1、1三角形的边与角(命题的有关知识)一、选择题1 （2018山东枣庄3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF平分CAB，交 CD于点 E，交 CB于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE的长为（ ）A B C D【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F作 FGAB 于点 G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF 平分CAB，CAF=FAD，CF
2、A=AED=CEF，CE=CF，AF 平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC， = ，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4， = ，FC=FG， = ，2解得：FC= ，即 CE的长为 故选：A【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE2 （2018山东淄博4 分）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB于点 M，过点 M作MNBC 交 AC于点 N，且 MN平分AMC，若 AN=1，则 BC的长为（ ）A4 B6 C D8
3、【考点】KO：含 30度角的直角三角形；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】根据题意，可以求得B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC的长，从而可以求得 BC的长【解答】解：在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB于点 M，过点 M作 MNBC 交 AC于点N，且 MN平分AMC，AMB=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故选：B【点评】本题考查 30角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答3本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合
4、的思想解答3. （2018江苏扬州3 分）在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，CE 平分ACD 交 AB于 E，则下列结论一定成立的是（ ）ABC=EC BEC=BE CBC=BE DAE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出BCD=A，根据角平分线的定义可得出ACE=DCE，再结合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE 即可得出BEC=BCE，利用等角对等边即可得出 BC=BE，此题得解【解答】解：ACB=90，CDAB，ACD+BCD=90，ACD+A=90，BCD=ACE 平分ACD，ACE=DCE又BEC=A+ACE，BCE=BCD+DCE，BEC=BC
5、E，BC=BE故选：C【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出BEC=BCE 是解题的关键4. （2018山东滨州3 分）下列命题，其中是真命题的为（ ）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形
6、是矩形，故本选项错误；4D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确故选：D【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中5（2018湖南省常德3 分）已知三角形两边的长分别是 3和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ）A1 B2 C8 D11【分析】根据三角形的三边关系可得 73x7+3，再解即可【解答】解：设三角形第三边的长为 x，由题意得：73x7+3，4x10，故选：C【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边三角形的两边差小于第三边6 （201
7、8湖南省衡阳3 分）下列命题是假命题的是（ ）A正五边形的内角和为 540B矩形的对角线相等C对角线互相垂直的四边形是菱形D圆内接四边形的对角互补【解答】解：正五边形的内角和=（52）180=540，A 是真命题；矩形的对角线相等，B 是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 是假命题；圆内接四边形的对角互补，D 是真命题；故选：C7（2018山东泰安3 分）如图，将一张含有 30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若2=44，则1 的大小为（ ）A14 B16 C90 D44【分析】依据平行线的性质，即可得到2=3=44，再根据三角形外角性质，可得3
8、=1+30，进而得出1=4430=145【解答】解：如图，矩形的对边平行，2=3=44，根据三角形外角性质，可得3=1+30，1=4430=14，故选：A【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等8. （2018 年江苏省宿迁）如图，点 D在ABC 的边 AB的延长线上，DEBC，若A35,C24,则D 的度数是（ ） 。A. 24 B. 59 C. 60 D. 69【答案】B 【考点】平行线的性质，
9、三角形的外角性质 【解析】 【解答】解：A=35，C=24，DBC=A+C=35+24=59，又DEBC，D=DBC=59.故答案为：B.【分析】根据三角形外角性质得DBC=A+C，再由平行线性质得D=DBC.9 （2018株洲市3 分）如图，直线 被直线 所截，且 ，过 上的点 A作 AB 交于点 B，其中 130，则下列一定正确的是( )6A. 2120 B. 360 C. 4390 D. 234【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理求出ACB，再根据
10、平行线的性质逐个判断即可详解：ABl 3，ABC=90，130ACB=90-160，2120，直线 l1l 2，3=ABC60，4-3=180-3-3=180-2360，234，故选：D点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键10. （2018湖南省永州市4 分）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形C任意多边形的内角和为 360D三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对 A进行判断；根据菱形的判定方法对 B进行判断；根据多边形的内角和
11、对 C进行判断；根据三角形中位线性质对 D进行判断【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为 360，所以 C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D选项为真命题故选：D【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理11 （2018 年江苏省 宿迁）若实数 m、n 满足 ，且 m
12、、n 恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC 的周长是 （ ） 。 A. 12 B. 10 &nb
13、sp; C. 8 D. 6【答案】B 7【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为 0 【解析】 【解答】解：依题可得： ， .又m、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去.若腰为 4，底为 2，CABC=4+4+2=10.故答案为：B.【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：若腰为 2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；若腰为 4，底为 2，再由三角形
14、周长公式计算即可.12 （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABCD，点 E在线段 BC上，CD=CE若ABC=30，则D 为（ ）A85 B75 C60 D30【分析】先由 ABCD，得C=ABC=30，CD=CE，得D=CED，再根据三角形内角和定理得，C+D+CED=180，即 30+2D=180，从而求出D【解答】解：ABCD，C=ABC=30，又CD=CE，D=CED，C+D+CED=180，即 30+2D=180，D=75故选：B【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出C，再由 CD=CE得出D=CED，由三角形内角和定
15、理求出D13. （2018四川宜宾3 分）如图，将ABC 沿 BC边上的中线 AD平移到A'B'C'的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA'=1，则 A'D等于（ ）8A2 B3 C D【考点】Q2：平移的性质【分析】由 SABC =9、S AEF =4且 AD为 BC边的中线知 SADE = SAEF =2，S ABD = SABC =，根据DAEDAB 知（ ） 2= ，据此求解可得【解答】解：如图，S ABC =9、S AEF =4，且 AD为 BC边的中线，S ADE = SAEF =2，S ABD =
16、SABC = ，将ABC 沿 BC边上的中线 AD平移得到A'B'C'，AEAB，DAEDAB，则（ ） 2= ，即（ ） 2= ，解得 AD=2 或 AD= （舍） ，故选：A【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点14 （2018台湾分）如图，ABC 中，D 为 BC的中点，以 D为圆心，BD 长为半径画一9弧交 AC于 E点，若A=60，B=100，BC=4，则扇形 BDE的面积为何？（ ）A B C D【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；【解答】解：A=60，B=100
17、，C=18060100=20，DE=DC，C=DEC=20，BDE=C+DEC=40，S 扇形 DBE= = 故选：C【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S= 15. （2018台湾分）如图，I 点为ABC 的内心，D 点在 BC上，且 IDBC，若B=44，C=56，则AID 的度数为何？（ ）A174 B176 C178 D180【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出BAC 的度数，由 I点为ABC 的内心，可得出CAI、ACI、DCI 的度数，利用三角形内角和定理可得出AIC、CID 的度数，再由AID=AIC+CI
18、D 即可求出AID 的度数【解答】解：连接 CI，如图所示在ABC 中，B=44，ACB=56，BAC=180BACB=80I 点为ABC 的内心，CAI= BAC=40，ACI=DCI= ACB=28，10AIC=180CAIACI=112，又 IDBC，CID=90DCI=62，AID=AIC+CID=112+62=174故选：A【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出AIC、CID 的度数是解题的关键16.（2018湖北黄冈3 分）如图，在ABC 中，DE 是 AC的垂直平分线，且分别交 BC，AC于点 D和 E，B
19、60，C25，则BAD 为A.50 B.70 C.75 D.80（第 4题图）【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。【分析】由三角形的内角和定理，得BAC 的度数，又由垂直平分线的性质，知CDAC=25，从而得出BAD 的度数。【解答】解：由三角形的内角和定理，得BAC=180-B-C=180-60-25=95
20、。又由垂直平分线的性质，知CDAC=25，BAC=BAD+DAC=BAD+C=BAD+25=9BAD=95-25=70.故选 B.【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。熟练掌握性质和定理是解题的关键。1117 （2018湖北黄石3 分）如图，ABC 中，AD 是 BC边上的高，AE、BF 分别是BAC、ABC 的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=（ ）A75 B80 C85 D90【分析】依据 AD是 BC边上的高，ABC=60，即可得到BAD=30，依据BAC=50，AE平分BAC，即可得到DAE=5，再根据ABC 中，C=180ABCBAC
21、=70，可得EAD+ACD=75【解答】解：AD 是 BC边上的高，ABC=60，BAD=30，BAC=50，AE 平分BAC，BAE=25，DAE=3025=5，ABC 中，C=180ABCBAC=70，EAD+ACD=5+70=75，故选：A【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 180解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用18 （2018浙江宁波4 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC与 BD相交于点 O，E 是边 CD的中点，连结 OE若ABC=60，BAC=80，则1 的度数为（ ）12A50 B40 C30 D20三角形内角和定理、三角形中
22、位线定理【分析】直接利用三角形内角和定理得出BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案【解答】解：ABC=60，BAC=80，BCA=1806080=40，对角线 AC与 BD相交于点 O，E 是边 CD的中点，EO 是DBC 的中位线，EOBC，1=ACB=40故选：B【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出 EO是DBC的中位线是解题关键19. （2018河北3 分）下列图形具有稳定性的是（ ）A B C D20. （2018
23、河北2 分）如图 9，点 I为 ABC的内心， 4， 3AC， 2B，将 ACB平移使其顶点与 I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）A.4.5 B.4 C.3 D.21321（2018 年四川省南充市）如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，D，E，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，若 BC=2，则 EF的长度为（ ）A B1 C D【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含 30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线【分析】根据直角三角形的性质得到 CD=BD=AD，得到CBD 为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可【解答】解：ACB=90，
24、D 为 AB的中点，CD=BD=AD，ACB=90，A=30，B=60，CBD 为等边三角形，CD=BC=2，E，F 分别为 AC，AD 的中点，EF= CD=1，故选：B【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键1422. (2018四川省眉山市 2分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30角的三角板的一条直角边和含 45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是（ ） 。A.45B.60C.75D.85【答案】C 【考点】三角形内角和定理，三
25、角形的外角性质 【解析】 【解答】解：如图，A=45,D=30,ACB=90,ABC=DBE=45,=D+DBE=30+45=75,故答案为:C.【分析】根据三角形内角和得ABC=45，由对顶角相等得DBE=45，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.二.填空题1（2018 年四川省南充市）如图，在ABC 中，AF 平分BAC，AC 的垂直平分线交 BC于点E，B=70，FAE=19，则C= 24 度15【考点】KG：线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC，得到EAC=C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可
26、【解答】解：DE 是 AC的垂直平分线，EA=EC，EAC=C，FAC=EAC+19，AF 平分BAC，FAB=EAC+19，B+BAC+C=180，70+2（C+19）+C=180，解得，C=24，故答案为：24【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键2 （2018 年江苏省泰州市3 分）已知三角形两边的长分别为 1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解【解答】解：根据三角形的三边关
27、系，得第三边4，而6又第三条边长为整数，则第三边是 5【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件3. （2018甘肃白银，定西，武威3 分） 已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足， 为奇数，则 _【答案】716【解析】【分析】根据非负数的性质直接求出 ， ，根据三角形的三边关系可直接求出边长【解答】 ， 满足 ，根据三角形的三边关系，得即： 为奇数，则 7.故答案为：7.【点评】考查非负数的性质以及三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边.4. （2018山东滨州5 分）在ABC 中，若A=30，B=50，则C= 100 【分析】直接利用三角形内角和定理
28、进而得出答案【解答】解：在ABC 中，A=30，B=50，C=1803050=100故答案为：100【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键5. （2018山西 3分）如 图 ， 直 线 MN PQ， 直 线 AB 分 别 与 MN， PQ 相 交 于 点 A， B.小 宇 同 学 利 用 尺 规 按 以 下 步 骤 作 图 ： 以 点 A 为 圆 心 ， 以 任 意 长 为 半 径作 弧 交 AN 于 点 C， 交 AB 于 点 D； 分 别 以 C， D 为 圆 心 ，以 大 于 12 CD 长为半径作弧 ， 两弧在 NAB 内交于点 E； 作射线 AE 交 PQ 于
29、 点 F.若 AB=2， ABP=600 ，则 线 段 AF 的 长 为_ _.【 答 案 】 2 3【 考 点 】角平分线尺规作图，平行线性质，等腰三角形三线合一【 解 析 】过 点 B 作 BG AF 交 AF 于 点 G17由 尺 规 作 图 可 知 ，A F 平 分 NAB NAF= BAF MN PQ NAF= BFA BAF= BFA BA=BF=2 BG AF AG=FG ABP=600 BAF= BFA=300Rt BFG 中 ， FG BF c o sBFA 23 AF 2FG 2 36 （2018山东枣庄4 分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中
30、，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为 S= 现已知ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为 1 【分析】根据题目中的面积公式可以求得ABC 的三边长分别为 1，2， 的面积，从而可以解答本题18【解答】解：S= ，ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为：S= =1，故答案为：1【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答4.三.解答题(要求同上一)1 （2018山东淄博5 分）已知：如图，ABC 是任意一个三角形，求证：A+B+C=180【考点】K7：三角形内
31、角和定理【分析】过点 A作 EFBC，利用 EFBC，可得1=B，2=C，而1+2+BAC=180，利用等量代换可证BAC+B+C=180【解答】证明：过点 A作 EFBC，EFBC，1=B，2=C，1+2+BAC=180，BAC+B+C=180，即A+B+C=18019【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键2. （2018 年湖北省宜昌市 7分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=40，ABC的外角CBD 的平分线 BE交 AC的延长线于点 E（1）求CBE 的度数；（2）过点 D作 DFBE，交 AC的延长线于
32、点 F，求F 的度数【分析】 （1）先根据直角三角形两锐角互余求出ABC=90A=50，由邻补角定义得出CBD=130再根据角平分线定义即可求出CBE= CBD=65；（2）先根据三角形外角的性质得出CEB=9065=25，再根据平行线的性质即可求出F=CEB=25【解答】解：（1）在 RtABC 中，ACB=90，A=40，ABC=90A=50，CBD=130BE 是CBD 的平分线，CBE= CBD=65；（2）ACB=90，CBE=65，CEB=9065=25DFBE，F=CEB=25【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义掌握各定义与性质是解题的关键