1、基础巩固练( 四)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019河北武邑中学二次调研)设 i 是虚数单位，若复数 z ，则i1 i( )z A. i B1 i12 12 12C1 i D. i12 12 12答案 A解析 由 z i，得 i.故选 A.i1 i i1 i1 i1 i 1 i2 12 12 z 12 122(2019浙江百校联考 )已知集合 A x|2x1 ，Bx|yln (1x )
2、，则AB 等于( )Ax|x0 B x|x1Cx|0x1 Dx|0 x 1答案 C解析 集合 A x|2x1 x|x0 ，Bx|xf(2a)f(0) Bf( a)f(0)f(2a)Cf(2a)f( a)f(0) Df(2 a)f(0)f(a)答案 C解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(1)f(1)，即 1a2，所以 a1，易知当 x0 时， f(x)是增函数，又知 2aa0，所以 f(2a)f(a)f(0)，故选 C.9(2019大庆三模 )第 24 届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角
3、形的一个锐角为 ，且 tan2，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为( )A. B. C. D.14 15 25 35答案 B解析 设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，如图，则 tan 2，AFBF设小正方形的边长为 a，则 2，即 AF2a，AFAF a大正方形的边长为 a，5则小正方形与大正方形的面积比为 .故选 B.a25a2 1510(2019广州二模 )若曲线 yx 32x 22 在点 A 处的切线方程为y4x6，且点 A 在直线 mxny10(其中 m0，n0)上，则 的最小1m 2n值为( )A4 B32 C 64 D82 2 2 2答案 C解析 设
4、 A(s，t) ，y x 32x 22 的导数为 y3x 24x ，可得切线的斜率为 3s2 4s，由切线方程为 y4x 6，可得 3s24s4，t4s6，解得 s2，t2 或 s ，t ，23 263由点 A 在直线 mxny 1 0(其中 m0，n0)上，可得 2m2n1 成立 ，(s 23，t 263，舍 去 )则 (2 m2n) 2 1m 2n (1m 2n) (3 nm 2mn)2 64 ，(3 2 nm2mn) 2当且仅当 n m 时，取得最小值 64 ，故选 C.2 211(2019全国卷 )设 F 为双曲线 C： 1( a0，b0)的右焦点，Ox2a2 y2b2为坐标原点，以
5、OF 为直径的圆与圆 x2y 2a 2 交于 P，Q 两点若|PQ|OF |，则 C 的离心率为 ( )A. B. C2 D.2 3 5答案 A解析 设双曲线 C： 1(a0，b0) 的右焦点 F 的坐标为(c,0)由圆x2a2 y2b2的对称性及条件|PQ|OF |可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP，如图，则|OP| a，|OM| MP| .由|OM| 2|MP| 2| OP|2c2得 2 2a 2，(c2) (c2)故 ，即 e .故选 A.ca 2 212(2019深圳二模 )如图，在四面体 ABCD 中，ABCD2，ACBD，ADBC ，E
6、，F 分别是 AD，BC 的中点若用一个与直线 EF 垂直，3 5且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )A. B. C. D.662 52 54答案 B解析 将四面体 ABCD 补成长、宽、高分别为 ， ，1 的长方体( 如图)3 2由于 EF，故截面为平行四边形 MNKL，可得 KLKN ，5设异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ，则 sinsinHFB sinLKN，解得 sin ，S 四边形 MNKLNKKL sinNKL 2 ，265 265(NK KL2 ) 62当且仅当 NKKL 时取等号故选 B.第卷 (非选择
7、题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(2019合肥一模 )设 x，y 满足约束条件Error!则 z2xy 的取值范围为 _答案 (1,6)解析 由约束条件Error!作出可行域如图，化目标函数 z2xy 为 y2xz，由图可知，当直线 y2x z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为1；当直线 y2xz 过点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 6.所以 z2xy 的取值范围为 (1,6)14(2019肇庆二模 )已知数列a n为等比数列，a 12，a 34，则a a a a _.21 2 23 28答案 10
8、20解析 数列 an为等比数列，a 12，a 34，q2 2，a3a1a (a 1qn1 )24(q 2)n1 42 n1 2 n1 ，2na a a a 1020.21 2 23 2841 281 215(2019长春质检 )已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a2b 2c 2 bc，bc4，则ABC 的面积为 _答案 3解析 因为在 ABC 中， a2b 2c 2bc，根据余弦定理，可知 cosA ，b2 c2 a22bc 12所以 A ，sinA .又 bc4，3 32所以 SABC bcsinA 4 .12 12 32 316(2019宣城二模 )关于 x 的
9、方程 kx 2 在区间 上有两个实根，ln xx 1e，e则实数 k 的最小值是 _答案 2e 1e2解析 由 kx 2 得 kx2 ，ln xx ln xx设 g(x) ，ln xx则 g(x) ，1xx ln xx2 1 ln xx2则当 x 时，g(x )0，即函数 g(x)在 上为增函数，且 g(e)1e，e 1e，e ，ln ee 1e直线 ykx2 过定点(0，2)，设过点(0 ，2) 与 g(x)相切的切线为 l，若方程 kx 2 在区间 上有两个实根，ln xx 1e，e则直线 ykx2 在切线 l 与过点 A 的直线之间，(e，1e)由图象知当直线过点 A 时直线的斜率最小，
10、此时 k 的最小值为 k .1e 2e 01e 2e 2e 1e2三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 郑州第二次质量预测)已知数列 an中，a11，a n0，前 n 项和为 Sn，若 an (nN *，且 n2)Sn Sn 1(1)求数列a n的通项公式；(2)记 cna n2 ，求数列 cn的前 n 项和 Tn. an 解 (1)在数列 an中，a nS nS n1 (n2)， an ， Sn Sn 1且 an0，
11、得 1(n2)，Sn Sn 1数列 是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列，Sn S1 a1 1(n 1) 1n， Snn 2.Sn当 n2 时，a nS nS n1 n 2(n1) 22n1，当 n1 时，a 11，也满足上式，数列a n的通项公式为 an2n1.(2)由(1)，知 an2n1， cn(2 n1)2 2n1 ，则 Tn12 3235 25(2n1)2 2n1 ，4Tn12 3 32552 7(2n3)2 2n1 (2n1)2 2n1 ，两式相减，得3T n2 2(232 52 2n1 )(2n1)2 2n122 (2 n1)2 2n181 22n 21 4 22n1 ，10
12、3 (53 2n)Tn .6n 522n 1 10918(本小题满分 12 分)(2019 山东德州一模)如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD ，AB CD，E，F 为 AB 的三等分点，且 EFCD，将AED 和BFC分别沿 DE， CF 折起到 A，B 两点重合，记为点 P.(1)证明：平面 PCF平面 PEF；(2)若 PFFC，求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值解 (1)证明：因为 ABCD，EFCD，所以四边形 CDEF 为平行四边形，所以AEDAFC ；又因为AEDBFC，所以 AED BFC，从而AFC BFC90 ，所以 PEED，PF FC.因为 CFDE，所以 P
13、EFC，又因为 PEPF P，PE平面 PEF，PF平面 PEF，所以 FC平面 PEF.又因为 FC平面 PFC，所以平面 PEF平面 PFC.(2)在平面 PEF 内作 POEF，垂足为 O，取 CD 的中点为 M.由(1)可知，FC 平面 PEF，故 FCPO，可得 PO平面 CDEF，所以 POOM，PO OF，又因为 PFPE ，所以 OEOF，所以 OMFC，所以 OFOM，所以 OP，OF，OM 两两垂直；以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PFFC2，而 PEF 为等边三角形，所以 P(0,0， )，F(1,0,0)，C(1,2,0)，D(1,2,0)，3所以
14、 (1,0， )， (1,2 ， )， (1,2， )；PF 3 PC 3 PD 3设 n(x，y，z)为平面 PFC 的法向量，由Error!即Error!可取 n( ，0,1)3设 PD 与平面 PFC 所成的角为 ，则 sin ，|nPD |n|PD | 64所以 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值为 .6419(本小题满分 12 分)(2019 南昌一模)市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过 5000 小时，经销商对 B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店
15、面需安装该品牌节能灯 5 支(同种型号)即可正常营业，经了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装，已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换(用频率估计概率)(1)若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，求一年内 5 支节能灯在使用期间恰好更换 2 支灯的概率；(2)若该商家全部使用 A 型节能灯或 B 型节能灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节能灯更合算？解 (1)由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用
16、寿命超过 3600 小时的频率为 0.00102000.2，用频率估计概率，得 B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的概率为 .15所以一年内一支 B 型节能灯在使用期间需更换的概率为 .45所以一年内 5 支节能灯在使用期间恰好更换 2 支灯的概率为 C 2 325(45) (15).32625(2)共需要安装 5 支节能灯，若选择 A 型节能灯，一年共需花费512036005200.7510 3 870 元；若选择 B 型节能灯，由于 B 型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布 B，(5，45)故一年内需更换灯的支数的期望为 5 4 支45故一年共需花费 2536005550.7510
17、 3 967.5 元(5 455)因为 967.5870，所以该商家应选择 A 型节能灯20(本小题满分 12 分)(2019 重庆六区一模)如图，已知椭圆C： 1，其左、右焦点为 F1(2，0)及 F2(2,0)，过点 F1 的直线交椭圆x2a2 y2b2C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于D，E 两点，且|AF 1|，|F 1F2|，| AF2|构成等差数列(1)求椭圆 C 的方程；(2)记GF 1D 的面积为 S1，OED (O 为原点)的面积为 S2，试问：是否存在直线 AB，使得 S1S 2？请说明理由解 (1)|AF 1|，|
18、F1F2|，|AF 2|构成等差数列，2a|AF 1|AF 2|2| F1F2|8， a4.又c2， b212，椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)假设存在直线 AB，使得 S1S 2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直，设直线 AB 的方程为 yk(x2)，将其代入 1，整理得(4k 23) x216k 2x16 k2480，x216 y212设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1x 2 . 16k23 4k2点 G 的横坐标为 ，x1 x22 8k23 4k2G .( 8k23 4k2， 6k3 4k2)DGAB， k1，解得 xD ，6k3 4k2 8k23
19、 4k2 xD 2k23 4k2即 D ，( 2k23 4k2，0)RtGDF1 和 RtODE 相似，若 S1S 2，则|GD | OD|， ，( 8k23 4k2 2k23 4k2)2 ( 6k3 4k2)2 | 2k23 4k2|整理得 8k2 90，方程 8k290 无解，不存在直线 AB，使得 S1S 2.21(本小题满分 12 分)(2019 新乡模拟)已知函数 f(x)x 22x2aln x，若函数 f(x)在定义域上有两个极值点 x1，x 2，且 x10.32解 (1)因为函数 f(x)在定义域(0，)上有两个极值点 x1，x 2，且 x1g ln 2 ，(14) 32即 f(
20、x1)f(x 2)ln 2 0.32(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019辽宁抚顺一模 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1 的极坐标方程为 2sin，直线 l 的参数方程为Error! (t 为参数 )(1)求曲线 C1 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)设 D 为曲线 C1 上在第二象限内的点，且在点 D 处的切线与直线 l 平行，求点 D 的直角坐标解 (1)由已知，得 22sin ，得 x2
21、y 22y，即 x2(y1) 21，所以 C1 的参数方程为Error!( 为参数)直线 l 的直角坐标方程为 xy20.3(2)由(1)知曲线 C1 是以 C(0,1)为圆心、半径为 1 的圆，设点 D(cos，1sin )，因为点 D 在第二象限，所以直线 CD 的斜率 kCD tan ，得33 ，得点 D 的直角坐标为 .56 ( 32，32)23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019辽宁抚顺一模 )已知函数 f(x)| xa| .|x 1a|(1)当 a1 时，解不等式 f(x)5；(2)若xR，f(x)|m1|恒成立，求实数 m 的取值范围解 (1)当 a 1 时，f(x )| x1| |x1| ，当 x1 时， f(x)x1x12x 5，解得 x ；52当1 x1 时，f(x )x1x125，解集为；当 x1 时， f(x)x1x12x 5，解得 x ；52综上，当 a1 时，不等式 f(x)5 的解集为 .( ， 52 52， )(2)显然有 a 0，由绝对值的三角不等式，得f(x)|xa| |a| 2，|x 1a| |x a x 1a| |a 1a| |1a|所以|m1|2，解得1m3，即 m1,3