1、基础巩固练( 五)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019濮阳市二模 )已知集合 A x|x0，Bx |log2(3x1)2，则( )AA B(0，) BAB (0，13CABR DAB (0，53)答案 A解析 依题意，得 B x|log2(3x1)2 x|03 x14 Error!，所以AB ，A B(0，)故选 A.(13，53)2(2019重庆一中模拟 )若复数 z 满足(1i) z2
2、3i ，则复数 z 的实部与虚部之和为( )A2 B2 C4 D4答案 B解析 由(1 i) z23i，得 z i.2 3i1 i 12 52则复数 z 的实部与虚部之和为 2.故选 B.12 523(2019武汉市模拟 )某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A 结伴步行， B 自行乘车，C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是 ( )A30 B40 C42 D48答案 A解析 根据选择 D 方式的有 18 人，所占比例为 15%，得总人数为 120 人，故选择
3、A 方式的人数为 12042 301830.故选 A.1815%4(2019兰州一中模拟 )在等差数列a n中，a 100，a 110，且a11| a10|，则使a n的前 n 项和 Sn0 成立的最大的自然数 n 为( )A11 B10 C19 D20答案 C解析 数列 an为等差数列，a 100，a 110，d0，又a11 |a10|，a 11a 10，即 a10a 110，由 S20 2010(a 10a 11)a1 a2020，S 19 1919a 100，故可得使a n的前 n 项和 Sn0 成立的最大a1 a192的自然数为 19，故选 C.5(2019湖南师大附中模拟)已知函数
4、f(x) ，则函数 f(x)的图象在点cosxex(0，f (0)处的切线方程为( )Axy10 Bx y10Cxy 10 Dx y10答案 B解析 f (x) ，f(x ) ，cosxex sinx cosxexf(0)1，f(0) 1，即函数 f(x)的图象在点(0,1)处的切线的斜率为1，函数 f(x)的图象在点(0 ，f(0) 处的切线方程为 yx1，即 xy 10.故选 B.6(2019邯郸市模拟 )某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 N(105,102)，已知 P(95105)0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( )A10 B9 C8 D7
5、答案 B解析 数学考试的成绩 服从正态分布 N(105,102)，数学考试的成绩 关于 105 对称，P(95105)0.32，P(115) (10.64) 0.18，12该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18509.故选 B.7(2019安徽宣城第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.163 323 643 1283答案 C解析 由三视图可得其直观图为三棱锥 EABD，所以该几何体的体积为V 484 .13 12 6438(2019武汉二中一模 )已知二项式 n(nN *)的展开式中第 2 项与
6、(2x 1x)第 3 项的二项式系数之比是 25，则 x3 的系数为 ( )A14 B14 C240 D240答案 C解析 由题意可得 C C 25，解得 n6，T r1 C (2x)6r (1) r(x )1n 2n r6 r (1) r26r C x ，由 6 r3，得 r2，所以 x3 的系数为(1)r6 32224C 240.故选 C. 269(2019宜春三模 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量a，b，|a|b|1，a b0 ，点 Q 满足 (a b)曲线OQ 2CP | a cosbsin，02，区域 P|0r | |R，rR若OP PQ C 为两段分离的曲线，则 ( )A1
7、rR3 B1r3RCr1R 3 D1r3R答案 A解析 设 a(1,0) ，b(0,1)，则 ( ， )， (cos x，sinx)，区域OQ 2 2 OP 表示的是平面上的点到点 Q( ， )的距离在 r 到 R 之间(包含边界)，如图中2 2的阴影部分圆环，要使 C 为两段分离的曲线，则 1r R 3，故选 A.10(2019包头市一模 )七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.
8、 B. C. D.316 38 14 18答案 A解析 设 AB2，则 BCCDDEEF1.SBCI ，12 22 22 14SEFGH2S BCI2 ，14 12所求的概率为 P ，故选 A.14 1222 31611(2019张家界市三模 )设 F1，F 2 分别是双曲线 1(a0，b0)的x2a2 y2b2左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得F 1PF260 ，|OP|3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.43 233 76 426答案 D解析 设|PF 1|m，|PF 2|n，则由余弦定理可得 m2n 2mn4c 2，m2c 2|OP| 22c|OP
9、|cosPOF 1，n 2c 2|OP| 22c |OP|cos(POF 1)，即 n2c 2|OP| 22c |OP|cosPOF1，由以上两式可得 m2n 22c 229b 2，即 m2n 22c 218b 2，又由双曲线的定义可得|mn| 2a，即 m2n 22mn4a 2，由可得 m2n 28c 24a 2，代入可得 9b23c 22a 2，即 6c27a 2，故离心率 e ，故选 D.76 42612(2019南宁市二模 )已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x0 时，f(x) 则关于 x 的函数 y f(x)a(1a0)的所有零点之和为 ( )A2 a1 B2 a 1 C1
10、2 a D12 a答案 B解析 作出函数 f(x)与 ya 的图象如下，结合图象可知，函数 f(x)与 ya 的图象共有 5 个交点，故函数 yf(x )a 有 5 个零点，设 5 个零点分别为 bc de f，bc2(3)6，ef236，log (x1)a，12故 x12 a ，即 d 12 a ，故 bcd ef12 a ，故选 B.第卷 (非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019广西联合模拟 )已知实数 x，y 满足Error!则 的最大值是_yx答案 14解析 由约束条件可作出如图中阴影部分所示的可行域，两直线的交点为A(4,1
11、)，则当过原点的直线过点 A 时，斜率 kmax ，即 的最大值为 .y 0x 0 14 yx 1414(2019山东师大附中一模)对于实数 x，x表示不超过 x 的最大整数，已知正数数列a n满足 Sn ，nN *，其中 Sn为数列 an的前 n 项和，12(an 1an)则 _.1S1 1S2 1S121答案 20解析 由题意可知 Sn0，当 n1 时，S n 化12Sn Sn 1 1Sn Sn 1简可得 S S 1，当 n1，S a 1，2n 2n 1 21 21所以数列 S 是首项和公差都为 1 的等差数列，即 S n， Sn ，2n 2n n又 n1 时，2( ) 2( )，n 1
12、n2n 1 n 22Sn 2n n 1 n n 1记 S ，1S1 1S2 1S121一方面 S2 12( 1)20，122 121 2 122另一方面 S12( )( 1)12( 1)21.121 120 2 121所以 20S21.即S20.15(2019化州市三模 )现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为_答案 472解析 用间接法，符合条件的取法的种数为 C 4C C C 472.316 34 24 1216(2019全国卷 )学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术
13、制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA 1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点， ABBC 6 cm，AA 14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.答案 118.8解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm，故 V 挖去的四棱锥 46312(cm 3)13 12又 V 长方体 664144(cm 3)，所以模型的体积为 V 长方体 V 挖去的四棱锥 14412132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为 13
14、20.9118.8(g)三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 吉林一中模拟)如图，在 ABC 中，AB2，cosB ，点 D 在线段 BC 上13(1)若ADC ，求 AD 的长；34(2)若 BD2DC，ACD 的面积为 ，求 的值423 sin BADsin CAD解 (1)在ABC 中， cosB ， sinB .13 223在ABD 中，由正弦定理，得 ，ABsinADB ADsinB又 AB2，ADB ，si
15、nB .AD .4 223 83(2)BD2DC，S ABD2S ADC，S ABC3S ADC，又 SADC ，S ABC 4 ，423 2SABC ABBCsinB， BC6，12SABD ABADsinBAD，12SADC ACADsinCAD，12SABD 2SADC， 2 ，sinBADsinCAD ACAB在ABC 中，由余弦定理，得 AC2AB 2BC 22AB BCcosB.AC4 ， 2 4 .2sinBADsinCAD ACAB 218(本小题满分 12 分)(2019 青岛市二模)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力( 指标 x)、推理能力 (指标 y)、建模能力(指标
16、z)的相关性，将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 wxy z 的值评定学生的数学核心素养，若 w7，则数学核心素养为一级；若 5w6，则数学核心素养为二级；若 3w4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据：学生编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10(x， y (2,2， (3,2， (3,3， (1,2 (2,3 (2,3 (2,2 (2,3 (2,1 (2,2，z) 3) 3) 3) ， 2) ， 2) ， 3) ， 2) ， 3) ，1) ，2)(1)在这 10 名学生中任取两人
17、，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为 X，求随机变量 X 的分布列及其数学期望解A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6(1)由题意可知，建模能力一级的学生是 A9；建模能力二级的学生是A4，A 5，A 7， A10；建模能力三级的学生是 A1，A 2， A3，A 6，A 8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为
18、事件 A，记 “所取的两人的综合指标值相同”为事件 B.则 P(B|A) .PABPA C23 C2C24 C25 416 14(2)由题意可知，数学核心素养一级的学生为 A1， A2，A 3，A 5，A 6，A 8，非一级的学生为余下 4 人，X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ，P (X1) ，C06C34C310 130 C16C24C310 310P(X2) ，P (X3) ，C26C14C310 12 C36C04C310 16随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 130 310 12 16E(X) 0 1 2 3 1.8.130 310 12 1619(本小题
19、满分 12 分)(2019 安徽黄山二模)如图，已知四边形 ABCD 满足ADBC ，BA ADDC BCa，E 是 BC 的中点，将BAE 沿 AE 翻折成12B1AE，使得 B1D a，F 为 B1D 的中点62(1)证明：B 1E平面 ACF；(2)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值解 (1)证明：连接 ED 交 AC 于点 O，连接 OF，由四边形 ADCE 为菱形，F 为 B1D 的中点，得 OFB1E，又因为 B1E平面 ACF，OF平面 ACF，所以 B1E平面 ACF.(2)由(1)可知，以 MD，MA，MB 1 所在的直线分别为 x，y ，z 轴建立空间
20、直角坐标系( 如图 )，则 A ，D ，B 1 ，C ，E ，(0，a2，0) ( 3a2，0，0) (0，0，3a2) ( 3a2， a，0) (0， a2，0) ， ， ， EC ( 3a2， a2，0) EB1 (0，a2，3a2) AD ( 3a2， a2，0) AB1 .(0， a2，3a2)设平面 ADB1 的法向量 m(x ，y，z)，则Error!则Error!令 y1，解得 m ，(33，1，33)同理可得平面 ECB1 的法向量 n ，(33，1， 33)cosm，n ，mn|m|n| 35故平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值为 .3520(本小题满分
21、12 分)(2019 福建莆田二模)已知抛物线 C：x 22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在 C 上，点 E 在 l 上，且PEF 是周长为 12 的正三角形(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 的直线 n 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A 处的切线与 l 交于点 N，求ABN 面积的最小值解 (1)由PEF 是周长为 12 的正三角形，得| PE|PF| |EF|4，又由抛物线的定义可得 PEl.设准线 l 与 y 轴交于点 D，则 PEDF，从而PEFEFD60.在 RtEDF 中， |DF|EF|cos EFD4 2，即 p2.12所以抛物
22、线 C 的方程为 x24y.(2)依题意可知，直线 n 的斜率存在，故设直线 n 的方程为 ykx1，联立Error!消去 y 可得，x 24kx 40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 24k ，x 1x24.所以|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 1 k216k2 164(1 k2)由 y ，得 y ，x24 x2所以过 A 点的切线方程为 yy 1 (xx 1)，x12又 y1 ，x214所以切线方程可化为 y x .x12 x214令 y1，可得 x 2 2k，x214 1x12 y1 1x1所以点 N(2k， 1)，所以点 N
23、到直线 n 的距离 d 2 ，|2k2 2|k2 1 k2 1所以 SABN |AB|d4 4，12 k2 13当 k0 时，等号成立所以ABN 面积的最小值为 4.21(本小题满分 12 分)(2019 武汉模拟)已知函数 f(x)a (aR，a 为常数)在(0,2) 内有两个极值点 x1，x 2(x1x 2)(ln x 2x) ex 1x2(1)求实数 a 的取值范围；(2)求证：x 1x 22(1ln a)解 (1)函数 f(x)a (aR，a 为常数 )，(ln x 2x) ex 1x2x 0，f( x) ，2 xex 1 axx3设 h(x)e x1 ax ，x0，由题意知 y h(
24、x)在(0,2)上存在两个零点，h(x)e x1 a，当 a 0 时， h( x)0，则 h(x)在(0,2)上单调递增，h(x )至多有一个零点，不符合题意当 a0 时，由 h(x )0，得 x1ln a.若 1ln a2 且 h(2)0，即 1a 时，h(x)在 (0,1ln a)上单调递减，e2在(1 ln a,2)上单调递增，则 h(x)minh(1ln a) aln a0，且 h(2)0，h (0) 0，1eh(x)在(0,1 ln a)和(1ln a,2)上各有一个零点，h(x)在(0,2)上存在两个零点若 1ln a2，即 a e 时，h(x)在(0,2) 上单调递减，h(x)至
25、多一个零点，舍去若 1ln a2，且 h(2)0，即 ae 时，此时 h(x)在(0,1ln a)上有一e2个零点，而在(1ln a,2) 上没有零点，舍去综上，1a .即实数 a 的取值范围是 .e2 (1，e2)(2)证明：令 H(x)h(x )h(2 2ln ax)，0x1ln a，则 H(x) h(x)h(22ln ax )e x1 ae 22ln ax1 ae x1 2a2a2a0，a2ex 1H(x)在(0,1 ln a)上单调递增，从而 H(x)H(1ln a) 0，h(x)h(2 2ln ax )0，h(x1)h(2 2ln ax 1)0，h(x1)h( x2)，且 h(x)在
26、(1 ln a,2) 上单调递增，h(x2)h(2 2ln ax 1)， x222ln ax 1，x1x 22(1ln a)(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019江西重点中学联盟第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，直线l：Error!( t 为参数 )，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2cos240.(1)写出曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知点 A(0， )，直线 l 与曲线 C 相交于点 M，N，求 的值51|AM| 1
27、|AN|解 (1) 2cos2 2sin240 x2y 240y 2 x24.(2)将直线 l 的参数方程化为标准形式Error! (t 为参数)，代入曲线 C 的方程，得 t24t10，35则 4.1|AM| 1|AN| 1|t1| 1|t2| |t1 t2t1t2|23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019唐山联考 )已知函数 f(x)x|xa|(aR)，(1)当 f(1)f(1) 1 时，求 a 的取值范围；(2)若 a0，对 x，y(，a都有不等式 f(x) |ya|恒成立，|y 54|求 a 的取值范围解 (1)f(1)f(1) |1 a|1a|1，若 a1，则 1a1a1，得 21，即 a1 时恒成立；若1a1，则 1a(1a)1，得 a ，12即1a ；12若 a1，则(1a) (1 a) 1，得21，此时不等式无解综上所述，a 的取值范围是 .( ， 12)(2)由题意知，要使不等式恒成立，只需f( x)max min.|y 54| |y a|当 x(， a时，f(x )x 2ax，f(x)maxf .(a2) a24因为 |y a| ，|y 54| |a 54|所以当 y 时， min 54，a |y 54| |y a| a .|a 54| 54于是 a ，解得1a5.a24 54结合 a0，所以 a 的取值范围是(0,5