1、专题 15 概率与统计（解答题）1 【2019 年高考全国卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附： 2()(nadbcKP（K 2k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】 （1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为 ， ；（2）有 95%的把握认为0.86男、女顾客对该商场服务的
2、评价有差异【解析】 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，4.50因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，3.65因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.（2）由题可得 2210(431)4.7657K由于 ，4.763.8故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异2 【2019 年高考全国卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表的分组y0.2,)0,.2)0.,4)0.,6)0.,8)企业数 2 24
3、53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （精确到 0.01）附： 748.602【答案】 （1）产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%，17%【解析】 （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为 1470.2产值负增长的企业频率为 20.1用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于4
4、0%的企业比例为21% ，产值负增长的企业比例为2%（2） ，1(0.2.140.35.014.7)0.3y521isny22222(0.4)(0.)4530.14.07 ，=.96，.7.1s所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17% 3 【2019 年高考全国卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图
5、：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 【答案】 （1） ， ；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 ，0.35a.10 4.056.0【解析】 （1）由已知得 ，故 .7.5a0.3a.501b（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为0.13.24.35.206.170.54.乙离子残留百分比的平均值的估计值为.518.6.4 【2019 年高考天津卷文数】2019 年，我国施行个
6、人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受72,108情况（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 享受, , ABCDEF情况如下表，其中“”表示享受， “”表示不享受现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访员工项目A B C D E F子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结
7、果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同” ，求事件 M 发生的概率【答案】 （1）应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人；（2） （i）见解析， （ii） 15【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力【解析】 （1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，6 :910由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人（2） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为, , , ,
8、 , , ABCDAEFBC, , , , ,DEBFCDE,F，共 15 种EF（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为，共 11 种, , , , , , , ,ABABEFFE所以，事件 M 发生的概率 1()5P5 【2019 年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于 2 000
9、元 大于 2 000 元仅使用 A 27 人 3 人仅使用 B 24 人 1 人（1）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；（2）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由【答案】 （1）该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数约为 ；（2） ；（3）见解40.4析【解析】 （1）
10、由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30 人，仅使用 B 的学生有 24+1=25 人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 4010（2）记事件C为“从样本仅使用 B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于 2 000元” ，则 1()0.45P（3）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元” 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于 2 000元的人数没有变化，则由（2）知， 4(0).P答案示例1：可以认为有
11、变化理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，()E一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件， 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，()PE所以无法确定有没有变化6 【2018 年高考全国卷文数】下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的y折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： ；根据 2010t1,27 30
12、.415yt年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型： t, 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【答案】 （1）模型：226.1 亿元，模型：256.5 亿元；（2）模型得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】 （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元） y$利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元） y（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从
13、折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋y$势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，
14、相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分7 【2018 年高考全国卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0.1， .02， .03， .04， .05， .06， .07，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分
15、布表日用水量 0.1， 0.2， 0.3， 0.4， 0.5， 0.6，频数 1 5 13 10 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 ）【答案】 （1）见解析；（2）0.48；（3） 347.5m【解析】 （1）频率分布直方图如下:（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+2
16、0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48（3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为1(0.51.30.25.40.59.260.5).48x该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为2(.1.3.1.).350估计使用节水龙头后，一年可节省水 3(0485)6475(m8 【2018 年高考全国卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根
17、据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过mm的工人数填入下面的列联表：m超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： ， 2()(nadbcK2()0.51.0384682PKk【答案】 （1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）列联表见解析；（3）有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【解析】 （1）第二种生产方式的效率更高理由如下：
18、（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高（iv）由茎叶图可知：用
19、第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（2）由茎叶图知 798102m列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15（3）由于 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差
20、2240(15)106.3K异9 【2018 年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值（1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评
21、率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】 （1） ；（2） ；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率0.50.814【解析】 （1）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50，故所求概率为 50.2（2）方法 1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160
22、+51=372故所求概率估计为 37210.814方法 2：设“随机选取 1 部电影，这部电影没有获得好评”为事件 B没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628 部由古典概型概率公式得 6280.14)(PB（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率10 【2018 年高考天津卷文数】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的 7 名同学分别用 A
23、，B，C ，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率【答案】 （1）分别抽取 3 人，2 人，2 人；（2） （i）见解析， （ii） 521【分析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力【解析】 （1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分
24、别抽取 3 人，2 人，2 人（2） （i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A，B，A ，C，A，D， A，E，A，F ，A，G ，B，C， B，D，B，E ，B，F，B，G，C， D，C ，E ， C，F，C，G，D，E， D，F， D，G， E，F，E，G ，F，G，共 21 种（ii）由（1） ，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C ，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A ，C，B，C， D，E ，F，G ，共 5 种所以，事件 M 发生的概率为 P
25、（M ）= 52111 【2017 年高考全国卷文数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如下：（1）记 A 表示事件“ 旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg 箱产量50 kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附：P（ ）2 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82822()(nadbcK【答案
26、】 （1）0.62；（2）列联表见解析，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧养殖法【分析】 （1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，计算 A 的概率；（2）将数据填入对应表格，代入卡方公式，计算 ，对照参考数据可作出判断；（3）先从均值（或中位数）215.70K比较大小，越大越好，再从数据分布情况看稳定性，越集中越好，综上可得新养殖法优于旧养殖法【解析】 （1）旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=0.62因此，事件 A 的概率估计值为 0.62（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱
27、产量50 kg 箱产量50 kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66K2= 20634815.7019（ ） 由于 15.7056.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 50 kg 到 55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数 )在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法【名师点睛】 （1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为 1（2）频率分布直
28、方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性12 【2017 年高考全国卷文数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm） 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，1
29、69.7ix161622()()0.21i iisxx， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸，162(8.5).43i16()8.5.7iix ixi,（1）求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过()ix1,26)r程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地|0.25变大或变小） （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天(3,)xs的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这
30、条生产线当天生产的零件尺寸(3,)xs的均值与标准差 （精确到 0.01）附：样本 的相关系数 ， (,)ixy1,2)n1221()()niiiniiiixyr0.8.9【答案】 （1） ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；8.0r（2） （）需对当天的生产过程进行检查；（ ）均值与标准差的估计值分别为 10.02，0.09【分析】 （1）依公式求 ；（2） （i）由 ，得抽取的第 13 个零件的尺寸在r9.7,0.21xs以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii）剔除第 13 个数据，则均值的估计值(3,)xs为 10.02，方差为 0.09【解析】 （
31、1）由样本数据得 的相关系数为(,)1,26)ix611622()8.5.780.180.16439(.)iiii ixr由于 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小|0.5r（2） （i）由于 ，9.7,0.21xs由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在 以外，(3,)xs因此需对当天的生产过程进行检查（ii）剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为 ，1(69.72)10.5这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02，162220.169.715.34ix剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为 ，221(59.34.15
32、0.).8这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.8.9【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧” ；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新” ；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新” ，应特别关注创新题型的切入点和生长点13 【2017 年高考全国卷文数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300
33、瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元） 当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶Y时，写出 的所有可能值，并估计 大于零的概率Y【答案】 （1） ；（2） 的所有可能值为 900，300，-100， 大于零的概
34、率为 0.6YY0.8【分析】 （1）先确定需求量不超过 300 瓶的天数为 ，再根据古典概型的概率计算公式216354求概率；（2）先分别求出最高气温不低于 25（36 天） ，最高气温位于区间20，25） （36 天） ，以及最高气温低于 20（18 天）对应的利润分别为 ，所以 大于零的概率估计为90,Y365740.89【解析】 （1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 ，2+16+3690 =0.6所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6（2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
35、若最高气温不低于 25，则 Y=6 450-4 450=900； 若最高气温位于区间20，25 ） ，则 Y=6 300+2（450-300）-4 450=300； 若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（450-200）-4 450=-100 所以，Y 的所有可能值为 900，300，-100 Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 ，36+25+7+490 =0.8因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与
36、“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化14 【2017 年高考北京卷文数】某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30 ，30，40，80，90 ，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50) 内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于 70
37、，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【答案】 （1）0.4；（2）20；（3） :32【分析】 （1）根据频率分布直方图，表示分数大于等于 70 的概率，就求最后两个矩形的面积；（2）根据公式：频数=总数 频率进行求解；（3）首先计算分数大于等于 70 的总人数，根据样本中分数不小于 70 的男女生人数相等再计算所有的男生人数，100男生人数就是女生人数【解析】 （1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 ，(0.24)10.6所以样本中分数小于 70 的频率为 10.64所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70
38、的概率估计为 0.4（2）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 ，(.012.40)1.9分数在区间 内的人数为 40,5)10.95所以总体中分数在区间 内的人数估计为 ,)4021（3）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 ，(.04)160所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 6032所以样本中的男生人数为 ，女生人数为 ，3021604男生和女生人数的比例为 :64所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 :32【名师点睛】 （1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法分布表在数量表示上比较准确，而直方图比较直观（2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于 1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于 1