1、专题 14 概率与统计（选择题、填空题）1 【2019 年高考全国卷文数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5 B0.6C0.7 D0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为 70100=0.7故选 C【名师点睛】本题考查抽样数据
2、的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题2 【2019 年高考全国卷文数】某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是A8 号学生 B200 号学生C616 号学生 D815 号学生【答案】C【解析】由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ，所以 ，na10d610na()N若 ，解得 ，不合题
3、意；若 ，解得 ，不合题意；若810n1520619.4，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意故选 C6685n803 【2019 年高考全国卷文数】生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为A B2 5C D25 15【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解【解析】设其中做过测试的 3 只兔子为 ，剩余的 2 只为 ，,abc,AB则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有 ，,abcaABbc，共 10 种,bcBAcB其中恰有 2 只做
4、过测试的取法有 ，共 6 种，,abABcAB,c所以恰有 2 只做过测试的概率为 ，故选 B63105【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法” ，可最大限度的避免出错4 【2018 年高考全国卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村
5、建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济收入的一
6、半，所30%+28%=58%50%以 D 正确；故选 A5 【2018 年高考全国卷文数】从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A B0.6 0.5C D4 3【答案】D【解析】设 2 名男同学为 ，3 名女同学为 ，1,2 1,2,3从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 ，共 10 种可能，12,11,12,13,21,22,23,12,13,23选中的 2 人都是女同学的情况共有 ，共 3 种可能，12,13,23则选中的 2 人都是女同学的概率为 ，故选 D=310=0.3【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的
7、结果是否为等可能事件，设出事件 ；第二步，分别求出基本事件的总数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；第三步，利用公式 求出事件 的概率()= 6 【2017 年高考全国卷文数】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A B14 8C D12 4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 ，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积a的一半由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 ，选 B21()8a【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概
8、率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中， “等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关7 【2017 年高考全国卷文数】为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别为 x1，x 2， ，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是Ax 1，x 2，x n的平均数 Bx 1，x 2
9、，x n的标准差Cx 1， x2，x n的最大值 Dx 1，x 2，x n的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选 B【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用） ，中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度8 【2017 年高考山东卷文数】如图所示的
10、茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为A3，5 B5，5C3，7 D5，7【答案】A【解析】由题意，甲组数据为 56，62，65， ，74，乙组数据为 59，61，67， ，7870x60y要使两组数据的中位数相等，则 ，所以 ，65y5又平均数相同，则 ，解得 故选 A52()496178x3x【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示缺点是当样本容量较大时，作图较烦
11、琐利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数9 【2017 年高考全国卷文数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，可知每年 7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A 错误；
12、折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B 正确；每年的接待游客量 7，8 月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，C 正确；每年 1 月至 6 月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7 月至 12 月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，D 正确所以选 A【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形的面积之和为 1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；（3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出
13、有用的信息和数据10 【2017 年高考天津卷文数】有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为A B45 35C D2 1【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率 故选 C42105P【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件 A 包含
14、的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式 即可得解()nAP11 【2017 年高考全国卷文数】从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A B10 15C D31 2【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：1 2 3 4 51 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5）4 （4，1） （4，2）
15、 （4，3） （4，4） （4，5）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5）总计有 25 种情况，满足条件的有 10 种所以所求概率为 025【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化12 【2019 年高考全国卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 1
16、0 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 【答案】 0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，10.9720.81.93.2其中高铁个数为 ，所以该站所有高铁平均正点率约为 1024039.2084【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值13 【2018 年高考全国卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有
17、较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_【答案】分层抽样【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样14 【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为 ，6789108所以该组数据的方差是 2222221 5(8)()()()()(108)6 315 【2018 年高考江苏卷】已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为_【答案】90【解析】由茎叶图
18、可知，5 位裁判打出的分数分别为 ，89， 89， 90， 91， 91故平均数为 890190516 【2018 年高考江苏卷】某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为_【答案】310【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种，因此所求概率为 31017 【2017 年高考江苏卷】记函数 的定义域为 在区间 上随机取一个数 ，2()6fxxD4,5x则 的概率是_xD【答案】59【解析】由 ，即 ，得 ，根据几何概型的概率计算公式得260x260x23x的概率是 xD3
19、()549【名师点睛】 （1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：无限性，等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解18 【2017 年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 件，故答案为 1830618【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 niN inN