1、2018-2019 学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1 （2 分）下列图形中，1 与2 不是互补关系的是（ ）A BC D2 （2 分）已知 1 纳米10 9 米，某种植物花粉的直径为 35000 纳米，那么这种花粉的直径为（ ）A3.510 5 米 B3.510 4 米 C3.510 9 米 D3.510 6 米3 （2 分）根据如图可以验证的乘法公式为（ ）A （a+b） （a b）a 2b 2 B （a+b） 2a 2+2ab+b2C （ab） 2a 2
2、2ab+ b2 Dab（a+b）a 2b+ab24 （2 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D第 2 页（共 24 页）5 （2 分）下列各式计算正确的是（ ）A2a 2+a23a 4 Ba 3a2a 6Ca 6a2a 3 D （ab 2） 3a 3b66 （2 分）铭铭要用 20 元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20 元钱全部用尽，若每支笔 3 元，每个本 2 元，则共有几种购买方案（ ）A2 B3 C4 D57 （2 分）若 x26x +y2+4y+130，则 yx 的值为（ ）A8 B8 C9 D8 （2 分）在某
3、次数学测试中，满分为 100 分，各测试内容及所占分值的分布情况如下扇形统计图，则以下结论正确的是（ ）一元一次不等式（组）部分与二元一次方程组部分所占分值一样因式分解部分在试卷上占 10 分整式的运算部分在整张试卷中所占比例为 25%观察、猜想与证明部分的圆心角度数为 72A B C D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9 （2 分）如图，是近几天的天气情况，设今天的气温为 x，用不等式表示今天的气温为 第 3 页（共 24 页）10 （2 分）因式分解：3b 212 11 （2 分） （x2） （x
4、 +1） 12 （2 分）用一个值 a 说明命题“若 axa，则 x1”是错误的，则 a 的值可以是 13 （2 分）已知 x，y 满足 ，则 xy 的值为 14 （2 分）如图，一把直尺和一个三角板如图所示摆放，若160，则2 15 （2 分）我国古代的数学著作孙子算经中有这样一道题“鸡兔同笼”：今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 只脚，问鸡兔各有几何？译文：鸡和兔子圈在一个笼子中，共有头 35 个，脚 94 只，问鸡、兔各有多少只？今天我们可以利用二元一次方程组的有关知识解
5、决这个问题设笼子里有鸡 x 只，兔 y 只，则可列二元一次方程组 16 （2 分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” （如图）就是一例这个三角形给出了（a+b） n（n1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应（a+b） 2a 2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着（a+b） 3a 3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项的系数，等等有如下四个结论：（a+b） 5a 5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；当 a 2， b1 时，代
6、数式 a3+3a2b+3ab2+b3 的值是1；当代数式 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 的值是 0 时，一定是 a1，b1；第 4 页（共 24 页）（a+b） n 的展开式中的各项系数之和为 2n上述结论中，正确的有 （写出序号即可） 三、解答题（本题共 68 分，第 1724 题每小题 5 分，第 2528 题每小题 5 分）17 （5 分）如图，两块形状、大小完全相同的三角板按照如图所示的样子放置，找一找图中是否有互相平行的线段，完成下面证明：证明： ，
7、; （ ） （填推理的依据）18 （5 分）因式分解：a 3b2a 2b2+ab319 （5 分）计算：（1） 2019+（3.14） 0+（ ） 2 |3|20 （5 分）解不等式： ，并在数轴上表示出它的解集21 （5 分）解二元一次方程组22 （5 分）先化简，再求值：x 22x10，求代数式（x1） 2+（x3） （x +3）2（x 5）的值第 5 页（共 24 页）23 （5 分）解不等式组：24 （5 分）已知：如图，ABCD，B+D 180，求证：BEFD 25 （7 分）某校七年级共有男生 63 名
8、，为了参加全校运动会，七年级准备从本年级所有男生中挑选出身高相差不多的 40 名男生组成仪仗队，为此，收集到所有男生的身高数据（单位：cm ） ，经过整理获得如下信息：a小明把所有男生的身高数据按由低到高整理为如下，但因为不小心有部分数据被墨迹遮挡：b小刚绘制了七年级所有男生身高的频数分布表身高分组 划记 频数149 x152 丅 2152 x155 正一 6155 x158 正正丅 12158 x161 正正正 19161 x164 正正 10164 x167 167 x170 &n
9、bsp; 170 x173 丅 2c该校七年级男生身高的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数第 6 页（共 24 页）160 m n根据以上信息，回答下列问题：（1）补全 b 表中频数分布表；（2）直接写出 c 表中 m，n 的值；（3）借助于已给信息，确定挑选出参加仪仗队的男生的身高范围；（4）若本区七年级共有男生 1260 名，利用以上数据估计，全区七年级男生身高达到160 及以上的男生约有多少人？26 （7 分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数” ，如 83 21 2，165 23 2，247 2
10、5 2，因此，8，16，24 这三个数都是“和谐数” （1）在 32，75，80 这三个数中，是和谐数的是 ；（2）若 200 为和谐数，即 200 可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为 ；（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为 8 的倍数，设两个连续奇数为2n1 和 2n+1（其中 n 取正整数） ，请你通过运算验证“和谐数是 8 的倍数”这个结论是否正确27 （7 分）某学校为了改善办学条件，计划采购 A，B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A型空调和 2 台 B 型空调共需 3.9 万元；采购 4 台 A
11、型空调比采购 5 台 B 空调的费用多0.6 万元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少万元；（2）若学校计划采购 A，B 两种型号空调共 30 台，且采购总费用不少于 20 万元不足21 万元，请求出共有那些采购方案28 （3 分）阅读以下材料：小维遇到了下面的问题：如图 1，三角形 ABC 中，点 D 是 BC 延长线上一点，求证：ACDA+B小维通过观察发现，可以利用构造平行线的方法解决以下问题，请你补全下面的证明过程：第 7 页（共 24 页）证明：过点 C 作 CEAB （如图 2）1 2 ACD1+2 &
12、nbsp; 29 （4 分）试构造平行线解决以下问题：已知：如图，三角形 ABC 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，E 是 BC 延长线上一点，EACB求证：ADEDAE 第 8 页（共 24 页）2018-2019 学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1 （2 分）下列图形中，1 与2 不是互补关系的是（ ）A BC D【分析】根据互补的两个角的和为 180判定即可【解答】解：A1 与2 是互补关系，故本选项不合题意；B由平行线的性质可知1 与2 是互补
13、关系，故本选项不合题意；C由对顶角的定义可知1 与2 是对顶角，不一定具有互补关系，故本选项符合题意；D1+2 180，即1 与2 是互补关系，故本选项不合题意故选：C【点评】本题主要考查了补角的定义，熟记定义是解答本题的关键2 （2 分）已知 1 纳米10 9 米，某种植物花粉的直径为 35000 纳米，那么这种花粉的直径为（ ）A3.510 5 米 B3.510 4 米 C3.510 9 米 D3.510 6 米【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的
14、位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数第 9 页（共 24 页）【解答】解：1 纳米10 9 米，直径为 35000 纳米3500010 9 m3.510 5 米，故选：A【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3 （2 分）根据如图可以验证的乘法公式为（ ）A （a+b） （a b）a 2b 2 B （a+b） 2a 2+2ab+b2C （ab） 2a 22ab+ b2 Dab（a+b）a 2b+ab2【分析】直接利用已知边长表
15、示出各部分面积即可【解答】解：由题意可得：将边长为（a+b）的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是：（a+b）2a 2+2ab+b2故选：B【点评】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键4 （2 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可【解答】解：由得， x ，第 10 页（共 24 页）由得， x2，故此不等式组的解集为：2x ，在数轴上表示为：故选：C【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干
16、段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示5 （2 分）下列各式计算正确的是（ ）A2a 2+a23a 4 Ba 3a2a 6Ca 6a2a 3 D （ab 2） 3a 3b6【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则及积的乘方与幂的乘方逐一计算可得【解答】解：A、2a 2+a23a 2，错误；B、a 3a2a 5，错误；C、a 6a2a 4，错误；D、 （ab 2） 3a 3b6，正确；故选：D【点评】本题主要考查幂的运算，
17、解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则及积的乘方与幂的乘方6 （2 分）铭铭要用 20 元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20 元钱全部用尽，若每支笔 3 元，每个本 2 元，则共有几种购买方案（ ）A2 B3 C4 D5【分析】设购买 x 支笔，y 个本，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，结合 x，y 均为正整数即可求出结论【解答】解：设购买 x 支笔，y 个本，第 11 页（共 24 页）依题意，得：3x+2y 20，y10 xx，y 均为正整数， ， ， ，共有 3 种购买方案故选：B【点评】本题考查了二元一次方程的应用
18、，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键7 （2 分）若 x26x +y2+4y+130，则 yx 的值为（ ）A8 B8 C9 D【分析】原式因式分解得（x3） 2+（y+2） 20，再由非负数的性质得出 x，y 的值，代入计算可得【解答】解：x 26x +y2+4y+130，（x3） 2+（y +2） 20，则（x3） 20， （y +2） 20，解得：x3，y2，则 yx（2） 38故选：B【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质配方法的理论依据是公式a22ab+b2（ab） 28 （2 分）在某次数学测试中，满分为 100 分，各测试内容及所占分值的分布情况如下扇形
19、统计图，则以下结论正确的是（ ）第 12 页（共 24 页）一元一次不等式（组）部分与二元一次方程组部分所占分值一样因式分解部分在试卷上占 10 分整式的运算部分在整张试卷中所占比例为 25%观察、猜想与证明部分的圆心角度数为 72A B C D【分析】根据扇形统计图中的数据即可一一判断【解答】解：观察扇形统计图可知：一元一次不等式（组）部分与二元一次方程组部分所占分值一样，正确因式分解部分在试卷上占 10 分，正确整式的运算部分在整张试卷中所占比例为 25%，正确观察、猜想与证明部分的圆心角度数为 72，正确，故选：D【点评】本题考查扇形统计图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考
20、常考题型二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9 （2 分）如图，是近几天的天气情况，设今天的气温为 x，用不等式表示今天的气温为 22x 33 【分析】直接利用提供的图片得出今天的天气温度范围【解答】解：由图可得：今天的气温为 22x33故答案为：22x33【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确识图是解题关键10 （2 分）因式分解：3b 212 3（b+2） （b2） 【分析】首先提取公因式 3，进而利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：3b 2123（b 24）3（b+2） （b2） 第 13 页（共 24 页）故答案为：3（b+2） （b2） 【点评】此
21、题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键11 （2 分） （x2） （x +1） x 2x2 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果【解答】解：（x2） （x +1）x 2+x2x2x 2x2故答案为：x 2x 2【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键12 （2 分）用一个值 a 说明命题“若 axa，则 x1”是错误的，则 a 的值可以是 2（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质举出反例即可【解答】解：当 a 是负数时，命题“若 axa，则 x1”是错误的，如：a2，故答案为：2（答案不唯一） 【点评】本题考查了命题与
22、定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大13 （2 分）已知 x，y 满足 ，则 xy 的值为 1 【分析】方程组两方程相加即可求出所求【解答】解： ，+得：3x 3y3，则 xy1，故答案为：1【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两个方程都成立的未知数的值14 （2 分）如图，一把直尺和一个三角板如图所示摆放，若160，则2 30 【分析】根据BAE90，160，即可得到BAC906030，再根据第 14 页（共 24 页）ACBD，即可得到2BAC30【解答】解：如图所示，BAE90，160，BAC906030，又ACBD，2BAC30，故答案为：30【
23、点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等15 （2 分）我国古代的数学著作孙子算经中有这样一道题“鸡兔同笼”：今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 只脚，问鸡兔各有几何？译文：鸡和兔子圈在一个笼子中，共有头 35 个，脚 94 只，问鸡、兔各有多少只？今天我们可以利用二元一次方程组的有关知识解决这个问题设笼子里有鸡 x 只，兔 y 只，则可列二元一次方程组 【分析】设有鸡 x 只，兔 y 只，根据鸡和兔共 35 只且鸡和兔共有 94 只脚，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设有鸡 x 只，兔 y 只，依题意，得： 故答案为： 【点评】本
24、题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键16 （2 分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” （如图）就是一例这个三角形给出了（a+b） n（n1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应（a+b） 2a 2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着（a+b） 3a 3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项的系数，等等第 15 页（共 24 页）有如下四个结论：（a+b） 5a 5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4
25、+b5；当 a 2， b1 时，代数式 a3+3a2b+3ab2+b3 的值是1；当代数式 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 的值是 0 时，一定是 a1，b1；（a+b） n 的展开式中的各项系数之和为 2n上述结论中，正确的有 （写出序号即可） 【分析】根据杨辉三角的规律可得（a+b） n 的展开式的系数规律可使问题求解【解答】解：（a+b） 5a 5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；当 a 2， b1 时，代数式 a3+3a2b+3ab2+b3（a+b ） 3（2+1） 31；当代数式 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b） 40 时，a +
26、b0，不一定是a1，b1；（a+b） n 的展开式中的各项系数之和为 2n，不是 2n故答案是： 【点评】本题要先分析杨辉三角的展开式的系数规律，然后用规律解决问题三、解答题（本题共 68 分，第 1724 题每小题 5 分，第 2528 题每小题 5 分）17 （5 分）如图，两块形状、大小完全相同的三角板按照如图所示的样子放置，找一找图中是否有互相平行的线段，完成下面证明：证明： A F ， AB EF （ 内错角相等，两直线平行 ） （填推理的依据）第 16 页（共 24 页）【分析】直接利用平行线的判定方法分析得出答案【解答】证明：AF，
27、ABEF（ 内错角相等，两直线平行） 故答案为：A；F；AB ；EF；内错角相等，两直线平行【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键18 （5 分）因式分解：a 3b2a 2b2+ab3【分析】首先提取公因式 ab，进而利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：a 3b2a 2b2+ab3ab（a 22ab+b 2）ab（ab） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键19 （5 分）计算：（1） 2019+（3.14） 0+（ ） 2 |3|【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】
28、解：（1） 2019+（3.14） 0+（ ） 2 |3|1+1+4 31【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用20 （5 分）解不等式： ，并在数轴上表示出它的解集【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数第 17 页（共 24 页）化为 1 可得【解答】解：将不等式的解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严
29、格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变21 （5 分）解二元一次方程组【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可【解答】解：2 ，可得： 7x7，解得 x1，把 x1 代入 ，可得：5+y3，解得 y2，原方程组的解是 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用22 （5 分）先化简，再求值：x 22x10，求代数式（x1） 2+（x3） （x +3）2（x 5）的值【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值【解答】解：（x1
30、） 2+（x3） （x +3）2（x 5）第 18 页（共 24 页）x 22x+1+ x292x+102x 24x+2，x 22x10，x 22x1，原式2（x 22x ）+24【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键23 （5 分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 2（x+1）3x1 得，x 3，解不等式 1 得，x1，不等式组的解集为1x3【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
31、中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键24 （5 分）已知：如图，ABCD，B+D 180，求证：BEFD 【分析】根据平行线的性质得出BBMD，求出BMD+D180，根据平行线的判定得出即可【解答】证明：ABCD，BBMD，B+D180，BMD+D180，BEFD 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关第 19 页（共 24 页）键25 （7 分）某校七年级共有男生 63 名，为了参加全校运动会，七年级准备从本年级所有男生中挑选出身高相差不多的 40 名男生组成仪仗队，为此，收集到所有男生的身高数据（单位：cm ） ，经过整理获得如下信息：a小明把
32、所有男生的身高数据按由低到高整理为如下，但因为不小心有部分数据被墨迹遮挡：b小刚绘制了七年级所有男生身高的频数分布表身高分组 划记 频数149 x152 丅 2152 x155 正一 6155 x158 正正丅 12158 x161 正正正 19161 x164 正正 10164 x167 正正 10 167 x170 正 8 170 x173 丅 2c该校七年级男生身高的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数160 m n根据以上信息，回答下列问题：（1）补全 b 表中频数分布表；（2）直接写出 c 表中 m，n 的值；
33、（3）借助于已给信息，确定挑选出参加仪仗队的男生的身高范围；（4）若本区七年级共有男生 1260 名，利用以上数据估计，全区七年级男生身高达到第 20 页（共 24 页）160 及以上的男生约有多少人？【分析】 （1）根据列举的数据可以确定身高在 164x167 有 10 人，167x170 有 8人，可划正字，统计频数，填写表格，（2）根据中位数、众数的意义，结合列出的数据确定，（3）结合身高的极差要小，人数要达到 40 人，综合得出结论，（4）用样本估计总体，1260 乘以身高达到 160 及以上的比率；【解答】解：（1）补全 b 表中频数分布表如图所示：（2）共有 63 个数据，从小到大
34、排列后，第 32 个数是中位数，通过列举出的数据，第32 个数是 159，因此中位数是 159，故 m159，数据中 158 出现的次数最多是 8 次，所以众数为 158，故 n158；因此，m159，n158（3）由于身高要求整齐，即极差要小，人数要达到 40 人，从表格中可以看出155x164 之间的有 41 人，因此参加仪仗队的男生的身高范围 155x164；（4）区七年级男生身高达到 160 及以上的男生约有 1260 560 人【点评】考查统计图表的制作方法和统计图表的特点，以及用由样本估计总体的统计思想方法，正确理解和掌握平均数、众数、中位数的意义也是解决问题的重要方面26 （7
35、分）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数” ，如 83 21 2，165 23 2，247 25 2，因此，8，16，24 这三个数都是“和谐数” （1）在 32，75，80 这三个数中，是和谐数的是 32，80 ；（2）若 200 为和谐数，即 200 可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的第 21 页（共 24 页）和为 100 ；（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为 8 的倍数，设两个连续奇数为2n1 和 2n+1（其中 n 取正整数） ，请你通过运算验证“和谐数是 8 的倍数”这个结论是否正确【分析】 （1）根据题意，可以判断
36、32，75，80 这三个数中，哪些数是和谐数；（2）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）根据题意，可以证明结论成立，本题得以解决【解答】解：（1）329 27 2，7521 219 2，8021 219 2，故和谐数是 32，80，故答案为：32，80；（2）设这两个连续的奇数分别为 x，x+2，（x+2） 2x 2 200，解得，x49，x+251，49+51100，这两个连续奇数的和为 100，故答案为：100；（3）证明：（2n+1） 2（2n1） 24n 2+4n+1（4n 24n+1）4n 2+4n+14n 2+4n1）8
37、n，“和谐数是 8 的倍数”这个结论是正确的【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的知识解答27 （7 分）某学校为了改善办学条件，计划采购 A，B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A型空调和 2 台 B 型空调共需 3.9 万元；采购 4 台 A 型空调比采购 5 台 B 空调的费用多0.6 万元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少万元；（2）若学校计划采购 A，B 两种型号空调共 30 台，且采购总费用不少于 20 万元不足第 22 页（共 24 页）21 万元，请求出共有那些采购方案【分析】 （1）设 A 型空调每台 x 万元，B 型空调每台
38、y 万元，根据“采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调共需 3.9 万元；采购 4 台 A 型空调比采购 5 台 B 空调的费用多 0.6 万元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购 A 型空调 m 台，则采购 B 型空调（30m ）台，根据总价单价 数量结合采购总费用不少于 20 万元且不足 21 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为整数即可得出各采购方案【解答】解：（1）设 A 型空调每台 x 万元，B 型空调每台 y 万元，依题意，得： ，解得： 答：A 型空调每台 0.9 万元，B 型空调每
39、台 0.6 万元（2）设采购 A 型空调 m 台，则采购 B 型空调（30m ）台，依题意，得： ，解得： m10m 为整数，m7，8，9，有 3 种采购方案：采购 A 型空调 7 台，B 型空调 23 台；采购 A 型空调 8 台，B型空调 22 台；采购 A 型空调 9 台，B 型空调 21 台【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组28 （3 分）阅读以下材料：小维遇到了下面的问题：如图 1，三角形 ABC 中，点 D 是 BC 延长线上一点，求证：AC
40、DA+B小维通过观察发现，可以利用构造平行线的方法解决以下问题，请你补全下面的证明过程：第 23 页（共 24 页）证明：过点 C 作 CEAB （如图 2）1 A 2 B ACD1+2 A+B 【分析】根据平行线的性质得出1A，2B，即可得出答案【解答】证明：过点 C 作 CEAB，CEAB，1A，2B，ACD1+2A+ B，故答案为：A，B，A +B【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键29 （4 分）试构造平行线解决以下问题：已知：如图，三角形 ABC 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，E 是 BC 延长线上一点，EACB求证：ADEDAE 【分析】过点 D 作 DMAB，即可得到12，3B，进而得出ADE1+32+B，再根据角平分线的定义，即可得到ADEDAE【解答】证明：过点 D 作 DMAB，12，3B，ADE1+32+B，AD 平分BAC，第 24 页（共 24 页）24，EACB，2+B 4+ EAC ，ADEDAE【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作 DMAB，依据平行线的性质解决问题本题也可以直接利用三角形外角性质得出结论