1、专题 13 不等式、推理与证明1【2019 年高考全国 I 卷理数 】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯” 便是如此此外，最美人512体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且512腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm【答案】B来源:学科网【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，5151,22ACBD腿长为 105 cm 得，即 ， 0CD，5164.892AC，.1
2、056.89D所以 AD169.89.头顶至脖子下端长度为 26 cm，即 ABb，则Aln(a b)0 B3 a0 D ab【答案】C【解析】取 ，满足 ， ，知 A 错，排除 A；因为 ，知 B 错，2,1abln()093ab排除 B；取 ，满足 ， ，知 D 错，排除 D，因为幂函数 是增函,ab12b3yx数， ，所以 ，故选 C3【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4 【2019 年高考北京卷理数】若 x，y 满足 ，且 y1，则 3x+y 的最大值为|1A7 B1C5 D7【答案】C【解析
3、】由题意 作出可行域如图阴影部分所示. 1,yx设 ,3,3zxyzx当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C0:l21z【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识基本技能的考查.5 【2019 年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1= lg ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼521E星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1 B 10.1C lg10.1 D 10 10.1【答案】A【解析】两颗星的星等
4、 与亮度满足 ,令 ,12125lgEm1.45,26.7m.10.1212 2lg(.4526.7).,5EEm故选：A【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.6 【 2019 年高考天津卷理数】设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大,xy20,1,xy4zxy值为A2 B3C5 D6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，4yxzy故目标函数在点 处取得最大值.A由 ，得 ，20,1xy(1,)所以 .max4)5z故选 C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可
5、行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求7 【2019 年高考天津卷理数】设 ，则“ ”是“ ”的xR250x|1|xA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知 推不出 ，05x1x由 能推出 ，1x故“ ”是“ ”的必要不充分条件，250|1|x故选 B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.8 【2019 年高考浙江卷】若实
6、数 满足约束条件 ，则 的最大值是,xy340xy32zxyA B 11C 10 D 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为 ，所以 .32zxy312xz平移直线 可知，当该直线经过点 A 时，z 取得最大值.1z联立两直线方程可得 ，解得 .340xy2xy即点 A 坐标为 ，(2,)所以 .故选 C.max310z【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.9 【2019 年高考浙江卷】若 ，则“ ”是 “ ”的0,ab4abaA 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充
7、分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有0, ab2abab4ab，解得 ，充分性成立；244当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述， “ ”是“ ”=1, =54+ 4ab的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断 失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,ab10【2018 年高考全国 I 卷理数 】已知集合 ，则 来源:学,科,网20AxARA B 12x 12xC D |x |【答案】B【解析】解不等式 得 ，所以 ，所以可以求得220
8、2 =|2，故选 B|12AxR11 【2018 年高考全国 III 卷理数 】设 ， ，则0.2log3a2log0.3bA B0ab abC D【答案】B【解析】 ， ， ， ，0.2log3a2log0.3b. 0.303211log,logab0.31log4ab,即 ，又 ， ，即 ，故选 B.00,0.当且仅当 ，即 时等号成立.2+232 223=2 26=14 2=233=6 =3=1 综上可得 的最小值为 .2+18 14【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ，当且仅当 时取等号；2,ababRab ， ，当且仅当 时取等号解题时要注意公式的适用条件、
9、等号成立的,条件，同时求最值时注意“1 的妙用”31 【2018 年高考江苏卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分ABC , ,abc120ABCAB线交 于点 D，且 ，则 的最小值为_AC14ac【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得=+，化简得 ，12120=12160+12160 =+,1+1=1因此4+=(4+)(1+1)=5+45+24=9,当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .=2=3 4+ 9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“ 定”不等式的另一边必须为定
10、值）、“ 等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.32 【2017 年高考全国 I 卷理数 】设 x，y 满足约束条件 则 的最小值为 .210xy， ， 32zxy【答案】 5【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得 ，1(,),)(,3ABC由 得 在 轴上的截距越大， 就越小，32zxy2zxyz所以，当直线 过点 时， 取得最小值，zAz所以 的最小值为 .z3(1)25【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意 前面的系数为负时，截距越大， 值越小；分式型，其几何意义是已知点与未z z知点的斜率；平方型，其几
11、何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.33【2017 年高考全国 III 卷理数 】若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为xy02xy34zxy_.【答案】 1【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即 ，易知直线 在 轴上的截距最大时，目标函数 取得314yxz314yxzy34zxy最小值，数形结合可得目标函数 在点 处取得最小值，为 .,Amin1【名师点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上的截距最大时，z 值最大，在 y 轴上的截距最小时，z 值最小；当
12、 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上的截距最大时，z 值最小，在 y 轴上的截距最小时，z 值最大.34 【2017 年高考天津卷理数】若 ， ，则 的最小值为_,abR41a【答案】 4【解析】 ， （前一个等号成立的条件是42111424ababab，后一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时成立，当且仅当2时取等号） 2,4ab【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式： ，当且仅2,ababR当 时取等号； ， ，当且仅当 时取等号解题时要注意公式的适ab,abR2ab用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 35 【2017 年高考北京卷理数】三名工人加
13、工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p 2，p 3 中最大的是_.【答案】 1Q2p【解析】作图可得 中点的纵坐标比 中点的纵坐标大，所以 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是 ，1AB23,AB 1分别作 关于原点的对称点 ，比较直线 的斜率（即为第 i 名工人123,
14、123,123,AB在这一天中平均每小时加工的零件数） ，可得 最大，所以 p1，p 2，p 3 中最大的是 2 2.p【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第 名i工人加工总的零件数是 ，比较总的零件数的大小，即可转化为比较 的大小，而iiAB iiAB表示 中点连线的纵坐标，第二问也可转化为 中点与原点连线的斜率.2iiABi iAB36【2017 年高考北京卷理数】能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc” 是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_.【答案】1，2，3（答案不唯一）【解析】 ，矛盾，所以1，2，3 可验证
15、该命题是假命题.123,123【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一37 【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总x存储费用为 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是_4x【答案】30【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即 时60904()2904xx90x3x等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值 )、“等”(等号取得的条件
16、) 的条件才能应用，否则会出现错误38 【2017 年高考上海卷】不等式 的解集为_1x【答案】 ,0【解析】 由题意，不等式 ，得 ，所以不等式的解集为 .1x10xx,0【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.39 【2017 年高考山东卷理数】已知 满足 ，则 的最大值是_,xy350y2zxy【答案】 5【解析】由约束条件可画出如图阴影部分可行域，则当 经过点 A 时，取最大值，将2zxy代入 得 ，即 ，所以 的最大值为 .3x0xy4(3,)A3245z【名师点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上的截距最大时，z 值最大，在 y 轴上的截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上的截距最大时，z 值最小，在 y 轴上的截距最小时，z 值最大.