1、专题 19 不等式选讲1【2019 年高考全国卷文数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1） ；221abc（2） 333()()()4c【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为 ，又 ，故有222,abbcac1ab22 1abcca所以 2（2）因为 为正数且 ，故有, c1bc33333()()()()()abaca=+c(2)()(2)bc=24所以 333()()()4aa【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立2【2019 年高考全国卷文数】已知
2、 ()|2|().fxaxa（1）当 时，求不等式 的解集；a0（2）若 时， ，求 的取值范围(,1)x()fxa【答案】（1） ；（2） ,【解析】（1）当 a=1 时， ()=|1 +|2(1)fxx当 时， ；当 时， x2()0fx0f所以，不等式 的解集为 (,)（2）因为 ，所以 ()=0fa1当 ， 时， 1,x()= +(2)=()1x【答案】 1|3x或【解析】当x2，即x 时，原不等式可化为x+2x12，解得x1综上，原不等式的解集为 1|3x或【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力5【2018 年高考全国卷文数】已知 ()|1|fxax（
3、1）当 时，求不等式 的解集；a（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围(0,1)x()fxa【答案】（1） ；（2） |(0,【解析】（1）当 时， ，即1a()|1|fxx2,1,(),.xf故不等式 的解集为 ()fx|2（2）当 时 成立等价于当 时 成立0,1|1|ax(0,1)x|1ax若 ，则当 时 ；0a(,1)x|1ax若 ， 的解集为 ，所以 ，故 |201a02a综上， 的取值范围为 a(,6【2018 年高考全国卷文数】设函数 ()5|2|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；a()0f（2）若 ，求 的取值范围()1fxa【答案】（1） ；（2） |3x(,62,)
4、【解析】（1）当 时，1a41(),62.xf可得 的解集为 ()0fx|23x（2） 等价于 |4而 ，且当 时等号成立故 等价于 |xa2x()1fx|2|4a由 可得 或 ，所以 的取值范围是 |46a,6,)7【2018 年高考全国卷文数】设函数 21fxx（1）画出 的图像；yfx（2）当 ， ，求 的最小值0 ， faxb【答案】（1）图像见解析；（2） 的最小值为 ab5【解析】（1） 的图像如图所示13,2(),1.xfx()yfx（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，()yfxy23故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为
5、 3a2baxb0,)ab58【2018 年高考江苏卷数学】若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值22xyz【答案】 的最小值为 422xyz【解析】由柯西不等式，得 2222()(1)()xyzxyz因为 ，所以 ，2=6xyz当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，1 433xyz， ，所以 的最小值为 422xyz9【2017 年高考全国卷文数】已知函数 ， 4)(2axxf |1|)(xg（1）当 时，求不等式 的解集；a)(gf（2）若不等式 的解集包含1，1 ，求 的取值范围)(xf【答案】（1） ；（2） 7| 1,【解析】（1）当 时，不等式 等价于 1a()
6、fxg2|1|40xx当 时，式化为 ，无解；x2340x当 时，式化为 ，从而 ；1当 时，式化为 ，从而 1x2x72x所以 的解集为 ()fg1| （2）当 时， 1,x()2x所以 的解集包含 ，等价于当 时 ()fg1,1,x()2fx又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 x,()f(f (1)f1a所以 的取值范围为 a,【名师点睛】形如 （或 ）型的不等式主要有两种解法：|xabc（ 1） 分 段 讨 论 法 ： 利 用 绝 对 值 号 内 式 子 对 应 方 程 的 根 ， 将 数 轴 分 为 ， ， （ 此 处 设(,a(,b,)） 三 个 部 分 ， 将 每 部
7、分 去 掉 绝 对 值 号 并 分 别 列 出 对 应 的 不 等 式 求 解 ， 然 后 取 各 个 不 等 式 解 集 的 并ab集 （2）图像法：作出函数 和 的图像，结合图像求解1|yxab2yc10【2017 年高考全国卷文数】已知 证明：30,a（1） ；5()4ab（2） 【答案】（1）证明略；（2）证明略【解析】（1） 5656abab23344.（2）因为 3223abab234,ab所以 ，因此 382【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题
8、若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法11【2017 年高考全国卷文数】已知函数 f（x ）= x+1x2（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式 的解集非空，求 m 的取值范围2【答案】（1） ；（2）1x54-，【解析】（1） ，32,fx,当 时， 无解；1x1fx当 时，由 得， ，解得 ；221x2x当 时，由 解得 xfx所以 的解集为 1f（2）由 得 ，而2xm21xx，22 2351 4-且当 时， 3x2514xx故 m 的取值范围为 54-，【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零
9、点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想12【2017 年高考江苏卷数学】已知 为实数，且 证明：,abcd224,16,abcd8.acbd【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得 ，222()()因为 ，所以 ，224,16abcd64acbd因此 8【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设 a1，a 2，a n，b 1，b 2，b n为实数，则（）（ ）（a 1b1a 2b2a nbn） 2，当且仅当 bi0 或存在一个数221naa 221nbk，使 aikb i（i1，2，n）时，等号成立本题中，由柯西不等式可得，代入即得结论2()()cbdcd