1、三角函数考纲解读 三年高考分析1.任意 角的 概念 、弧 度制(1)了解任 意角 的概 念.(2)了解弧 度制 的概 念, 能进 行弧度 与角 度的 互化 .2.三 角函 数(1)理解任 意角 三角 函数( 正 弦、 余 弦、 正切) 的定 义.(2)能利用 单位 圆中 的三 角 函数线 推导 出 2,的正 弦、 余 弦、正 切的 诱导 公式 ,能画出ysinx,ycosx,ytanx 的图像, 了解 三角 函数的 周期 性.(3)理解正 弦函 数 、 余弦 函 数在区 间 0,2上的性 质( 如单调 性、 最大 值和 最小 值以 及 与 x 轴的交 点等) ,理解正切 函数 在区间 (,)2
2、内的 单调 性.(4)理解同 角三 角函 数的 基 本关系 式：sin2xcos2x1, intanx.(5)了解函 数 yAsin(x)的物 理 意义 ； 能画出yAsin(x)的图 像 ,了解 参数 A,对函 数图 像变 化的 影响.(6)了解三 角函 数是 描述 周 期变化 现象 的重 要函 数模型,会 用三 角函 数解 决一 些 简单实 际 问题.3.和与 差的 三角 函数 公式(1)会用向 量的 数量 积推 导 出两角 差的 余弦 公式 .(2)能利用 两角 差的 余弦 公 式导出 两角 差的 正弦 、正切公式 .(3)能利用 两角 差的 余弦 公 式导出 两角 和的 正弦 、余三角
3、函数的性质和诱导公式的应用是考查的重点，解题时常用到辅助角公式和两角和差正余弦公式，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择填空题为主，中等难度.1、以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.2、以考查函数 yA sin(x )的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用
4、意识题型为选择题和填空题，中档难度.3、三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.弦、正 切公 式, 导出 二倍 角 的正弦 、余弦、 正切 公式 ,了 解它 们 的内在 联系 .4.简单 的三 角恒 等变 换能运用 上述 公式 进行 简单 的恒等 变换( 包括 导出 积化 和差 、 和 差化 积 、 半 角公 式,但对这 三组公 式不 要求 记忆) .
5、1 【2019 年天津理科 07】已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0， 0，| |）是奇函数，将yf（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为g（x） 若 g（ x）的最小正周期为 2，且 g（） ，则 f（ ）（ ）A2 B C D2【解答】解：f（x ）是奇函数，0，则 f（x）Asin（ x）将 yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为g（x） 即 g（x）Asin（ x）g（x）的最小正周期为 2， 2，得 2，则 g（x）Asinx，f（x ）Asin2x，若 g（） ，则 g（
6、）Asin A ，即 A2，则 f（x）2sin2x ，则 f（ ）2sin（2 2sin 2 ，故选：C2 【2019 年新课标 3 理科 12】设函数 f（x ）sin（x ） （0） ，已知 f（x）在0，2有且仅有 5 个零点下述四个结论：f（x）在（0，2）有且仅有 3 个极大值点f（x）在（0，2）有且仅有 2 个极小值点f（x）在（0， ）单调递增的取值范围是 ， ）其中所有正确结论的编号是（ ）A B C D【解答】解：当 x0，2 时， ， ，f（x）在0 ， 2有且仅有 5 个零点， ， ，故正确，因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，下面判断 是否正确，当 x（0，
7、 ）时， ， ，若 f（x）在（0 ， ）单调递增，则 ，即 3 ， ，故正确故选：D3 【2019 年全国新课标 2 理科 09】下列函数中，以为周期且在区间（， ）单调递增的是（ ）Af（x）|cos2x | Bf（ x）|sin2 x| Cf（x ）cos|x| Df（x）sin| x|【解答】解：f（x ）sin| x|不是周期函数，可排除 D 选项；f（x）cos| x|的周期为 2，可排除 C 选项；f（x）|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（， ）单调递增，可排除 B故选：A4 【2019 年全国新课标 2 理科 10】已知 （0， ） ，2sin2cos2+1，则 si
8、n（ ）A B C D【解答】解：2sin2cos2 +1，可得：4sincos2cos 2，（0， ） ，sin0，cos0，cos2sin，sin 2+cos2 sin2+（2sin ） 25sin 21，解得：sin 故选：B5 【2019 年新课标 1 理科 11】关于函数 f（x ）sin| x|+|sinx|有下述四个结论：f（x）是偶函数f（x）在区间（，）单调递增f（x）在，有 4 个零点f（x）的最大值为 2其中所有正确结论的编号是（ ）A B C D【解答】解：f（x ）sin| x |+|sin（x）|sin|x|+|sinx| f（x）则函数 f（x）是偶函数，故正确，
9、当 x（，）时，sin|x|sinx，|sinx|sin x，则 f（x）sinx +sinx2sin x 为减函数，故错误，当 0x 时， f（x ）sin|x|+|sinx| sinx+sin x2sinx，由 f（x）0 得 2sinx0 得 x0 或 x，由 f（x）是偶函数，得在 ， ）上还有一个零点 x，即函数 f（x ）在， 有 3 个零点，故错误，当 sin|x|1，|sinx|1 时，f（x）取得最大值 2，故正确，故正确是 ，故选：C6 【2018 年新课标 2 理科 10】若 f（x ）cos xsinx 在a，a 是减函数，则 a 的最大值是（ ）A B C D【解答】
10、解：f（x ）cos x sinx（sin xcos x） ，由 ，kZ，得 ，kZ，取 k0，得 f（ x）的一个减区间为 ， ，由 f（x）在 a，a是减函数，得 ， 则 a 的最大值是故选：A7 【2018 年新课标 3 理科 04】若 sin ，则 cos2（ ）A B C D【解答】解：sin ，cos212sin 212 故选：B8 【2018 年北京理科 07】在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线 xmy 20 的距离当 、m 变化时，d 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：由题意 d ，tan ，当 sin（+）1 时，dmax1 3d 的
11、最大值为 3故选：C9 【2018 年天津理科 06】将函数 ysin （2x ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 ， 上单调递增B在区间 ，上单调递减C在区间 ， 上单调递增D在区间 ，2 上单调递减【解答】解：将函数 ysin（2x ）的图象向右平移 个单位长度，得到的函数为：ysin2x，增区间满足： 2k2x ，kZ ，减区间满足： 2x ，kZ ，增区间为 k， k，k Z，减区间为 k， k，k Z，将函数 ysin（2x ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数在区间 ， 上单调递增故选：A10 【2017 年新课标 1 理科 09】已知曲线
12、C1：y cos x，C 2：ysin（2x ） ，则下面结论正确的是（ ）A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2【解答】解：把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数 ycos2x 图象，再把得
13、到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数 ycos2（x ）cos （2x ）sin （2x ）的图象，即曲线 C2，故选：D11 【2017 年新课标 3 理科 06】设函数 f（x ）cos （x ） ，则下列结论错误的是（ ）Af（x）的一个周期为2By f（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x+ ）的一个零点为 xDf（x）在（，）单调递减【解答】解：A函数的周期为 2k，当 k1 时，周期 T2，故 A 正确，B当 x 时，cos（x ）cos （ ）cos cos31 为最小值，此时 yf（x）的图象关于直线 x 对称，故 B 正确，C 当 x 时，f（ ）cos （ ）cos 0，
14、则 f（x+）的一个零点为 x ，故 C 正确，D当 x 时， x ，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D 错误，故选：D12 【2017 年天津理科 07】设函数 f（x ）2sin（x+） ，xR，其中 0，| |若 f（ ）2，f（ ） 0，且 f（x）的最小正周期大于 2，则（ ）A ， B ，C ， D ， 【解答】解：由 f（x ）的最小正周期大于 2，得 ，又 f（ ）2 ，f（ ） 0，得 ，T3，则 ，即 f（x）2sin（ x+）2sin （x+） ，由 f（ ） ，得 sin（ ） 1 ，k Z取 k0，得 ， 故选：A13 【2019 年北京理科 09】函数 f（x
15、）sin 22x 的最小正周期是 【解答】解：f（x ）sin 2（2x） ，f（x） ，f（x）的周期 T ，故答案为：14 【2019 年江苏 13】已知 ，则 sin（2 ）的值是 【解答】解：由 ，得 ， ，解得 tan2 或 tan 当 tan 2 时， sin2 ，cos2 ，sin（2 ） ；当 tan 时，sin2 ，cos2 ，sin（2 ） 综上，sin（2 ）的值是 故答案为： 15 【2018 年江苏 07】已知函数 ysin （2x+） （ ）的图象关于直线 x 对称，则 的值为 【解答】解：ysin（2x+ ） （ ）的图象关于直线 x 对称，2 k ，k Z，即
16、k ， ，当 k0 时， ，故答案为： 16 【2018 年新课标 1 理科 16】已知函数 f（x ）2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 【解答】解：由题意可得 T2 是 f（x）2sinx +sin2x 的一个周期，故只需考虑 f（x ）2sinx +sin2x 在0 ，2 ）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得 f（x ）2cos x+2cos2x2cosx +2（2cos 2x1）2（2cos x1） （cosx+1） ，令 f（x）0 可解得 cosx 或 cosx1，可得此时 x ， 或 ；y2sin x+sin2x 的最小值只能在点 x ， 或 和边
17、界点 x0 中取到，计算可得 f（） ，f（）0，f （ ） ，f（0）0，函数的最小值为 ，故答案为： 17 【2018 年新课标 2 理科 15】已知 sin+cos1，cos+sin 0，则 sin（+） 【解答】解：sin+cos1，两边平方可得：sin 2+2sincos+cos21，cos+sin0，两边平方可得：cos 2+2cossin+sin20，由+得：2+2（sincos+cossin ）1，即 2+2sin（+ ）1，2sin（ +） 1sin（ +） 故答案为： 18 【2018 年新课标 3 理科 15】函数 f（x ）cos （3x ）在0，的零点个数为 【解答】
18、解：f（x ）cos （3x ）0，3x k，kZ，x k，k Z，当 k0 时，x ，当 k1 时，x ，当 k2 时，x ，当 k3 时，x ，x0， ，x ，或 x ，或 x ，故零点的个数为 3，故答案为：319 【2018 年北京理科 11】设函数 f（x ）cos （x ） （ 0） ，若 f（x ）f （）对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为 【解答】解：函数 f（x ）cos（x ） （0） ，若 f（x）f（）对任意的实数 x 都成立，可得： ，kZ，解得 ，k Z，0则 的最小值为：故答案为：20 【2017 年江苏 05】若 tan（ ） 则 tan 【解答】解：ta
19、n（ ）6tan6tan+1 ，解得 tan ，故答案为：21 【2017 年新课标 2 理科 14】函数 f（x ）sin 2x cosx （x0， ）的最大值是 【解答】解：f（x ）sin 2x cosx 1cos 2x cosx ，令 cosx t 且 t0，1，则 yt 2 t （t ） 2+1，当 t 时，f （t） max1，即 f（x）的最大值为 1，故答案为：122 【2017 年北京理科 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，若 sin ，则 cos（ ） 【解答】解：方法一：角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关
20、于 y 轴对称，sin sin ，cos cos，cos（） coscos+sinsincos 2+sin22sin 21 1方法二：sin ，当 在第一象限时，cos ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第二象限时，sinsin ，cos cos ，cos（） coscos+sinsin：sin ，当 在第二象限时，cos ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时，sinsin ，cos cos ，cos（） coscos+sinsin综上所述 cos（） ，故答案为：23 【2019 年浙江 18】设函数 f（x ）sinx，x R（）已知 0，2） ，函数 f（x +）是偶函数，求 的
21、值；（）求函数 y f（x ） 2+f（x ） 2 的值域【解答】解：（1）由 f（x ）sinx，得f（x ）sin（x ） ，f（x ）为偶函数， （kZ） ，0，2 ） ， 或 ，（2）yf（x ） 2+f（x ） 2sin 2（x ）+sin 2（x ）1，xR， ， ，函数 yf（ x ） 2+f（x ） 2 的值域为： 24 【2018 年江苏 16】已知 ， 为锐角，tan ，cos（+） （1）求 cos2的值；（2）求 tan（ ）的值【解答】解：（1）由 ，解得 ，cos2 ；（2）由（1）得，sin2 ，则 tan2 ，（0， ） ，+（0，） ，sin（ +） 则 ta
22、n（+ ） tan（ ） tan2（ +） 25 【2018 年浙江 18】已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（， ） （）求 sin（+ ）的值；（）若角 满足 sin（+） ，求 cos的值【解答】解：（）角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点P（ ， ） x ，y ，r |OP| ，sin（ +）sin ；（）由 x ，y ， r| OP|1，得 ， ，又由 sin（ +） ，得 ，则 coscos（+）cos（+）cos +sin（+）sin ，或 coscos（+）cos（+）cos +sin（+）sin cos
23、的值为 或 26 【2018 年上海 18】设常数 aR，函数 f（x ）asin2x+2cos 2x（1）若 f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若 f（） 1，求方程 f（x ）1 在区间 ，上的解【解答】解：（1）f（x ）asin2x+2cos 2x，f（x） asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）f（x ） ，asin2x+2cos 2xasin2 x+2cos2x，2asin2x0，a0；（2）f（） 1，asin 2cos2（）a+1 1，a ，f（x） sin2x+2cos2x sin2x+cos2x+12sin （2x ）+1，f（x）1 ，2sin（2x
24、）+11 ，sin（2x ） ，2x 2k，或 2x +2k，kZ，x +k，或 x +k，k Z，x ，x 或 x 或 x 或 x27 【2017 年江苏 16】已知向量 （cos x，sin x） ， （3， ） ，x0，（1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x） ，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值【解答】解：（1） （cos x，sin x） ， （3， ） ， cosx3sinx，当 cosx 0 时，sin x1，不合题意，当 cosx 0 时，tanx ，x0， ，x ，（2）f（x） 3cosx sinx2 （ cosx sinx）2 cos（x ） ，x0，
25、，x ， ，1cos（x ） ，当 x0 时，f（ x）有最大值，最大值 3，当 x 时，f（x）有最小值，最小值2 28 【2017 年浙江 18】已知函数 f（x ）sin 2xcos 2x2 sinx cosx（x R） （）求 f（ ）的值（）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数 f（x ）sin 2xcos 2x2 sinx cosx sin2xcos2x2sin（2x ）（）f（ ） 2sin（2 ）2sin 2，（） 2 ，故 T，即 f（x）的最小正周期为 ，由 2x 2k， 2k，kZ 得：x k， k， kZ，故 f（x）的单调递增区间为 k， k或写成
26、k ，k ，kZ1 【北京市东城区 2019 届高三下学期综合练习（二模)】如图，在平面直角坐标系 xOy中，角 与角均以 Ox为始边，终边分别是射线 OA 和射线 OB射线 OA，OC 与单位圆的交点分别为34,5A，(1,0)C.若 6B，则 cos的值是A3410B3410C4-310D4310【答案】C【解析】依题意，有：3cos5，4in=， ，1sin2，cs .故答案为：C.2 【安徽省江淮十校 2019 届高三年级 5 月考前最后一卷】已知函数 的一个零点是 4，且在0,内有且只有两个极值点，则（ ）A BC D【答案】C【解析】A 选项，因为 在0,4内为增函数，无极值点；不
27、满足题意；B 选项，由 得 ；由 得 ；所以函数 在0,12上单调递增，在,124上单调递减；故 在 4，内有一个极值点 ；不满足题意；C 选项，由 得 ；由 得 ；所以函数 在0,28上单调递增，在5,28上单调递减，在,284上单调递增；在04，内有极大值点 28，极小值点为528，满足题意；D 选项，由 得 ；由 得 ；所以函数 在0,4上单调递增；在5,4上单调递减，在59,4上单调递增，在9,4上单调递减，所以 在04，内有三个极值点 4，5，94，不满足题意.故选 C3 【广东省南海中学等七校联合体 2019 届高三下学期冲刺模拟】已知函数的周期为 ，当0,2x时，方程 fxm 恰
28、有两个不同的实数解 1x， 2，则 （ ）A2 B1 C1 D 2【答案】B【解析】由2T，得 2 作出函数 fx在0,2上的图象如图：由图可知， 123x， 故选 B 项4 【山东省淄博市部分学校 2019 届高三 5 月阶段性检测（三模)】已知函数 ，0，|)2的图象如图所示，若函数 的两个不同零点分别为 1x， 2，则 12|x的最小值为（ ） A23B 2C43D 【答案】A【解析】由图象可知， 2， ， 2T， 1， ，且1|2， 6， ，令 ，可得 ，解可得， ，或 ，或 ，则 12|x的最小值为 ，故选： A5 【湖北省黄冈市 2019 届高三 2 月联考】已知函数 的图象与直线
29、恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为 123,x，则（ ）A-2 B2 C-1 D1【答案】D【解析】由题意得， ，则 ，易知直线 过定点 0,，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点， ，则切线方程过点 ， ，即 ，则 ， .故选 D.6 【山东省泰安市教科研中心 2019 届高三考前密卷】如图是函数的部分图象，将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位长度得到 g（x）的图象，给出下列四个命题：函数 f（x）的表达式为 ；g（x）的一条对称轴的方程可以为 4x；对于实数 m，恒有 ；f（x）+g （x）的最大值为 2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个
30、D4 个【答案】B【解析】由图象知，A2， ，即 T ，则2，得 2，由五点对应法得 ，则 f（x）2sin（2x+ 3） ，故正确，当 x 3时，f（ ）2sin 0，则函数关于 x 3不对称，故错误，将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位长度得到 g（x）的图象，即 g（x）2sin2（x ）+ 32sin2x ，当 4时，g（ ）2sin（ 2）2 为最小值，则x是函数 g（x）的一条对称轴，故正确，f（x）+g（x）2sin（2x+ 3）+2sin2x2sinxcos 3+2cos2xsin 3+2sin2x3sin2x+ 3cos2x2 sin（2x+ 6） ，则 f（x）+g （
31、x）的最大值为 2 ，故错误，故正确的是，故选：B7 【宁夏石嘴山市第三中学 2019 届高三四模考试】已知曲线 向左平移 (0)个单位，得到的曲线 ()ygx经过点(,1)2，则（ ）A函数 ()的最小正周期TB函数 ygx在17,2上单调递增C曲线 关于点,03对称D曲线 ygx关于直线 6对称【答案】C【解析】由题意知：则 ， kZgx最小正周期2T，可知 A错误；当 时， ，此时 gx单调递减，可知 B错误；当23x=时， 且3cos02，所以2,03为 的对称中心，可知 C正确；当 6x时， 且cos02，所以,02为 gx的对称中心，可知 D错误.本题正确选项： C8 【甘肃省兰州
32、市第一中学 2019 届高三 6 月高考冲刺模拟】将函数 的图象向右平移2个单位长度得到 gx图像，则下列判断错误的是（ ）A函数 的最小正周期是 B gx图像关于直线712x对称C函数 gx在区间,63上单调递减 D 图像关于点,03对称【答案】C【解析】由题意，将函数 ()fx的图象向右平移 2个单位长度，可得 ，对于 A,函数的最小正周期为=2，所以该选项是正确的； 对于 B，令71x，则 为最大值，函数 ()g图象关于直线712x，对称是正确的；对于 C中，,63x，则 ， 0，则函数 ()g在区间,上先减后增， 不正确；对于 D中，令 3x，则 ，()g图象关于点(,0)对称是正确的
33、，故选： C9 【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019 届高三 5 月联合考】关于 x的方程 在(3,)内有且仅有 5个根，设最大的根是 ，则 与 tan的大小关系是（ ）A tanB tanC D以上都不对【答案】C【解析】由题意作出 ykx与 sin在 (3,)的图象，如图所示：方程 在 (3,)内有且仅有 5 个根，最大的根是 . 必是 ykx与 sin在 2,内相切时切点的横坐标设切点为 0,xy，则 0，斜率 0coskx则故选：C.10 【天津市部分区 2019 届高三联考一模】函数 的图象过点,06（如图所示） ，若将 fx的图象上所有点向右平移 6个单位长度，得到函数 gx
34、的图象，则 gx图象的一条对称轴的方程为（ ）A512xB23xC 4xD 12x【答案】D【解析】过,06， kZ,3或2，又 ， 向右平移 6个单位，得 ，即 ，令 ， ， kZ,0k时， 12x为 ygx的一条对称轴的方程，故选 D.11 【四川省名校联盟 2019 届高考模拟信息卷（一)】将函数 的图象向右平移12个周期后得到的函数为 gx，则 的图象的一条对称轴可以是（ ）A518xB56C 9xD 3x【答案】A【解析】解： 的周期为23，图象向右平移12个周期后得到的函数为 gx，则，由 ， kZ，得 ，kZ，取 0，得 518x为其中一条对称轴.故选 A.12 【天津市河北区 2019 届高三二模】已知函数 ，xR，给出下列四个命题：函数 f的最小正周期为 2；函数 的最大值为 1；函数 fx在,4上单调递增；将函数 f的图象向左平移12个单位长度，得到的函数解析式为 其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】 fx最小正周期2T，可知错误；，即 fx的最大值为，可知正确；当 时， ，此时 fx不单调，可知错误；fx向左平移 12个单位，即 ，可知正确.故正确命题个数为 个本题正确选项： B