1、基础巩固练( 六)本试卷分第卷(选择题) 和第 卷( 非选择题)两部分满分 150 分，考试时间120 分钟第卷 (选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2019新乡二模 )已知集合 A1,2,3,4,5,6,7 ，集合 BxN |2x 6 ，则 A B( )A1,2,3,5,6,7 B2,3,4,5C2,3,5 D2,3答案 B解析 集合 B xN|2x 6 2,3,4,5 ，集合 A1,2,3,4,5,6,7，则AB2,3,4,5故选 B.2(2019芜湖一中二模 )复数 等于( )1 i3
2、 4iiA7i B7iC7 7i D7 7i答案 A解析 7i，故选 A.1 i3 4ii 1 7ii 1 7iii23(2019陕西联考 )如图是民航部门统计的某年春运期间 12 个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门答案 D解析 由图可知，选项 A，B，C 都正确对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，平均价格的涨幅从高到低
3、居于前三位的城市为天津、西安、南京，所以错误故选 D.4(2019宝鸡中学二模 )执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：f (x )sinx； f (x)cosx ；f (x) ；f (x) x2.则输出的函数是( )1xAf (x) sinx Bf (x)cosxCf (x) Df (x) x 21x答案 A解析 此程序框图的功能是筛选既是奇函数、又存在零点的函数故选 A.5(2019拉萨中学模拟 )如图所示，ABC 中， 2 ，点 E 是线段 ADBD DC 的中点，则 ( )AC A. B. 34AD 12BE 34AD BE C. D. 54AD 12BE 54AD BE 答案
4、C解析 ，故选 C.AC AD DC AD 12BD AD 12(BE 12AD ) 54AD 12BE 6(2019北京西城二模 )榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为( )A192 B186C180 D198答案 A解析 由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为 2,6,3，下部分为长方体，棱长分别为 6,6,3，其表面积为S663266223192，故选 A.7(2019潍坊一模 )函数 y
5、4cosxe |x|的图象可能是 ( )答案 D解析 显然 y4cosx e |x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，当 x0 时，y4sinx e x(4sin xe x)，显然当 x(0，时，y0，当 x(，)时，e xe e34，而 4sinx4， y(4sinx e x)0， y(4sinxe x)0 在(0，) 上恒成立，y 4cosxe |x|在(0，)上单调递减故选 D.8(2019全国卷 )设 f (x)为奇函数，且当 x0 时， f (x)e x1，则当 x0 ，当 x0 时，f (x)e x1，f (x)e x 1.又f (x)为奇函数， f (x)f (x)e x 1.故选
6、 D.9(2019宜宾市二诊 )已知直线 l1：3x y60 与圆心为 M(0,1)，半径为的圆相交于 A，B 两点，另一直线 l2：2kx2y 3k30 与圆 M 交于 C，D5两点，则四边形 ACBD 面积的最大值为( )A5 B102 2C5( 1) D5( 1)2 2答案 A解析 以 M(0,1)为圆心，半径为 的圆的方程为 x2(y1) 25，联立5Error!解得 A(2,0)，B (1,3)，AB 中点为 .而直线 l2：2kx2y3k 30 恒(32，32)过定点 ， |AB| .当 CD 为圆的直径，且 CDAB(32，32) 2 12 0 32 10时，四边形 ACBD 面
7、积最大，四边形 ACBD 面积的最大值为S 2 5 .故选 A.12 10 5 210(2019安徽省皖江名校联盟第二次联考)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 12答案 D解析 设双曲线的方程为 1(a0，b0)，则 F (c,0)，B (0，b)，直x2a2 y2b2线 FB：bxcybc 0 与渐近线 y x 垂直，所以 1，即 b2ac，所ba bcba以 c2a 2ac，即 e2e10，所以 e 或 e (舍去)故选 D.1 52 1 5211(2019南康中学
8、二模 )在四面体 SABC 中，ABBC，ABBC3，SA SC 3 ，平面 SAC平面 BAC，则该四面体外接2球的表面积为( )A8 B12C16 D24答案 D解析 取 AC 的中点 D，连接 SD，BD，ABBC，ABBC3，ABC 为等腰直角三角形，则BDAC，AC3 ，则SAC 为等边三角形，D 为 AC 的中点，2SDAC，ADDC ，取 SAC 的外心 O，则 O 在 SD 上，连接322AO，BO，CO，可知 O 点即为四面体 SABC 外接球的球心则有AOBOCOSO 3 .则外接球的表面积为 4624. 故选 D.23 32 2 612(2019湖南省永州一模)设函数 f
9、 (x)Error! g(x)f (x)2xa.若 g(x)存在两个零点，则 a 的取值范围是( )A( ，4 B(2,4C4，) D4，2)答案 D解析 由题意可得 f (x)2xa 有两个不同的实根，即函数 f (x)的图象与直线 y2xa 有两个交点，作出 yf (x)的图象和直线 y2xa，如图所示当直线经过点(1,0) 时，可得2a0，即 a2；当直线经过点(1,2)时，可得2a2，即 a4；可得，当4a2 时，直线 y2x a 和函数 f (x)的图象有两个交点，即 g(x)存在两个零点，故选 D.第卷 (非选择题，共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
10、20 分13(2019全国卷 )若变量 x，y 满足约束条件Error!则 z3x y 的最大值是_答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时， z 最小，即 z 最大由Error!解得 Error!即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.14(2019福州一模 )已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 的外接球体积为 ，323且 AA1BC 2，则直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为_答案 4解析 设长方体 ABCDA 1B1C1D1的外接球半径为 R，因为长方体 ABCDA 1B1C1D1的外接球体积为 R3 ，
11、所以 R2，43 323即 A1C 2R4，因为 AA1BC2，所以 AB2 .因AA21 BC2 AB2 2为 A1B1平面 BB1C1C，所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角为 A1CB1，因为 AA1BC2，所以 B1C2 A 1B1，2所以在 RtA1CB1中， A1CB1 .415(2019全国卷 )设 F1，F 2 为椭圆 C： 1 的两个焦点，M 为 Cx236 y220上一点且在第一象限若MF 1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为_答案 (3 ， )15解析 设 F1为椭圆的左焦点，分析可知 M 在以 F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆( x4) 2 y264 上
12、因为点 M 在椭圆 1 上，所以联立x236 y220方程可得Error! 解得Error!又因为点 M 在第一象限，所以点 M 的坐标为(3，)1516(2019镇江一模 )在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 4(tanAtan B) ，则 cosC 的最小值为_tanAcosB tanBcosA答案 78解析 4(tanAtan B) ，tanAcosB tanBcosA sinA sinBcosAcosB4 ，(sinAcosA sinBcosB) sinA sinBcosAcosB则 4(sinAcosBcosAsinB)sinAsinB，即 4sin(AB)
13、 sin AsinB，又AB C，4sinCsin Asin B，由正弦定理得，4c ab .由余弦定理得，cosC .a2 b2 c22abcosC ，15a2 15b2 2ab32ab 30ab 2ab32ab 78cosC 的最小值为 .78三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题： 60 分17(本小题满分 12 分)(2019 山西晋城一模)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，其中 a39，S 4a 139.(1)求数列a n的通项公式；(2)若a n为递
14、增数列，求数列 的前 n 项和1log3a2nlog3a2n 2解 (1)依题意， a2a 3a 439，即 99q39，9q故 3q210q30，即(3q1)(q3) 0，解得 q3 或 q ，13又 ana 3qn3 ，故 an3 n1 或 an3 5n .(2)依题意，得 an3 n1 ，则 1log3a2nlog3a2n 2 1log332n 1log332n 1 ，12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)设 的前 n 项和为 Tn，则1log3a2nlog3a2n 2Tn 12 (1 13) 12 (13 15) 12 (15 17) 12 ( 12n 1 12n 1)
15、.12 (1 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1) 12 (1 12n 1) n2n 118(本小题满分 12 分)(2019 攀枝花三模)某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量( 单位：毫克)，质量值落在(175,225的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图产品质量/毫克 频数165,175 3(175,185 2(185,195 21(195,205 36(205,215 24(215,225 9(225,235 5(1)根据乙流水线样本的频
16、率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数(结果保留整数)；(2)从甲流水线样本中质量在(165,185 的产品中任取两件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；(3)由以上统计数据完成下面 22 列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线 乙流水线 总计合格品不合格品总计下面临界值表仅供参考：P(K2k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2 ，其中 nabcd.nad bc2a
17、bc da cb d解 (1)因为前三组的频率之和为 10(0.0020.0090.020)0.310.5，前四组的频率之和为 10(0.0020.0090.0200.034)0.650.5.所以中位数在第四组，设为 x，由(x195)0.0340.310.5，解得 x201.(2)甲流水线样本中质量在(165,185的产品共有 5 件，其中合格品有 2 件，设为 A，B ；不合格品 3 件，设为 a，b，c ，从中任取 2 件的所有取法有(A ，B)，(A，a) ，( A， b)，(A，c )， (B，a)，(B，b)，(B ，c) ，( a，b)，(a，c )，(b，c)，共 10 种，恰
18、有一件合格品的取法有(A，a)，( A，b )，(A，c)，(B ，a)，( B，b)，(B，c) ，共 6 种，所以两件产品中恰有一件合格品的概率为 P .610 35(3)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为 100(10.04)96，所以，22 列联表如下所示，甲流水线 乙流水线 总计合格品 92 96 188不合格品 8 4 12总计 100 100 200所以K2 1.4182.072，nad bc2a bc da cb d 200924 968210010018812故在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关19(
19、本小题满分 12 分)(2019 广州二模)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，APD90 ，且PAPD ，ADPB.(1)求证：ADPB ；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离解 (1)证明：取 AD 的中点 O，连接 OP，OB，BD，底面 ABCD 为菱形，BAD60 ，ADABBD.O 为 AD 的中点，BO AD.在PAD 中，PAPD，O 为 AD 的中点，POAD.BOPOO，AD 平面 POB.PB平面 POB，ADPB.(2)解法一：在 RtPAD 中，AD2， PO1.底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD60 ，BO
20、 .3在PBO 中，PO1，BO ，PBAD2，3PO2BO 2PB 2， POBO.由(1)有 POAD，且 AD BOO，AD平面 ABCD，BO平面 ABCD，PO平面 ABCD.在PBC 中，由 (1)证得 ADPB，且 BCAD，BCPB.PBADBC2，S PBC2.连接 AC，在ABC 中，ABBC2， ABC120，SABC ABBCsinABC .12 3设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，VAPBC V PABC ，即 SPBCh SABCPO.13 13h .SABCPOSPBC 312 32点 A 到平面 PBC 的距离为 .32解法二：AD BC，BC平面 PBC
21、，AD平面 PBC，AD平面 PBC.点 A 到平面 PBC 的距离等于点 O 到平面 PBC 的距离过点 O 作 OHPB 于点 H.由(1)证得 AD平面 POB，且 ADBC，BC平面 POB.OH平面 POB， BCOH.PBBC B，PB平面 PBC，BC平面 PBC，OH平面 PBC.在 RtPAD 中， AD2， PO1.底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD60 ，BO .3在PBO 中，PO1，BO ，PBAD2，3PO2BO 2PB 2， POBO.在PBO 中，根据等面积关系得 PBOHPOOB.OH .POOBPB 132 32点 A 到平面 PBC 的距离为
22、.3220(本小题满分 12 分)(2019 惠州三模)已知抛物线 C：x 28y 与直线l：ykx1 交于 A，B 不同两点，分别过点 A，B 作抛物线 C 的切线，所得的两条切线相交于点 P.(1)求证： 为定值；OA OB (2)求ABP 的面积的最小值及此时直线 l 的方程解 (1)证明：设 A，B 的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!消 y 得，x28kx8 0，方程的两个根为 x1，x 2，64k 2320 恒成立，x 1x 28k ，x 1x28，A，B 在抛物线 C 上，y1 ，y 2 ，x218 x28y1y2 1，x1x2264 x 1x2
23、y 1y2817 为定值OA OB (2)由 x28y，得 y x2，18y x，14kAP x1，k BP x2，14 14直线 AP 的方程为 y x1(xx 1)，即 y x1x x ， x218 14 14 1821同理直线 BP 的方程为 y x2x x ， 14 182由得 2x(x1x 2)(x 1 x2)(x1x 2)，而 x1x 2，故有 x 4k，y 1，即点 P(4k，1)，x1 x22|AB| 4 1 k2 x1 x22 4x1x2 1 k2 64k2 32 2，1 k22k2 1点 P(4k，1)到直线 l：ykx 1 的距离 d ，|4k2 2|1 k2SABP |
24、AB|d4 (2k21) ，12 2 32k20，当 k20 即 k0 时，S ABP有最小值为 4 ，此时直线方程 l 为 y1.221(本小题满分 12 分)(2019 深圳二模)已知函数 f (x)ae x2x1(其中常数 e2.71828 是自然对数的底数 )(1)讨论函数 f (x)的单调性；(2)证明：对任意的 a1，当 x0 时，f (x)(xae) x.解 (1)由 f (x)ae x2x1，得 f(x) ae x2.当 a0 时，f(x )0，函数 f (x)在 R 上单调递增；当 a0 时，由 f(x ) 0，解得 xln ，由 f(x )0，解得 xln ( 2a)，故
25、f (x)在 上单调递增，在 上单调递减( 2a) ( ，ln ( 2a) (ln ( 2a)， )综上所述，当 a0 时，函数 f (x)在 R 上单调递增；当 a0 时，f (x)在 上单调递增，在 上单调递( ，ln ( 2a) (ln ( 2a)， )减(2)证明：当 a1，x 0 时，f (x)( xae)x e0.exx xa 1ax 2a令 g(x) e，exx xa 1ax 2a则 g(x) .x 1aex x 1ax2当 a1 时，ae xx1e xx1.令 h(x)e xx 1，则当 x0 时，h(x) e x10.h(x)单调递增，h(x)h(0)0.当 0 x1 时，g
26、(x )0；当 x1 时，g(x) 0；当 x1 时，g(x)0.g(x)g(1)0.即 e0，故 f (x)(xae)x .exx xa 1ax 2a(二)选考题： 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程(2019大庆三模 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为Error! (t 为参数)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4cos，射线 l2 的极坐标方程为 (0) 6(1)求直线 l1 的倾斜角及极坐标方程；(2)若射线 l2 与 l1 交于
27、点 M，与圆 C 交于点 N(异于原点)，求|OM|ON|.解 (1)直线 l1的普通方程为 x y40.3设直线 l1的倾斜角为 ，则 tank ，330 ， .56把 xcos， ysin 代入得，直线 l1的极坐标方程为 cos sin4.3(2)把 代入 l1的极坐标方程中，得| OM| 1 ，把 代入圆的极坐6 43 6标方程中，得|ON| 22 ，|OM| ON| 128.323(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲(2019广州三模 )已知 a0，b0，ab1.设 的最小值为 m.1a ab(1)求 m 的值；(2)解不等式|x1|x 3|m.解 (1) 1 .1a ab a ba ab ba aba0，b0 ， 0， 0， 2 2，ba ab ba ab baab当且仅当Error! 即 ab 时取等号， 的最小值为 2，m3.12 ba ab(2)由(1)知|x 1|x 3|3.当 x1 时，原不等式化为(x 1)(x3)3，解得 x1；当1x3 时，原不等式化为 x1x33，解得1x ；52当 x3 时，原不等式化为 x1(x3)3，无解综上，原不等式的解集为Error!.