1、第六章 反比例函数,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点一 反比例函数,拓展 反比例关系与反比例函数的区别和联系 在小学时,我们学过反比例关系.如果xy=k(k是常数,k0),那么x与y这两 个量成反比例关系,这里x、y既可以代表单独的一个字母,也可以代表 多项式或单项式,若y+3与x-1成反比例,则y+3= (k为常数,k0);若y与 x2成反比例,则y= (k为常数,k0).反比例关系不一定是反比例函数,但 反比例函数y= (k为常数,k0)中的两个变量必成反比例关系.,例1 在下列函数表达式中,x为自变量,哪些是反比例函数?若是反比例 函数,请你指出相应的k值. y= ;y=- ;x
2、y=15;y=x2-1;y=- ;y= +3;y=x-4.,分析 由反比例函数的概念可知,只要符合y= (k为常数,k0)或xy=k或 y=kx-1(k为常数,k0)的形式,均为反比例函数.,解析 是反比例函数,k值分别为- ,15,- . 点拨 判断一个函数是不是反比例函数,要从反比例函数的概念出发, 不能被表面现象迷惑.本题中不能化成y= (k为常数,k0)的形式,它 只能转化成y= ,此时分子不是常数,所以不是反比例函数.,知识点二 反比例函数表达式的确定由于反比例函数y= (k0)只有一个待定系数,因此只需要一组对 应值即可求出k的值,从而确定其表达式. 用待定系数法求反比例函数表达式
3、的步骤: (1)设:设反比例函数的表达式为y= (k0); (2)代:把已知条件代入表达式,得到一个关于k的方程; (3)解:解这个方程,求出待定系数k; (4)写:将待定系数k的值代入y= 中,得到反比例函数的表达式. 根据实际问题列反比例函数表达式,就是通过反比例函数的概念,从实 际问题中抽象出函数关系,从而将文字语言转化为数学语言.,知识拓展 根据实际问题列反比例函数表达式的关键: (1)首先分析清楚各变量之间应满足的关系式,然后建立反比例函数模 型,最后解决实际问题. (2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.,例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已
4、知电 压不变,电阻R=12.5欧姆时,电流强度I=0.2安培. (1)求I与R的函数表达式; (2)当R=5欧姆时,求电流强度.,分析 因为I与R成反比例,所以可设I= (U0),解析式中只有U一个待定 系数,所以只要将R=12.5,I=0.2这一组数据代入I= (U0)即可.,解析 (1)I与R成反比例,设I= (U0). 把R=12.5,I=0.2代入上式,得U=2.5, I= (R0). (2)把R=5代入I= ,得I= =0.5,即当R=5欧姆时,电流强度为0.5安培. 点拨 此题中的变量是R与I,不要被固定思维限制,而误设为y= (k0).,题型 反比例函数与一次函数的综合应用,例
5、已知y=y1-y2,y1与x成反比例,y2与(x-2)成正比例,并且当x=3时,y=5, 当x=1时,y=-1. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x= 时,求y的值.,解析 (1)设y1= (a0),y2=b(x-2)(b0), y=y1-y2, y= -b(x-2), 把x=3,y=5和x=1,y=-1代入,得 解得a=3,b=-4, y与x之间的函数关系式是y= +4x-8. (2)把x= 代入y= +4x-8中,得y=6+2-8=0. 归纳总结 本题是由一次函数和反比例函数组成的综合型函数题,应从 各自的特点出发,先分别表示出一次函数与反比例函数,再表示出组合 型函数,最后运用
6、方程组求系数.,知识点一 反比例函数,1.(2019甘肃永登期末)下列函数中,是反比例函数的为 ( ) A.y=- B.y= C.y=- D.y= +1,答案 C A.该函数是一次函数,故本选项错误; B.该函数不是反比例函数,故本选项错误; C.该函数符合反比例函数的定义,故本选项正确; D.该函数不是反比例函数,故本选项错误.故选C.,2.下列关系中的两个量成反比例的是 ( ) A.面积一定时,矩形的周长与一边长 B.压力一定时,压强与受力面积 C.读一本书,已读的页数与余下的页数 D.某人的年龄与体重,答案 B 选项B中两个量的函数关系式为p= ,所以压力一定时,压强 与受力面积成反比例
7、,故选B.,3.在下列关系式中,x均为自变量,哪些是反比例函数?每一个反比例函数 相应的k值是多少? (1)y= ;(2)y=0.4x-1;(3)y= ;(4)xy=2; (5)y=6x+3;(6)xy=-7;(7)y= ;(8)y= x.,解析 (1)(2)(4)(6)是反比例函数,相应的k值分别是5,0.4,2,-7.,知识点二 反比例函数表达式的确定,4.已知一个函数的关系式满足下表(x为自变量):,则这个函数的关系式为 ( )A.y= B.y=- C.y=- D.y=,答案 A 由题中表格可知x与y的乘积等于6,所以这个函数的关系式 为y= .,5.已知y是x的反比例函数,且当x=-
8、时,y=- ,则函数关系式是 ( ) A.y= B.y= - C.y= D.y= -,答案 A y是x的反比例函数,设y= (k0), 当x=- 时,y=- ,k= , 函数关系式为y= .故选A.,6.有一个容积为60 m3的水池,要在10 h内注满水,则注水时间t(单位:h)与 每小时注水量h(单位:m3)的函数关系式为 ,自变量的取值范围 是 .,答案 t= ;h6,解析 依题意可得t= . 要在10 h内注满水, 10,解得h6.,7.用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的对应关系: (1)小明完成100 m赛跑时,所用时间t(s)随他跑步的平均速度v(m/s)的变 化而变化;
9、(2)一个密闭容器内有0.5 kg气体,气体的密度随容器体积V的变化而变化; (3)压力为600 N时,压强p随受力面积S的变化而变化; (4)三角形的面积为20,一边上的高h随这一边的长a的变化而变化.,解析 (1)vt=100,t= (v0). (2)V=0.5,= (V0). (3)pS=600,p= (S0). (4) ah=20,h= (a0).,1.下列函数中,不是反比例函数的为 ( ) A.y= B.y=- (m0) C.y= D.y=,答案 C A、B、D中的函数符合反比例函数的定义.C中,y与x-1成正 比例,所以选C.,2.函数y=(m2-m) 是反比例函数,则 ( ) A
10、.m0 B.m0且m1 C.m=2 D.m=1或2,答案 C 由题意知m2-3m+1=-1, 整理得m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2. 当m=1时,m2-m=0,不合题意,舍去. 当m=2时,m2-m=2,m的值为2.故选C.,3.计划修建铁路l km,铺轨天数为t(d),每日铺轨量为s(km/d),则在下列三 个结论中,正确的是 ( ) 当l一定时,t是s的反比例函数;当t一定时,l是s的反比例函数;当s 一定时,l是t的反比例函数. A.仅 B.仅 C.仅 D.,答案 A l=ts,t= 或s= ,反比例函数解析式的一般形式为y= (k0,k为常数),当l一定时,t是s的反比例函
11、数,只有正确,故选A.,4.如果函数y=m 是一个反比例函数,求m的值和这个反比例函数的解 析式.,解析 函数y=m 是反比例函数, m2-5=-1,解得m=2. 经检验,m=2均符合题意, 故所求解析式为y= 或y=- .,5.一块直角三角形菜地的面积是24 m2,写出两条直角边长x(m)和y(m)之 间的关系式.y是x的反比例函数吗?求当x=6时另一条直角边长及斜边长.,解析 24= xy,xy=48,即y= (x0), y是x的反比例函数. 当x=6时,y= =8. 因此斜边长= =10(m). 答:两条直角边长x与y之间的关系式是y= (x0),y是x的反比例函数, 当x=6时,另一条
12、直角边长为8 m,斜边长为10 m.,1.已知函数y=(m2+2m) . (1)若y是x的正比例函数,求m的值; (2)若y是x的反比例函数,求m的值.,解析 (1)依题意得m2+m-1=1,且m2+2m0, 解得m=1. (2)依题意得m2+m-1=-1,且m2+2m0, 解得m=-1.,2.已知y=y1+y2,y1与x成正比例关系,y2与x成反比例关系,且当x=2时,y=-4; 当x=-1时,y=5.求y与x之间的函数关系式.,解析 y1与x成正比例关系, 设y1=k1x(k10). y2与x成反比例关系, 设y2= (k20), y=k1x+ . 把x=2,y=-4及x=-1,y=5代入
13、y=k1x+ 中, 得 解得 y=-x- .,3.水产公司有一种海产品共2 104千克,为寻求合适的销售价格,公司进 行了8天试销,试销情况如下:,解析 (1)所求的函数表达式为y= (x0). 补全表格如下:,(2)2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600(千克), 即试销8天后,余下的海产品还有1 600千克. 当x=150时,y= =80. 1 60080=20(天). 答:余下的这些海产品预计要用20天可以全部售出.,4.已知y是x的函数,且对应数据如下表所示,你认为y是x的正比例函数还 是反比例函数?你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗?,解
14、析 若y是x的正比例函数,则设y=kx(k0). 把x=-2,y= 代入y=kx,得 =-2k,解得k=- , y=- x. 对于y=- x,当x=4时,y=-3- , y不是x的正比例函数. 若y是x的反比例函数,则设y= (k0).,1.函数y=2x,y=x,y=x-1,y= 中,反比例函数有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,答案 B y=2x是正比例函数;y=x是正比例函数;y=x-1是反比例 函数;y= 不是反比例函数,所以反比例函数有1个.故选B.,2.若y=(5+m)x2+n是反比例函数,则 ( ) A.m=-5,n=-3 B.m-5,n=-3 C.m-5,n=3
15、D.m-5,n=-4,答案 B y=(5+m)x2+n是反比例函数, 解得m-5,n=-3,故选B.,3.已知函数y=(m2+2m-3)x|m|-2. (1)若它是正比例函数,则m= ; (2)若它是反比例函数,则m= .,答案 (1)3 (2)-1,解析 (1)若y=(m2+2m-3)x|m|-2是正比例函数,则m2+2m-30且|m|-2=1,解得m=3. (2)若y=(m2+2m-3)x|m|-2是反比例函数,则m2+2m-30且|m|-2=-1,解得m=-1.,4.已知函数y=2y1-y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=4,当x=2 时,y=3,求y与x的函数
16、关系式.,解析 由题意得y1=k1(x+1)(k10),y2= (k20). y=2y1-y2,y=2k1(x+1)- . 解得 y= (x+1)- ,即y= x+ + .,一、选择题 1.(2019重庆巴蜀中学月考,1,)下列函数中,y是x的反比例函数的 是 ( ) A. = -1 B.xy =- C.y=x-p D.y= - 5,答案 B A.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误; B.该函数符合反比例函数的定义,故本选项正确; C.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误; D.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误.,二、填空题 2.(2019甘肃白银靖远期末,18,)已知
17、函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2 与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,则y与x之间的函数关系式为 ,当x=4时,y= .,答案 y=2x+ ;,解析 y1与x成正比例,则设y1=mx(m0).y2与x成反比例,则设y2= (n0), 因而y与x之间的函数关系式是y=mx+ .将x=1,y=4和x=2,y=5代入,得解得 所以y与x之间的函数关系式为y=2x+ . 当x=4时,y= .,1.(2018湖南常德二模,1,)下列函数中,y是x的反比例函数的是 ( ) A.x(y-1)=1 B.y= C.y=- x-1 D.y=,答案 C 如果两个变量x、y之间的关系可以
18、表示成y= (k为常数,k0)的形式,那么称y是x的反比例函数.故选C.,2.(2019广西贵港港南期中,13,)若函数y=(m-1) 是反比例函数, 则m= .,答案 -1,解析 函数y=(m-1) 是反比例函数, -m2=-1且m-10, 解得m=-1.,一、选择题 1.(2016广东广州中考,6,)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 千米/时的平均速度用了4小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的 速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系是 ( ) A.v=320t B.v= C.v=20t D.v=,答案 B 由题意得vt=804,则v= .故选B.,2.(2015贵州黔西南州
19、中考,3,)下列函数中,是反比例函数的是 ( ) A.y= B.y= C.y=x2 D.y=2x+1,答案 B 形如y= (k 是常数,k0)的函数叫做反比例函数,故选B.,二、填空题 3.(2015山东青岛中考,11,)把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、 1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面 积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为 .,答案 S= (h0),解析 由题意得Sh=6,即S= (h0).,1.(2015海南中考改编,10,)已知反比例函数y= ,当x=-1时,y=1, 则m的值为 ( ) A.-1 B.-2 C.0 D.1,答案 B 把x=
20、-1,y=1代入函数解析式,得1= , m+1=-1,故m=-2.,2.(2017江苏无锡中考改编,15,)已知反比例函数y= ,当x=-1时,y=-2,则k的值为 .,1.已知函数y= 是反比例函数,求m的值.,解析 由题意得 即 故m=- .,2.已知一次函数y=3x-m和反比例函数y= ,当x= 时,两个函数的函数 值相等,求这两个函数的表达式.,解析 将x= 代入一次函数的表达式,得y=1-m. 将x= 代入反比例函数的表达式,得y=3(m-3). 依题意,有1-m=3(m-3),解得m= . 所以一次函数的表达式为y=3x- , 反比例函数的表达式为y=- .,3.将x= 代入反比例
21、函数y=- 中,所得函数值记为y1;再将x=y1+1代入函数,所得函数值记为y2;再将x=y2+1代入函数中,所得函数值记为y3;,如此继续下去. (1)完成下表:,(2)观察上表,你发现了什么规律?并猜想y2 018的值.,解析 (1),(2)发现y1,y2,y3,y4,的值依次为- ,3,- ,- ,即每3个数循环一次, 所以y2 018=y3672+2=y2=3.,1.将x= 代入函数y=- 中,所得函数值记为y1,再将x=y1+1代入函数y=- 中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入函数y=- 中,所得函数值记为y3,继续下去,则y1= ;y2= ;y3= ;y2 006= .,
22、答案 - ;2;- ;2,解析 y1=- , y2=- =2, y3=- =- , y4=- =- , 每3次计算为一个循环, 2 006=6683+2, y2 006与y2的值相同,y2 006=2.,2.如图,已知ABC是边长为2 的等边三角形,点E,F分别在CB和BC的 延长线上,且EAF=120.设BE=x,CF=y,试探求y与x之间的函数表达式, 并求自变量x的取值范围.,解析 EAF=120, E+F=60. 又ABC为等边三角形, E+EAB=ABC=60,EAB=F. 同理可证E=CAF. AEBFAC, = . BECF=CABA. xy=(2 )2=12. y= (x0).
23、,3.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至 0.55至0.75元之间.经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)成反比例,当x=0.65时,y=0.8. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若每度电的成本价为0.3元,则当电价调至0.6元/度时,该地本年度电 力部门的收益是多少?收益=用电量(实际电价-成本价),解析 (1)y与(x-0.4)成反比例,设y= (k0),把x=0.65,y=0.8代 入,得0.8= ,解得k=0.2. y= = (0.55x0.75). (2)根据题意可得收益= (x-0.3), 把x=0.6代入,得收益为0.6亿元. 当电价调至0.6元/度时,该地本年度电力部门的收益是 0.6亿元.,