示，在长方形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为( )图 7A3 B4 C5 D6二、填空题(每题 3 分，共 18 分)11在ABC 中，若 AC2BC 2AB 2，AB12，则B 的度数是_12古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 m 表示大于 1 的整数，
5、a2m，bm 21，cm 21，那么 a，b，c 为勾股数请你利用这个结论得出一组勾股数是_13木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为 60 cm，宽为 32 cm，对角线的长为 68 cm，则这个桌面_(填“合格”或“不合格”)14一座垂直于两岸的桥长 27 米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头 36 米，则小船实际行驶了_米15如图 8 所示，把长方形纸片 ABCD 沿 EF，GH 同时折叠，B，C 两点恰好都落在 AD边上的点 P 处，若FPH90，PF8，PH6，则 BC 边的长为_图 816我国数学家赵爽为了证明勾股定理
6、，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图”如图 9，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S 2，S 3，若 S1S 2S 315，则 S2的值是_图 9三、解答题(共 52 分)17(6 分)如图 10，ABC 中，D 是 BC 上的一点，AB10，BD6，AD8，AC17.(1)判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由；(2)求ABC 的面积图 1018(6 分)如图 11 所示，在长方形 ABCD 中，ABCD24，ADBC50，E 是 AD 上一点，且 AEDE916，判断BEC 的形状图 1119
7、(6 分)如图 12 是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从 A 处先往东走4 m，又往北走 1.5 m，遇到障碍后又往西走 2 m，再转向北走 4.5 m 处往东一拐，仅走0.5 m 就到达了 B 处，则点 A，B 之间的距离是多少？图 1220(6 分)如图 13 所示，有两根长杆隔河相对，一杆高 3 m，另一杆高 2 m，两杆相距 5 m两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上 E 处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼求两杆底部距小鱼的距离各是多少米(假设小鱼在此过程中保持不动)图 1321(6 分)如图 14
8、，河边有 A，B 两个村庄，A 村距河边 10 m，B 村距河边 30 m，两村平行于河边方向的水平距离为 30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到 A 村和 B村(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；(2)若铺设管道每米需要 500 元，则最低费用为多少？图 1422.(6 分)有一个如图 15 所示的长方体的透明鱼缸，假设其长 AD80 cm，高 AB60 cm，水深 AE40 cm，在水面上紧贴内壁 G 处有一鱼饵，G 在水面线 EF 上，且 EG60 cm.一小虫想从鱼缸外的点 A 处沿缸壁爬到鱼缸内 G 处吃鱼饵(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它
9、的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程图 1523(8 分)如图 16，在由 6 个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为 1.(1)如图，A，B，C 是三个格点(即小正方形的顶点)，判断 AB 与 BC 的位置关系，并说明理由；(2)如图，连接三格和两格的对角线，求 的度数(要求：画出示意图，并说明理由)图 1624(8 分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：如图 17，先裁下一张长BC20 cm，宽 AB16 cm 的长方形纸片 ABCD；将纸片沿着直线 AE 折叠，点 D
10、 恰好落在BC 边上的点 F 处请你根据步骤解答下列问题：(1)找出图中FEC 的余角；(2)求 EC 的长图 17答案1C 2B 3C 4A5D 6C 7B 8D 9.D10D 1160 12答案不唯一，如 20，99，101 13合格 14451524 16517解：(1) AD BC.理由如下：因为 BD2 AD26 28 210 2 AB2，所以 ABD 是直角三角形，且 ADB90，所以 AD BC.(2)在 Rt ACD 中，因为 CD2 AC2 AD217 28 215 2，所以 CD15，所以 S ABC BCAD (BD CD)AD 21884.12 12 1218解：因为
11、AD50， AE DE916，所以 AE18， DE32.在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 BE2 AB2 AE224 218 2900.在 Rt CDE 中，由勾股定理，得 CE2 DE2 CD232 224 21600.在 BCE 中，因为 BE2 CE29001600250050 2 BC2，所以 BEC 是直角三角形19解：如图，过点 B 作 BC AD 于点 C，由图可知 AC420.52.5(m)，BC4.51.56(m)在 Rt ABC 中， AB2 AC2 BC22.5 26 242.25，所以 AB6.5(m)，即点 A， B 之间的距离是 6.5 m.20解：由题意可知
12、 AB2 m， CD3 m， BC5 m， AE DE.设 BE x m，则 EC(5 x)m.在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AE2 AB2 BE2.在 Rt DCE 中，由勾股定理，得 DE2 CD2 EC2.所以 AB2 BE2 CD2 EC2，即 22 x23 2(5 x)2，解得 x3，则 5 x2.所以杆 AB 底部距小鱼 3 m，杆 CD 底部距小鱼 2 m.21解：(1)如图，过点 A 作 AC CE 于点 C，延长 AC 至点 D，使 CD AC，连接 BD，交河边于点 E，连接 AE，则抽水站应建在点 E 处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE BE，即 BD 的长过
13、点 B 作 BF AC 于点 F，由题意得： AC10 m， CF30 m， BF30 m，所以 CD AC10 m，所以 DF103040(m)在 Rt BDF 中， BD230 240 250 2，所以 BD50(m)即铺设管道的最短长度是 50 m.(2)最低费用为 5050025000(元)22解：(1)如图所示， AQ QG 为最短路线(2)因为 AE40 cm， AA120 cm，所以 A E1204080(cm)因为 EG60 cm，所以 A G2 A E2 EG280 260 210000，所以 A G100 cm，所以AQ QG A Q QG A G100 cm，所以小虫爬行
14、的最短路程为 100 cm.23解：(1) AB BC.理由：如图，连接 AC.由勾股定理可得AB21 22 25， BC21 22 25， AC21 23 210，所以 AB2 BC2 AC2，所以 ABC 是直角三角形且 ABC90，所以 AB BC.(2) 45.理由：如图，由勾股定理得AB21 22 25， BC21 22 25， AC21 23 210，所以 AB2 BC2 AC2，所以 ABC 是直角三角形且 ABC90.又因为 AB BC，所以 ABC 是等腰直角三角形，所以 BAC45，即 45.由图可知 ，所以 45.24解：(1) CFE， BAF.(2)由折叠的性质，得 AF AD20 cm， EF DE.设 EC x cm，则 EF DE(16 x)cm.在 Rt ABF 中， BF2 AF2 AB220 216 2144，所以 BF12(cm)，所以 FC BC BF20128(cm)在 Rt EFC 中，由勾股定理，得 EF2 FC2 EC2，即(16 x)28 2 x2，解得 x6，所以 EC 的长为 6 cm.