1、专题 12 数列1【2019 年高考全国 III 卷文数 】已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，na5314a则 3aA16 B8C4 D2【答案】C【解析】设正数的等比数列a n的公比为 ，则 ，q231145aqa解得 ， ，故选 C1,2q2314aq【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.2 【2019 年高考浙江卷】设 a，bR ，数列 an满足 a1=a，a n+1=an2+b， ，则NA 当 B 当10,2b0,4bC 当 D 当10,a 10,a【答案】A【解析】当 b=0 时，取 a=0，则 .0,nN当 时，令 ，即 .
2、0 ”是“S 4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 ，可知当 时，有 ，46511202(50)Sadad0d46520S即 ，反之，若 ，则 ，所以“d0”是“S 4 + S62S5”的充要条件，选 C46546S【名师点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 ， n 465d结合充分必要性的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，该题“pqpq” “ ”，故互为充要条件0d46520S7 【2019 年高考全国 I 卷文数 】记 Sn 为等比数列 an的前 n 项和.若
3、 ，则 S4=_13a，【答案】58【解析】设等比数列的公比为 ，由已知 ，即 .q2231134Saqq2104q解得 ，12q所以 44141()()528aqS【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算3343415()428SaSq8 【2019 年高考全国 III 卷文数 】记 为等差数列 的前 项和，若 ，则nSna375,1a_.10【答案】100【解析】设等差数列 的公差为 d，根据题意可得na得31725,63ad1,2109091.S【名师点睛】
4、本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.9 【2019 年高考江苏卷】已知数列 是等差数列， 是其前 n 项和.若 ，*()naNnS25890,27aS则 的值是_8S【答案】16【解析】由题意可得： ，258111947027adadS解得： ，则 .12ad8140816ad【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组） ，如本题，从已知出发，构建 的方程组.1ad,10 【2018 年高考江苏卷】已知集合 ， 将 的所*|21,Ax
5、nN*|2,nBxNAB有元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立aSa12nSa的 n 的最小值为_【答案】27【解析】所有的正奇数和 按照从小到大的顺序排列构成 ，在数列| 中，2 5前面有2nNnana16个正奇数，即 .当n=1时， ，不符合题意；当n=2时，56138,a124S，不符合题意；当n=3时， ，不符合题意；当n=4时，236S368，不符合题意； ；当n=26时，45042 +12nSa最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.11【2017 年高考江苏卷】等比
6、数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则nannS3674S,_8a【答案】32【解析】当 时，显然不符合题意；1q当 时， ，解得 ，则 1q316()74aq142aq78123【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法12 【
7、2019 年高考全国 I 卷文数 】记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，已知 S9=-a5（1）若 a3=4，求a n的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan 的 n 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .1010()nN【解析】（1）设 的公差为dn由 得 95Sa140由a 3=4得 2于是 18,d因此 的通项公式为 n102na（2）由（1）得 ，故 .14(9)(5),2nddS由 知 ，故 等价于 ，解得1n100adnSa210所以n的取值范围是 |0,N【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，
8、需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.13【2019 年高考全国 II 卷文数】已知 是各项均为正数的等比数列， .na132,16a（1）求 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 n 项和2lognbb【答案】 （1） ；（2） .12S【解析】 （1）设 的公比为q，由题设得na，即 246q280解得 （舍去）或q=4因此 的通项公式为 na124nna（2）由（1）得 ，2()lognb因此数列 的前n项和为 2131n【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单
9、题.14 【2019 年高考北京卷文数】设a n是等差数列，a 1=10，且 a2+10，a 3+8，a 4+6 成等比数列（1）求a n的通项公式；（2）记a n的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值【答案】 （1） ；（2）当 或者 时， 取到最小值 .156nnS30【解析】 （1）设 的公差为 nad因为 ，0所以 234,102,103dad因为 成等比数列，4186aa所以 230所以 ()(3)dd解得 2所以 1() 21nan（2）由（1）知， 所以，当 时， ；当 时， 70na60na所以， 的最小值为 nS63S【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本
10、问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.15 【2019 年高考天津卷文数】设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 0，已知nanb.1232,4abab（1）求 和 的通项公式；nab（2）设数列 满足 求 .nc21n， 为 奇 数 ,， 为 偶 数 . *122()nacacN【答案】 （1） ， ；（2）3nanb()369n【解析】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .ndnbq依题意，得 解得23,54qd3,q故 .1(1),nnnab所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .3an3nb（2） 122ncc351142632naba
11、()6(383)2n.2123n记 3nT ,则 2131n 得， .123113(2)33nnnnnT 所以， 122122 ()6nnnacacT.()369nN【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列n求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.16 【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列a n 满足： ，求证: 数列 an为“M数列”；()N245132,40aa（2）已知数列b n 满足: ，其中 Sn 为数列 bn的前 n 项和()11,nnbSb求数列b n的通项公式；设 m
12、 为正整数，若存在“M数列”c n ，对任意正整数 k，当 km 时，都有 成()N1kkcb立，求 m 的最大值【答案】 （1）见解析；（2）b n=n ；5.*【解析】 （1）设等比数列a n的公比为q，所以a 10，q0.由 ，得 ，解得 2453102411012a因此数列 为“M数列”.na（2）因为 ，所以 12nnSb0nb由 ，得 ，则 .11,b2由 ，得 ，12nnS1()nbS当 时，由 ，得 ，21nnb1122nnbb整理得 1n所以数列b n是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列b n的通项公式为b n=n .*N由知，b k=k， .*因为数列c n为 “M数列
13、”，设公比为q，所以c 1=1，q0.因为c kbkck+1，所以 ，其中k =1，2，3， ，m.1k当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有 lnl1kkq设f（x）= ，则 ln(1)x2l()xf令 ，得x=e. 列表如下：()0x (1,e)e (e，+)()f + 0 f（x ） 极大值因为 ，所以 ln28l9n36maxln3()()fkf取 ，当k=1，2，3，4，5时， ，即 ，qlqkk经检验知 也成立1因此所求m的最大值不小于5 若m6，分别取k=3 ，6，得3q 3，且q 56，从而q 15243，且 q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6.综上，所
14、求m的最大值为5【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力17 【2019 年高考浙江卷】设等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，数列 满足：对每个anS34a3Snb成等比数列12,nnnSbSbN（1）求数列 的通项公式；a（2）记 证明：,2ncb12+,.nccN【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析.nan【解析】 （1）设数列 的公差为d，由题意得na，124,3ad解得 10从而 *2,naN所以 ，S，由 成等比数列得12,nnnbSb21S解得 12nnnbSd所以 2*,N（2）
15、*1,()()nac nbN我们用数学归纳法证明（i）当n=1时， c1=01，且 a3+a4+a5=28，a 4+2 是 a3，a 5 的等差中项数列b n满足 b1=1，数列 （b n+1bn）a n的前 n 项和为 2n2+n（1）求 q 的值；（2）求数列b n的通项公式【答案】（1） ；（2） .q2115(43)nnb【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由 是 的等差中项得 ，42a35,3542a所以 ，3428解得 .48由 得 ，3520a18()20q因为 ，所以 .1q（2）设 ，数列 前 n 项和为 .1
16、()nncbacnS由 解得 .1,2.nnS41n由（1）可知 ，a所以 ，1(4)2nnb故 ，1(5),nn112321)()()nnnbbbb.2(45)(497n设 ，221137()(5),nnT22149(4)2nnn 所以 ，2211113()5(nnnT因此 ，24(),nn又 ，所以 .1b2115(43)nn【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于
17、 1 和不等于 1 两种情况求解.24 【2018 年高考江苏卷】设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比na1anb1b数列（1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围；10,2abq1|nb,234（2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，*,(mNdR1|nab2,31m并求 的取值范围（用 表示） d1,bq【答案】 （1） 75,32；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分（1）由条件知： 12(,)nnadb因为 对 n=1，
18、2，3，4 均成立，1|nb即 |()|d对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 752d因此，d 的取值范围为 ,（2）由条件知： 11(),nnabdbq若存在 d，使得 （n=2，3，m+1 ）成立，|即 11 | |2,(1() )nbbq ，即当 2,3nm 时，d 满足11nnqqbdb因为 (1,q，则 12nm，从而 120nb， 10qb，对 ,31 均成立因此，取 d=0 时， 对 2,n 均成立|na下面讨论数列12q的最大值和数列1nq的最小值（ 2,31nm ） 当 2nm时，1 2()()nn nq ，当12mq时，有
19、 2nmq，从而 1() 20nnq因此，当 时，数列1n单调递增，故数列1n的最大值为m设 ()2xf，当 x0 时， ln10(l2)xf，所以 ()f单调递减，从而 (f0假设 n=k 时，x k0，那么 n=k+1 时，若 ，则 ，矛盾，故 1011ln()0kkxx10kx因此 0()xN所以，11ln()n nxx因此 10()nx（2）由 得，1lnx21114(2)ln()nnxxx记函数 ，2()()l(0)fxx，2ln(1)0()xf x函数 f(x)在0，+）上单调递增，所以 =0，因此()f，211112ln()()0nn nxxxf故11()2nnN（3）因为，111l()2nnnxxx所以，12n由 ，得12nnxx，112()0nnxx所以，1212()2()nnnnxx故2nx综上，12()2nN【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明