1、专题 14 概率与统计（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6C0.7 D0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70100=0.7故选 C【名师点睛】本题考查抽样数据的
2、统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题2 【2019 年高考全国卷理数】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数 B平均数C方差 D极差【答案】A【解析】设 9 位评委评分按从小到大排列为 123489xx则原始中位数为 ，去掉最低分 ，最高分 后剩余 ，中位数仍为 ，A 正5x192348x 5x确；原始平均数 ，后来平均数 ，平均数123489( )9xxx 23481()7xx受极端值影响较大，
3、 与 不一定相同，B 不正确； ， ，由222211()()()9qSxxx 222381()()()7sxxx易知，C 不正确；原极差 ，后来极差 ，显然极差变小，D 不正确故选 A91x82x3 【2019 年高考浙江卷】设 0a1，则随机变量 X 的分布列是X0a1P13133则当 a 在（0 ， 1）内增大时，A 增大 B 减小()DX ()DXC 先增大后减小 D 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本a a题根据方差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二次函数的图象和性质解题题目有一定综合a性，注重重
4、要知识、基础知识、运算求解能力的考查【解析】方法 1：由分布列得 ，1()3EX则 ，222211()0)()()()3 396aaaDX a则当 在 内增大时， 先减小后增大故选 D,1DX方法 2：则 ，222 21()213()(0()3994aaE a则当 在 内增大时， 先减小后增大故选 Da0,1X【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者 之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式4 【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如
5、在不超过 30 的素数中，随3072机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A B12 14C D15 18【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，来源:学科网随机选取两个不同的数，共有 种方法，210=45因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，7231910故所求概率为 ，故选 C=45【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法： 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“ 无序 ”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本
6、事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目5 【2018 年高考全国卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为 M，而
7、新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济收入的一半，所30%+28%=58%50%以 D 正确；故选 A6 【2018 年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互p独立，设 为该群体的
8、 10 位成员中使用移动支付的人数， ， ，则X 2.4DX()(6)PXpA0.7 B0.6C0.4 D0.3【答案】B【解析】 ， 或 ，()(1)DXnp0.4.6p，46 40 1( ()C()PPX，可知 ，故 故选 B21)p.5p0.67 【2018 年高考浙江卷】设 ，随机变量 的01p分布列是 0 1 2P 12pp则当 p 在（0，1）内增大时，AD（ ）减小 BD（）增大CD（ ）先减小后增大 DD（ ）先增大后减小【答案】D【解析】 ，()=012 +112+22=+12， ， 先增大()=12 (012)2+12(112)2+2(212)2=2+14 12(0， 1)
9、 ()后减小，故选 D8 【2018 年高考全国卷理数】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC 的三边所围成的区ABC域记为，黑色部分记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p 2，p 3，则Ap 1=p2 Bp 1=p3C p2=p3 Dp 1=p2+p3【答案】A【解析】设 ，则有 ，从而可以求得 的面积为 ，黑色=， =， = 2+2=2 1=12部分的面积为222 1()()()cbaSbc 2()44acba，其余部分的面积为 ，所以有 ，12bc 2
10、23()Sc 12S根据面积型几何概型的概率公式，可以得到 ，故选 A1=29 【2017 年高考全国卷理数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】观察折线图，每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项 A 说法错误；折线图整体
11、呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项 B 说法正确；每年的接待游客量 7，8 月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，选项 C 说法正确；每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，选项 D 说法正确故选 A【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律10 【2017 年
12、高考全国卷理数】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A B14 8C D2 4【答案】B【解析】设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，正方形的面积为 ，圆的面积为 由图形的对a2a2a24a称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是 ，故选 B2148a【秒杀解】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率 满足 ，故选 Bp142【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件
13、类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间） ，其次计算基 本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算 ()PA11 【2017 年高考山东卷理数】从分别标有 1， 2， ， 9的 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取1 张则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是A58B49来源:学科网C 9 D7【答案】C【解析】标有 的 张卡片中，标奇数的有 张，标偶数的有 张，所以抽到的 2 张卡片上的1,29 54数奇偶性不同的概率是 ，故选 C1548【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题12 【2017 年高考浙江卷】已知随
14、机变量 满足 P（ =1）=p i，P（ =0）=1p i，i=1，2若 01()E21()D2 1()E21()D2C ， ， 【答案】A【解析】 ， ，12(),()Ep12()E ， ，故选 A1 2Dp1212()()0pp【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用排列，X组合与概率知识求出 取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应X用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量 服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得 A 正确i13 【2017 年高考山东卷
15、理数】为了研究某班学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：厘米）的关xy系，从该班随机抽取 10 名学生，根据 测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其x回归直线方程为 ybxa已知1025ix，106iy， 4b该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为A 160 B 163 C D 70【答案】C【解析】由已知得 则2.5,160,xy42.5,a当 时， ，故选 C 24x47y【名师点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数 r的公式求出 r，然后根据 r的大小进行判断求线性回归方程时，在严格按照公式
16、求解时，一定要注意计算的准确性14 【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为 ，6789108所以该组数据的方差是 2222221 5(8)()()()()(108)6 315 【2019 年高考全国卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 【答案】 0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算 法，利
17、用概率思想解题【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，其中高10.9720.81.93.2铁个数为 ，所以该站所有高铁平均正点率约为 1024039.2084【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值16 【2019 年高考全国卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场
18、比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_【答案】 0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是4:1前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是30.65.20.18, 4:1综上所述，甲队以 获胜的概率是2474:10.8.720.8q【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错 点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能
19、够准确计算:17 【2018 年高考江苏卷】已知 5 位裁判 给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为_ 【答案】90【解析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为 ，89， 89， 90， 91， 91故平均数为 890190518 【2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为_【答案】310【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生 ，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种，因此所求概率为 31019 【2017 年高考全国卷理数】一批产品的二等品
20、率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地0.2抽取 次， 表示抽到的二等品件数，则 _XDX【答案】 1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 ，由二项分布的期望公(10,.2)B式可得 ()10.2981.6DXnp【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为 n 次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率是否均为 p；随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 表示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率()C(1)knknPXp20 【2017 年高考江苏卷】记函数 的定义域为 在区间 上随机取一个数 ，2(6f
21、xxD4,5x则 的概率是_xD【答案】59【解析】由 ，即 ，得 ，根据几何概型的概率计算公式得260x260x23x的概率是 xD3()54921 【2017 年高考江苏卷】某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 种 不 同 型 号 的 产 品 ， 产 量 分 别 为200， 400， 300， 100 件 为 检 验 产 品 的 质 量 ， 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 有 的 产 品 中 抽 取 60 件 进 行 检验 ， 则 应 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 _件 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 件，故答案为 1830618