1、专题 15 概率与统计（解答题）1 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点
2、值为代表） 【答案】 （1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05，6.00【解析】 （1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.002 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多
3、得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束（1）求 P（X =2） ；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率【答案】 （1）0.5；（2）0.1【解析】 （1）X=2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X =2）=0.50.4+（10.5）（10.4）=0.5（2）X=4 且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲
4、、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.13 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 假定甲、23乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（2）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比 乙同学在 7：30 之前到校M的天数恰好多 2”，求事件 发生的概率【答案】 （1）分布列见解析， ；（2） ()EX043【分析】本小题主要考查离散型随机
5、变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分【解析】 （1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，23故 ，从而 2(3,)XB3321()C(),0,2kkPX所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P127294987随机变量 的数学期望 X()3EX（2）设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 ，Y则 ，且 (3,)YB3,12,0MYX由题意知事件 与 互斥，3,1XY2,0Y且事件 与 ，事件 与 均相互独立，X从而由（1）知 (),)PM(3,1
6、20)XYY)(XP8247934 【2019 年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（ 0，1000 （1000 ，2000 大于 2000仅使用 A 18 人 9 人 3 人仅使用 B 10 人 14 人 1 人（1）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（2
7、）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由【答案】 （1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析【解析】 （1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25 人，A，B两种支付方式都不使用
8、的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B两种支付方式都使用的概率估计为 40.1（2）X的所有可能值为0，1，2记事件C为“从样本仅使用 A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“ 从样本仅使用B的学生中随机抽取 1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”由题设知，事件C，D相互独立，且 9314()0.,()0.625PCPD所以 ，(2)().24PXD1()()C0.4.60.46，52()()()0.24PXDPC所以X的分布列为X 0 1 2P 0.24 0.52
9、0.24故X的数学期望 ()0.241.52.4E（3）记事件E为“ 从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于 2000元” 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于 2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得 301()C46PE答案示例1：可以认为有变化理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P（E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化5 【2019 年高考全国卷理数】为
10、治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若1施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求
11、 的分布列；X（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为(0,18)ip i甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中0p8 1iiiiabpc(,27)， ， 假设 ， (1)aPX()bPX()c.50.(i)证明： 为等比数列；iip,2,7(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性44【答案】 （1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) ，解释见解析45127p【解析】X 的所有可能取值为 1,0，()(P，0)(，(1)(所以 的分布列为X101P()(1)()（2） （i）由（1）得 0.4,.5,0.abc因此 ，故
12、，110.4 iiiipp11()0.4()iiiipp即 1()iiii又因为 ，01所以 为公比为 4，首项为 的等比数列1(,2,7)iip 1p（ii）由（i）可得 87610ppp87610()()()p143由于 ，故 ，8=p1834所以 4432101( ()327)( 5()ppp表示最终认为甲药更有效的概率，4p由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 ，410.39257p此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理6 【2018 年高考全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之
13、前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且)10(p各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 )(pf)(f0p（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；XE（ii）以检
14、验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】 （1） ；（2） （i） ， （ii）应该对余下的产品作检验0.490【解析】 （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2180()C()fpp因此 218172170 0()C()()fppp令 ，得 ，()0fp.1当 时， ；当 时， ,.()0fp(.1,)()0fp所以 的最大值点为 ()fp.（2）由（1）知， .1（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，Y依题意知 ， ，即 (80,.)B:205XY4025XY所以 42549EXE（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产
15、品所需要的检验费为 400 元由于 ，故应该对余下的产 品作检验07 【2018 年高考全国卷理数】下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的y折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据t127， ， ， 30.415yt2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： t， ， ， 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测
16、值更可靠？并说明理由【答案】 （1）模型： 亿元，模型： 亿元；（2）利用模型得到的预测值更可靠，理26.156.由见解析【解析】 （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元) 30.415926.1y利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元) 97（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上30.415yt下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设
17、施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的917.5yt变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模 型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分8 【2018 年高考全
18、国卷理数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过mm的工人数填入下面的列联表：m超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？来源:学。
19、科。网附： ，2nadbcKd2Pk 0.5.10.384682【答案】 （1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）列联表见解析；（3）有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【解析】 （1）第二种生产方式的效率更高理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5
20、分钟因此第二种生产方式的效率更高（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更
21、高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（2）由茎叶图知 798102m列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15（3）由于 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差2240(15)106.3K异9 【2018 年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获
22、得好评 相互独立（1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k 类电1k影得到人们喜欢， “ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差 ，0k 1D， ， ， ， 的大小关系2D345D6【答案】 （1） ；（2）0.35；（3） = 0. 14D2536D【解析】 （1）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=20
23、00，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25= 50故所求概率为 50.2（2）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（ ）=P（ ）+P（ ）BAB=P（A） （1P（B） ）+（1P（A） ）P（B） 由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（3） = 1D4253D610 【2018 年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的
24、调查（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率【答案】 （1）分别抽取 3 人，2 人，2 人；（2） （i）分布列见解析， ， （ii） 12()7EX6【解析】 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙
25、三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2） （i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3P（X=k）= （k =0，1，2，3） 347Ck所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 35854随机变量 X 的数学期望 21()0137E（ii）设事件 B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人” ；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人” ，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B )=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+ P(X=1
26、)= 67所以，事件 A 发生的概率为 11 【2017 年高考全国卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2(,)N（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件(3,)数，求 及 的数学期望；(1)PX（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一(3,)天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员
27、在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 为抽取169.7ix161622()()0.21i iisxxix的第 个零件的尺寸， i,2用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对xs当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到(3,)0.01） 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，Z2(,)N(33)0.97 4PZ， 160.97 4
28、.59 20.8.9【答案】 （1） ， ；（2） （）见解析， （） 的估计值为 10.02，()4PX0.416EX的估计值为 .【分析】 （1）根据题设条件知一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，则零件的尺(3,)寸在 之外的概率为 0.0026，而 ，进而可以求出 的数学期(3,)160.2XBX望 （2） （i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出 的估计值和(,) 的估计值，剔除 之外的数据 9.22，算出剩下数据的平均数，即为 的估计值，剔(3,)除 之外的数据
29、9.22，剩下数据的 样本方差，即为 的估计值(3,) 【解析】 （1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974，(3,)从而零件的尺寸在 之外的概率为 0.0026，故 (3,)(16,0.2)XB因此 16()0.9740.8PX的数学期望为 16.2E（2） （i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有 0.0026，一天内抽取(3,)的 16 个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小因此(3,)一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的（
30、ii）由 ，得 的估计值为 ， 的估计值为 ，9.7,0.21xs9.70.21由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，(3,)因此需对当天的生产过程进行检查剔除 之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 ，(3,)1(69.72)10.5因此 的估计值为 10.02，剔除 之外的数据 9.22，162220.169.715.34ix(3,)剩下数据的样本方差为 ，22(10.).8因此 的估计值为 0.8.9【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后
31、根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的 原则312 【2017 年高考全国卷理数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg） 其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法
32、新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附： ，22()(nadbcK【答案】 （1） ；（2）有 的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3） 0.499%5.3kg【分析】 （1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件 A 的概率估计值；（2）写出列联表计算 的2K观测值，即可确定有 99%的把握认为 箱产量与养殖方法有关；（3）结 合频率分布直方 图估计中位数为 52.3kg【解析】 （1）记 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 ”，B50kg表示事件“新养殖法的箱产量不低于 ”，C由题意知 ，()()PACP旧养殖法的箱产量低于 的频率为 ，
33、50kg(0.12.40.2.340.)5.62故 的估计值为 0.62()B新养殖法的箱产量不低于 的频率为 ，(.681.8).故 的估计值为 0.66()PC因此，事件 A 的概率估计值为 0.2.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量 5kg箱产量 50kg旧养殖法 62 38新养殖法 34来源:学科网 66的观测值 ，2K220(6348)15.7019k由于 ，故有 的把握认为箱产量与养殖方法有关15.7.3%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 的直方图面积为5kg，(0.4.20.4)5.30.箱产量低于 的直方图面积为 ，5kg(42.04
34、.68)05故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 .53.5(kg【名师点睛】 （1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大k（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；中位数左边和右边的 小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和13 【2017 年高考全国卷理数】某超市计划按月订
35、购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）
36、求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） 当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【答案】 （1）分布列见解析；（2）n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元【分析】 （1） 所有的可能取值为 200，300，500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；X（2）由题中所给条件分类讨论可得 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，为 520 元【解析】 （1）由题意知， 所有可能取值为 200，300，500，由表格数据知， ， 26(0)0.9P36(0).
37、49PX2574(0)0.9PX因此 的分布列为X2P0.2 0.4 0.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 205n当 时，若最高气温不低于25，则 ；305n642Yn若最高气温位于区间 ，则 ；20,)302()1若最高气温低于20，则 ；6()80Y因此 .4(1).4.64.EYnnnn当 时，203若最高气温不低于20，则 ；62Y若最高气温低于20，则 ；0()4802nn因此 20.480()()2.160.2EYnnn所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量
38、 X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是 pi0(i1，2，)；二是p1p 2p n1 检验分布列的正误14 【2017 年高考天津卷理数】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 1,234（1）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数， 求随机变量 的分布列和数学期望；X X（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率【答案】 （1）分布列见解析， ；（2） 13()EX48【分析】 （1）由题可得 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出
39、相应的概率，然后列出随机变量的分布列并计算其数学期望；（2） ）设 表示第 1 辆车遇到红灯的个数， 表示第 2 辆车遇到红XYZ灯的个数，这 2 辆车共遇到 1 个红灯包括：第 1 辆遇到 1 个红灯且第 2 辆没遇到红灯、第 1 辆没遇到红灯且第 2 辆遇到 1 个红灯，求这两个事件的概率的和即可【解析】 （1）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3X，(0)()(34PX，11)()()22342342，1()(1(34PX所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3来源:学*科*网P42414随机变量 的数学期望 X()0132EX（2）设 表示第 1 辆车遇到红灯的个数， 表示第 2
40、 辆车遇到红灯的个数，YZ则所求事件的概率为 (1)(0,1)(,0)()1PYZZPYZPYZ(1)0)4248PYZ所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概 率为 1【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望15 【2017 年高考北京卷理数】为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者
41、的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者， “+”表示未服药者（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E( )；（3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小 （只需写出结论）【答案】 （1）0.3；（2）分布列见解析， ；（3）在这 100 名患者中，服药者指 标 数据的()1Ey方差大于未服药者指标 数据的方差y【分析】 （1）根据所给图数出 的人数，
42、再除以 50 就是概率；（2）由图可知 两人的指标60 A,C，根据超几何分布写出分布列， ， ，并求数学期望；1.7x0,1224C()(0,1)kP（3）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小【解析】 （1）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 的值小于 60 的有 15 人，y所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 150.3（2）由图知，A，B，C，D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 Cx所以 的所有可能取值为 0，1，22122444CC1(0),(),()636PPP所以 的分布列为0 1 2P162316故 的期望 12()063E（3）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差yy【名师点睛】求分布列的三种方法：（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列