1、1开放性问题一、选择题1 1 （2018浙江舟山3 分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场） ，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ） A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁【考点】推理与论证 【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛 3 场，要是 3 场全胜得最高 9 分，根据已知“甲、乙，丙、丁四
2、队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数” ，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。【解答】解：小组赛一共需要比赛 场，由分析可知甲是最高分，且可能是 9 或 7 分，当甲是 9 分时，乙、丙、丁分别是 7 分、5 分、3 分，因为比赛一场最高得分 3 分，所以 4 个队的总分最多是 63=18 分，而 9+7+5+3>18，故不符合；当甲是 7 分时，乙、丙、丁分别是 5 分、3 分、1 分，7+5+3+1<18，符合题意，因为每人要参加 3 场比赛，所以甲是 2 胜一平，乙是 1 胜 2 平，丁是 1 平 2 负，则甲胜
3、丁 1 次，胜丙 1 次，与乙打平 1 次，因为丙是 3 分，所以丙只能是 1 胜 2 负，乙另外一次打平是与丁，则与乙打平的是甲、丁故答案是 B。【点评】要注重分类讨论.2二.解答题(要求同上一)1 （2018湖南省衡阳10 分）如图，已知直线 y=2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点A、B，抛物线过 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D（1）若抛物线的解析式为 y=2x 2+2x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N求点 M、N 的坐标；是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点 P 的横坐标为
4、1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图 1，y=2x 2+2x+4=2（x ） 2+ ，顶点为 M 的坐标为（ ， ） ，当 x= 时，y=2 +4=3，则点 N 坐标为（ ，3） ；不存在理由如下：MN= 3= ，设 P 点坐标为（m，2m+4） ，则 D（m，2m 2+2m+4） ，PD=2m 2+2m+4（2m+4）=2m 2+4m，PDMN，当 PD=MN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，即2m 2+4m= ，解得 m1= （舍去） ，m 2= ，此时 P 点坐
5、标为（ ，1） ，PN= = ，PNMN，3平行四边形 MNPD 不为菱形，不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形；（2）存在如图 2，OB=4，OA=2，则 AB= =2 ，当 x=1 时，y=2x+4=2，则 P（1，2） ，PB= = ，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+4，把 A（2，0）代入得 4a+2b+4=0，解得 b=2a2，抛物线的解析式为 y=ax22（a+1）x+4，当 x=1 时，y=ax 22（a+1）x+4=a2a2+4=2a，则 D（1，2a） ，PD=2a2=a，DCOB，DPB=OBA，当 = 时， PDBBOA，即 = ，解得 a=2，此时抛物线解析式
6、为y=2x 2+2x+4；当 = 时， PDBBAO，即 = ，解得 a= ，此时抛物线解析式为y= x2+3x+4；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 y=2x 2+2x+4 或 y= x2+3x+442. （2018株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线都垂直， ，垂足分别为点 A、点 B 和点 C， （高速路右侧边缘） ， 上的点 M 位于点 A的北偏东 30方向上，且 BM 千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东 方向上，且，MN= 千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.（1）求 之间的距离（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求
7、市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】 （1）2；（2） 小时. 【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；（2）利用 tan30= ，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得出 AN 的长，即可得出答案详解：（1）过点 M 作 MDNC 于点 D，cos= ，MN=2 千米，cos= ，解得：DM=2（km） ，答：l 2和 l3之间的距离为 2km；5（2）点 M 位于点 A 的北偏东 30方向上，且 BM= 千米，tan30= ，解得：AB=3（km） ，可得：AC=3+2=5（km） ，MN=
8、2 km，DM=2km，DN= =4 （km） ，则 NC=DN+BM=5 （km） ，AN= =10（km） ，城际火车平均时速为 150 千米/小时，市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 小时点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键3. （2018四川自贡14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx3 过 A（1，0） 、B（3，0） ，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为2，点 P（m，n）是线段 AD 上的动点（1）求直线 AD 及抛物线的解析式；（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m
9、的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由【分析】 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得 D 点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据 PQ 的长是正整数，可得 PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得 DR6的长，根据点的坐标表示方法，可得答案【解答】解：（1）把（1，0）
10、 ， （3，0）代入函数解析式，得，解得 ，抛物线的解析式为 y=x2+2x3；当 x=2 时，y=（2） 2+2（2）3，解得 y=3，即 D（2，3） 设 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0） ，D（2，3）代入，得，解得 ，直线 AD 的解析式为 y=x1；（2）设 P 点坐标为（m，m1） ，Q（m，m 2+2m3） ，l=（m1）（m 2+2m3）化简，得l=m 2m+2配方，得l=（m+ ） 2+ ，当 m= 时，l 最大 = ；（3）DRPQ 且 DR=PQ 时，PQDR 是平行四边形，由（2）得 0PQ ，又 PQ 是正整数，PQ=1，或 PQ=2当 PQ=1 时，
11、DR=1，3+1=2，即 R（2，2） ，31=4，即 R（2，4） ；当 PQ=2 时，DR=2，3+2=1，即 R（2，1） ，32=5，即 R（2，5） ，综上所述：R 点的坐标为（2，2） ， （2，4） ， （2，1） （2，5） ，使得P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用 DR=PQ 且是正整数得出 DR 的长74 （2018 浙江舟山 8 分） 某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为 176mm-185mm 的产品为合格） ，随机各
12、轴取了 20 个样品进行测，过程如下：收集数据（单位：mm）：甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180。乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183。整理数据：分析数据：应用数据： （1）计算甲车间样品的合格率。 （2）估计乙车间生产的 1000 个该款新产品中合格产品有多少个？ &n
13、bsp;（3）结合上述数据信息，请判断个车间生产的新产品更好，并说明理由， 【考点】数据分析 【解析】 【分析】 （1）由题意可知，合格的产品的条件为尺寸范围为 176mm-185mm 的产品，所以甲车间合格的产品数是（5+6） ，再除总个数即可；（2）需要先求出乙车间的产品的合格率；而合格产品数（a+b）的值除了可以样品数据中里数出来，也可以由 20-（122）得到；（3）分析数据中的表格提供了甲、乙车间的平均数、众数、中位数和方差数据，根据它们的特点结合数据的大小进行比较及评价即可【解答】 （1）甲车间样品的合格率为 100=55（2）乙车间样品的合
14、格产品数为 20-（122）=15（个） ，乙车间样品的合格率为 100=75。乙车间的合格产品数为 100075=750（个） 8（3）从样品合格率看，乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好。从样品的方差看，甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比甲稳定，所以乙车间生产的新产品更好 【点评】本题考查数据分析及应用数据的能力5. （2018 年四川省内江市）对于三个数 a，b，c，用 Ma，b，c表示这三个数的中位数，用 maxa，b，c表示这三个数中最大数，例如：M2，1，0=1，max2，1，0=0，max2，1，a=解决问题：（1）填空
15、：Msin45，cos60，tan60= ，如果 max3，53x，2x6=3，则 x 的取值范围为 ；（2）如果 2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，求 x 的值；（3）如果 M9，x 2，3x2=max9，x 2，3x2，求 x 的值【考点】AD：一元二次方程的应用；8A：一元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；T5：特殊角的三角函数值【分析】（1）根据定义写出 sin45，cos60，tan60的值，确定其中位数；根据maxa，b，c表示这三个数中最大数，对于 max3，53x，2x6=3，可得不等式组：则，可得结论；（2）根据新定义和
16、已知分情况讨论：2 最大时，x+42 时，2 是中间的数时，x+22x+4，2 最小时，x+22，分别解出即可；（3）不妨设 y1=9，y 2=x2，y 3=3x2，画出图象，根据 M9，x 2，3x2=max9，x 2，3x2，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的 x 的值符合条件，结合图象可得结论【解答】解：（1）sin45= ，cos60= ，tan60= ，Msin45，cos60，tan60= ，max3，53x，2x6=3，则 ，9x 的取值范围为： ，故答案为： ， ；（2）2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，分三种情况：当 x+42 时，即 x2，原等式变为：2（x+4）=2，x=3，x+22x+4 时，即2x0，原等式变为：22=x+4，x=0，当 x+22 时，即 x0，原等式变为：2（x+2）=x+4，x=0，综上所述，x 的值为3 或 0；（3）不妨设 y1=9，y 2=x2，y 3=3x2，画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点 A、B 点时，满足条件且 M9，x 2，3x2=max9，x 2，3x2=y A=yB，此时 x2=9，解得 x=3 或3【点评】本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等重要