1、1多边形与平行四边形一、选择题1 （2018湖北省宜昌3 分）如图，在平面直角坐标系中，把ABC 绕原点 O 旋转180得到CDA，点 A，B，C 的坐标分别为（5，2） ， （2，2） ， （5，2） ，则点 D 的坐标为（ ）A （2，2） B （2，2） C （2，5） D （2，5）【分析】依据四边形 ABCD 是平行四边形，即可得到 BD 经过点 O，依据 B 的坐标为（2，2） ，即可得出 D 的坐标为（2，2） 【解答】解：点 A，C 的坐标分别为（5，2） ， （5，2） ，点 O 是 AC 的中点，AB=CD，AD=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，BD 经过
2、点 O，B 的坐标为（2，2） ，D 的坐标为（2，2） ，故选：A【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标2 （2018山东临沂3 分）如图，在ABCD 中，AB=10，AD=6，ACBC则 BD= 4 【分析】由 BCAC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得 AC 的长，得出 OA 长，然后由勾股2定理求得 OB 的长即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BC=AD=6，OB=D，OA=OC，ACBC，AC= =8，OC=4，OB= =2 ，BD=2OB=4故答案为：4 【点评】此题考查了平行
3、四边形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用3. （2018北京2 分） 若正多边形的一个外角是 60，则该正多边形的内角和为A 360B 540C 72D 90【答案】C【解析】由题意，正多边形的边数为 360n，其内角和为 2187n【考点】正多边形，多边形的内外角和4（2018安徽4 分） ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（ ）A. BE=DF B. AE=CF C. AF/CE &nbs
4、p;D. BAE=DCF【答案】B【解析】 【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.【详解】A、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB=OD，BE=DF，OE=OF，四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形 AECF 是平行四边形，故符合题意；3C、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，AF/CE，FAO=ECO，又AOF=COE，AOFCOE，AF=CE，AF CE，四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； D、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AB/CD，ABE
5、=CDF，又BAE=DCF，ABECDF，AE=CF，AEB=CFD，AEO=CFO，AE/CF，AE CF，四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意，故选 B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.5 （2018四川宜宾3 分）在ABCD 中，若BAD 与CDA 的角平分线交于点 E，则AED的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【考点】L5：平行四边形的性质【分析】想办法证明E=90即可判断【解答】解：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，BAD+ADC=180，EAD
6、= BAD，ADE= ADC，EAD+ADE= （BAD+ADC）=90，E=90，ADE 是直角三角形，4故选：B【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型6 （2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE的面积为 4，则ABC 的面积为（ ）A8 B12 C14 D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE= BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE= BC，ADEAB
7、C， = ， = ，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，故选：D【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADEABC 是解题关键7 （2018台湾分）如图，锐角三角形 ABC 中，BCABAC，甲、乙两人想找一点 P，使得BPC 与A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P即为所求5对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）A两人皆正确 B两人皆错误C甲正确，乙错误
8、D甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：APC=ACP，由平角的定义可知：BPC+APC=180，根据等量代换可作判断；乙： 根据四边形的内角和可得：BPC+A=180【解答】解：甲：如图 1，AC=AP，APC=ACP，BPC+APC=180BPC+ACP=180，甲错误；乙： 如图 2，ABPB，ACPC，ABP=ACP=90，BPC+A=180，乙正确，故选：D【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键8. （2018台湾分）如图，ABC、FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE6上
9、，G、H 两点在 BC 上，且 DEBC，FGAB，FHAC，若 BG：GH：HC=4：6：5，则ADE与FGH 的面积比为何？（ ）A2：1 B3：2 C5：2 D9：4【分析】只要证明ADEFGH，可得 =（ ） 2，由此即可解决问题；【解答】解：BG：GH：HC=4：6：5，可以假设 BG=4k，GH=6k，HC=5k，DEBC，FGAB，FHAC，四边形 BGFD 是平行四边形，四边形 EFHC 是平行四边形，DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，FGH=B=ADE，FHG=C=AED，ADEFGH， =（ ） 2=（ ） 2= 故选：D【点评】本题考
10、查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型9 （2018浙江宁波4 分）已知正多边形的一个外角等于 40，那么这个正多边形的边数为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】多边形的外角和定理【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数【解答】解：正多边形的一个外角等于 40，且外角和为 360，则这个正多边形的边数是：36040=9故选：D【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度10 （2018 四川省泸州市 3 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于
11、点 O，E 是 AB 中点，7且 AE+EO=4，则ABCD 的周长为（ ）A20 B16 C12 D8【分析】首先证明：OE= BC，由 AE+EO=4，推出 AB+BC=8 即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，AE=EB，OE= BC，AE+EO=4，2AE+2EO=8，AB+BC=8，平行四边形 ABCD 的周长=28=16，故选：B【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型二.填空题1. （2018浙江临安3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，
12、然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC= 36 度【考点】多边形的内角和定理和等腰三角形的性质【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABC= =108，ABC 是等腰三角形，BAC=BCA=36 度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质n 边形的内角和为：180（n2） 82（2018 年江苏省南京市2 分）如图，在ABC 中，用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线，分别交 AB、AC 于点 D、E，连接 DE若 BC=10cm，则 DE= 5 cm【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 DE 是A
13、BC 的中位线，进而得出答案【解答】解：用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线，D 为 AB 的中点，E 为 AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DE= BC=5cm故答案为：5【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出 DE 是ABC 的中位线是解题关键3 （2018株洲市3 分）如图，O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，OAB90，点 B 的坐标为 ，将该三角形沿 轴向右平移得到 ，此时点 的坐标为，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为_.【答案】4【解析】分析：利用平移的性质得出 AA的长，根据等腰直角三角形的性质得到 AA对应的高，再结合平行
14、四边形面积公式求出即可详解：点 B 的坐标为（0，2 ） ，将该三角形沿 x 轴向右平移得到 RtOAB，此时点 B的坐标为（2 ，2 ） ，AA=BB=2 ，OAB 是等腰直角三角形，A（ ， ） ，AA对应的高 ，线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2 =49故答案为：4点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键4 （2018株洲市3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BDCD，过点 A 作AMBD 于点 M，过点 D 作 DNAB 于点 N，且 DN ，在 DB 的延长线上取一点 P，满足AB
15、DMAPPAB，则 AP_.【答案】6【解析】分析：根据 BD=CD，AB=CD，可得 BD=BA，再根据 AMBD，DNAB，即可得到DN=AM=3 ，依据ABD=MAP+PAB ，ABD=P+BAP，即可得到APM 是等腰直角三角形，进而得到 AP= AM=6详解：BD=CD，AB=CD，BD=BA，又AMBD，DNAB，DN=AM=3 ，又ABD=MAP+PAB，ABD=P+BAP，P=PAM，APM 是等腰直角三角形，AP= AM=6，故答案为：6点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定APM 是等腰直角三角形5. （2018 年江苏省
16、泰州市3 分）如图，ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AD=6，AC+BD=16，则BOC 的周长为 14 【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，10AC+BD=16，OB+OC=8，BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为 14【点评】本题考查平行四边形的性质三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（2018 年江苏省泰州市3 分）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ACD=ABC=90，E、F 分别为 AC、CD 的中点，D
17、=，则BEF 的度数为 2703 （用含 的式子表示）【分析】根据直角三角形的性质得到DAC=90，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到CEB=1802，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到CEF=D=，结合图形计算即可【解答】解：ACD=90，D=，DAC=90，AC 平分BAD，DAC=BAC=90，ABC=90，EAC 的中点，BE=AE=EC，EAB=EBA=90，CEB=1802，E、F 分别为 AC、CD 的中点，EFAD，CEF=D=，BEF=1802+90=2703，故答案为：2703【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中
18、位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键7.（2018 年江苏省宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是_. 11【答案】8 【考点】多边形内角与外角 【解析】 【解答】解：设这个多边形边数为 n，（n-2）180=3603，n=8.故答案为：8.【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360，根据题意列出方程，解之即可.8 （2018甘肃白银，定西，武威3 分） 若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的边数是_【答案】8【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.【解答】设正多边形的边数是 &
19、nbsp;根据题意得： 解得： 故答案为：8.9 （2018湖南省衡阳3 分）如图，ABCD 的对角线相交于点 O，且 ADCD，过点 O 作OMAC，交 AD 于点 M如果CDM 的周长为 8，那么ABCD 的周长是 16 【解答】解：ABCD 是平行四边形，OA=OC，OMAC，AM=MCCDM 的周长=AD+CD=8，平行四边形 ABCD 的周长是 28=16故答案为 1610. （2018山东菏泽3 分）若正多边形的每一个内角为 135，则这个正多边形的边数是 8 12【考点】L3：多边形内角与外角【分析】先求出每一外角的度数是 45，然后用多边形的外角和为 3
20、6045进行计算即可得解【解答】解：所有内角都是 135，每一个外角的度数是 180135=45，多边形的外角和为 360，36045=8，即这个多边形是八边形故答案为：8【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一11. （2018山西3 分） 图 1 是我国古代建筑中的一种窗格. 其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始清溶，形状 无 一 定 规 则 ， 代 表一种 自 然 和 谐 美. 图 2 是从图 1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图 形 ， 则 1 2 3 4 5 度.【 答 案 】 360【 考 点 】多边形外角和
21、【 解 析 】 任意 n 边形的外角和为 360，图中五条线段组成五边形 1 2 3 4 5 360 .12. （2018山东淄博4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则ADE 的13周长等于 10 【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；L5：平行四边形的性质【分析】要计算周长首先需要证明 E、C、D 共线，DE 可求，问题得解【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，CD=AB=2由折叠，DAC=EACDAC=ACBACB=EACOA=OCAE 过
22、 BC 的中点 OAO= BCBAC=90ACE=90由折叠，ACD=90E、C、D 共线，则 DE=4ADE 的周长为：3+3+2+2=10故答案为：10【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明解题时注意不能忽略 E、C、D 三点共线13. （ 2018四川成都3 分）如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，将四边形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，当 时， 的值为_.14【答案】【考点】勾股定理，菱形的性质，翻折变换（折叠问题） ，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】 【解答】解：菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，A=E=C，
23、1=B，EM=AM，AB=EF=DC=ADEFEFEDM=90tanE= = 设 DM=4x，DE=3x，则 EM=AM=5x=EFDC=AD=AM+DM=9x，DF=EF-DE=9x-3x=6x 延长 EF 交 BC 于点 HADBC，EFEFEDM=DHC=90E=CDEMHCDEM：DC=DE:CH，即 5x：9x=3x：CH解之：CH= ，在 RtDHC 中，DH 2=DC2-CH2DH2=81x2-（ ） 2解之：DH= FH=DH-DF= -6x= 1+HFN=180B+C=180，1=BHFN=C，DHC=FHN=90FHNCHDFN:DC=FH:CH，即 FN:9x
24、= ： 15解之：FN=2x=BNCN=BC-BN=9x-2x=7x = 故答案为： 【分析】根据折叠的性质，可得出菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，可得出A=E=C，1=B，EM=AM，AB=EF=DC=AD，利用锐角三角形函数的定义，可得出 tanE= = ，设 DM=4x，DE=3x，则 EM=AM=5x=EF，就可求出菱形的边长及 EM 的长，延长 EF 交 BC 于点 H，再证明DEMHCD，求出 CH 的长，利用勾股定理求出 DH 的长，就可得出 FH 的长，然后证明FHNCHD，求出 FN 的长，即可得出 BN 的长，从而可求出 BN 和 CN 之比。三.解答题1 （2
25、018湖北省孝感8 分）如图，B，E，C，F 在一条直线上，已知ABDE，ACDF，BE=CF，连接 AD求证：四边形 ABED 是平行四边形【分析】由 ABDE、ACDF 利用平行线的性质可得出B=DEF、ACB=F，由 BE=CF 可得出 BC=EF，进而可证出ABCDEF（ASA） ，根据全等三角形的性质可得出 AB=DE，再结合 ABDE，即可证出四边形 ABED 是平行四边形【解答】证明：ABDE，ACDF，B=DEF，ACB=FBE=CF，BE+CE=CF+CE，BC=EF在ABC 和DEF 中， ，ABCDEF（ASA） ，16AB=DE又ABDE，四边形 ABED 是平行四边形
26、【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出 AB=DE 是解题的关键2. （2018湖南省永州市10 分）如图，在ABC 中，ACB=90，CAB=30，以线段AB 为边向外作等边ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积【分析】 （1）在 RtABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= AB，BE= AB，得到BCE=EBC=60由AEFBEC，得AFE=BCE=60又D=60，得AFE=D=60 度所以
27、 FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以 ADBC，即 FDBC，则四边形 BCFD 是平行四边形（2）在 RtABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；【解答】 （1）证明：在ABC 中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等边ABD 中，BAD=60，BAD=ABC=60E 为 AB 的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC 中，ACB=90，E 为 AB 的中点，CE= AB，BE= ABCE=AE，EAC=ECA=30，17BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即 FDB
28、C四边形 BCFD 是平行四边形（2）解：在 RtABC 中，BAC=30，AB=6，BC= AB=3，AC= BC=3 ，S 平行四边形 BCFD=3 =9 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3. （2018 年江苏省宿迁）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上，且BEDF，EF 分别与 AB、CD 交于点 G、H，求证：AGCH.【答案】证明：在ABCD 中,ADBC,AD=BC,A=C,E=F,又BEDF，AD+DF=CB+BE
29、，即 AF=CE,18在CEH 和AFG 中，,CEHAFG，CH=AG. 【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得 ADBC,AD=BC,A=C,根据平行线的性质得E=F,再结合已知条件可得 AF=CE,根据 ASA 得CEHAFG，根据全等三角形对应边相等得证.4 （2018新疆生产建设兵团8 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 OE，F 是AC 上的两点，并且 AE=CF，连接 DE，BF（1）求证：DOEBOF；（2）若 BD=EF，连接 FB，DF判断四边形 EBFD 的形状，并
30、说明理由【分析】 （1）根据 SAS 即可证明；（2）首先证明四边形 EBFD 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OA=OC，OB=OD，AE=CF，OE=OF，在DEO 和BOF 中，DOEBOF（2）解：结论：四边形 EBFD 是菱形理由：OD=OB，OE=OF，四边形 EBFD 是平行四边形，BD=EF，19四边形 EBFD 是菱形【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5 （2018湖北恩施8 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，F
31、B=CE，ABED，ACFD，AD 交 BE 于 O求证：AD 与 BE 互相平分【分析】连接 BD，AE，判定ABCDEF（ASA） ，可得 AB=DE，依据 ABDE，即可得出四边形 ABDE 是平行四边形，进而得到 AD 与 BE 互相平分【解答】证明：如图，连接 BD，AE，FB=CE，BC=EF，又ABED，ACFD，ABC=DEF，ACB=DFE，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA） ，AB=DE，又ABDE，四边形 ABDE 是平行四边形，AD 与 BE 互相平分20【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论6.（2
32、018广东广州14 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=60，D=30，AB=BC（1）求A+C 的度数。 （2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由。 （3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 ，求点 E 运动路径的长度。 【答案】 （1）解：在四边形 ABCD 中，B=60，D=30，A+C=360-B-C=360-60-30=270。（2）解：如图，将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAQ，连接 DQ，BD=BQ，DBQ=60，BDQ 是等边三角形
33、，BD=DQ，21BAD+C=270，BAD+BAQ=270，DAQ=360-270=90，DAQ 是直角三角形AD 2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2（3）解：如图，将BCE 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 EF，BE=BF，EBF=60，BEF 是等边三角形，EF=BE，BFE=60，AE 2=BE2+CE2AE 2=EF2+AF2AFE=90BFA=BFE+AFE=60+90=150，BEC=150，则动点 E 在四边形 ABCD 内部运动，满足BEC=150，以 BC 为边向外作等边OBC，则点 E 是以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，
34、运动轨迹为 BC，OB=AB=1，则 BC= = 【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算，旋转的性质 【解析】 【分析】 （1）根据四边形内角和为 360 度，结合已知条件即可求出答案.（2）将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAQ，连接 DQ（如图） ，由旋转性质和等边三角形判定得BDQ 是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得DAQ 是直角三角形，根据勾股定理得 AD2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2.22（3）将BCE 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 EF(如图)，由等边三角形判定得B
35、EF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得 AE2=EF2+AF2 ， 即AFE=90，从而得出BFA=BEC=150，从而得出点 E 是在以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC，根据弧长公式即可得出答案.7. (2018 四川省眉山市 15 分 ) 如图，在四边形 ABCD 中，ACBD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且 MB=MN.（1）求证：BN 平分ABE； （2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长；
36、;（3）如图，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：MFNBDC. 【答案】 （1）证明：AB=AC,ABC=ACB,又M 为 BC 中点，AMBC，在 RtABM 中，ABC+MAB=90,ACBD，在 RtCBE 中，ACB+EBC=90,MAB=EBC,又MB=MN，AMBC，NBM 为等腰直角三角形，MBN=MNB=45,EBC+NBE=45,MAB+ABN=MNB=45,MAB=EBC,NBE=ABN,BN 平分ABE.（2）解：四边形 DNBC 为平行四边形，23设 BM=CM=MN=a，则 DN=BC=2a，在ABN 和DBN 中， ABN
37、DBN 中（SAS） ，AN=DN=2a，在 RtABM 中，BD=1，AB=AC=BD，AB=1，AM 2+BM2=AB2 ， （2a+a） 2+a2=1，解得：a= .BC=2a= .（3）解证明：MB=MN，M 为 BC 中点，MN=MB= BC，又F 是 AB 的中点，AB=AC=BD，在 RtABM 中，MF=AF=BF= AB= BD，MAB=FMN,由（1）知MAB=EBC,FMN=EBC,又 ,MFNBDC. 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形等边对角得 ABC=ACB,由等腰三角形三线合一的性质得 AMBC，根据等角的余角相等得MAB=EBC；根据等腰三角形的判定可得NBM 为等腰直角三角形，由角的运算和等量代换得NBE=ABN,即 BN 平分ABE.（2）由平行四边形的性质设 BM=CM=MN=a，则 DN=BC=2a，根据全等三角形的判定 SAS 得ABNDBN 中，全等三角形的性质得 AN=DN=2a，在 RtABM 中，根据勾股定理代入数值得（2a+a） 2+a2=1，解方程，由 BC=2a 得出答案。24（3）根据相似三角形的判定两边对应成比例及夹角相等得证.