1、湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团 2018-2019 学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1（3 分）方程 x22x 30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A1，2，3 B1，2，3 C1，2，3 D1，2，32（3 分）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ）Ay4x By4x Cyx4 Dy x 23（3 分）已知平行四边形 ABCD 中，B2A，则A（ ）A36 B60 C45 D804（3 分）某超市销售 A，B，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的销售情况如图所示，则这天
2、销售的矿泉水的平均单价是（ ）A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元5（3 分）若点 P 在一次函数 yx +4 的图象上，则点 P 一定不在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6（3 分）将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By3（x2） 22Cy 3（x +2） 2+4 Dy3（ x+2） 227（3 分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）A x（x1）36 B x（x+1）36Cx（
3、 x1）36 Dx（x+1）368（3 分）比较 A 组、B 组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（ ）AA 组、B 组平均数及方差分别相等BA 组、B 组平均数相等，B 组方差大CA 组比 B 组的平均数、方差都大DA 组、B 组平均数相等，A 组方差大9（3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x 22x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk 2 且 k110（3 分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ABCD，若测得 A，C之间的距离为 6cm，点 B， D 之间的距离为 8cm，则线段 AB 的长为（ ）A5
4、 cm B4.8 cm C4.6 cm D4 cm11（3 分）已知二次函数 yx 23x +m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x23x+ m0 的两实数根是（ ）Ax 11，x 21 Bx 11，x 23 Cx 11，x 22 Dx 11，x 2312（3 分）如图，抛物线 yax 2 x+4 与直线 y x+b 经过点 A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于另一点 E；点 N 在线段 AB 上，过点 N 的直线交抛物线于点 M，且 MNy 轴，连接 AM、BM、BC 、AC；当点 N 在线段 AB 上移动
5、时（不与 A、B 重合），下列结论中正确的是（ ）AMN+BNABBBACBAECACBANM ABCD四边形 ACBM 的最大面积为 13二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13（3 分）函数 y 的自变量 x 的取值范围为 14（3 分）如果一组数据 2，4，x，3，5 的众数是 4，那么该组数据的中位数是 15（3 分）如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线，点 E，F 分别是 BD，DC 的中点若AB 4，BC3 ，则 AE+EF 的长为 16（3 分）若函数 y ，则当函数值 y 8 时，自变量 x 的值等于 17（3 分）设 a、b 是方程 x2+x201
6、90 的两个实数根，则（a1）（b1）的值为 18（3 分）飞机着陆后滑行的距离 s（米）关于滑行的时间 t（秒）的函数解析式是s60t1.5t 2则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为 米三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分）19（6 分）解方程：x 23x220（6 分）已知一次函数 ykx4，当 x2 时，y 2，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标21（8 分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5
7、，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况组别 睡眠时间分组 人数（频数）1 7t8 m2 8t9 113 9t10 n4 10t11 4请根据以上信息，解答下列问题：（1）m ，n ，a ，b ；（2）抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 组（填组别）；（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于 9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数22（8 分）如图，在平行四边形 A
8、BCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为OB，OD 的中点，延长 AE 至 G，使 EGAE，连接 CG（1）求证：ABECDF；（2）当线段 AB 与线段 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由23（9 分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨，每生产 1 吨甲产品可获得利润 0.3 万元，每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元设该工厂生产了甲产品 x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为 y（万元）（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要 A
9、 原料 0.5 吨受市场影响，该厂能获得的 A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润24（9 分）在正方形 ABCD 中，连接 BD，P 为射线 CB 上的一个动点（与点 C 不重合），连接AP， AP 的垂直平分线交线段 BD 于点 E，连接 AE，PE 提出问题：当点 P 运动时，APE 的度数，DE 与 CP 的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点 P 的两个特殊位置：当点 P 与点 B 重合时，如图 11 所示，APE ，用等式表示线段 DE 与 CP 之间的数量关系： ；当 BPBC 时，如图 12 所示，中的结论
10、是否发生变化？直接写出你的结论： ；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点 P 的一般位置：依题意补全图 21，22，通过观察、测量，发现：（1）中的结论在一般情况下 （填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中的结论在一般情况下成立，请从图 21 和图 22 中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由25（10 分）已知抛物线 yx 2（m 4）x+3（m1）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C点（1）求 m 的取值范围；（2）若 m0，直线 ykx 1 经过点 A，与 y 轴交于点 D，且 ADBD5 ，求抛物线的解析式；（3）若 A 点在 B 点左边，在第一象限内，
11、（2）中所得到抛物线上是否存在一点 P，使直线 PA分ACD 的面积为 1：4 两部分？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由26（10 分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于P，则称 P 为这个函数的不变值时在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度 q 为零例如，图 1 中的函数 0，1 两个不变值，其不变长度 q 等于 1（1）分别判断函数 yx 3，y x 22 有没有不变值？如果有，请写出其不变长度：（2）函数 yx 2bx +1 且 1 b3，求
12、其不变长度 q 的取值范围；（3）记函数 yx 23x （xm ）的图象为 G1，将 G1 沿 xm 翻折后得到的函数图象记为 G2，函数 G 的图象山 G1 和 G2 两部分组成，若其不变长度 q 满足 0q4，求 m 的取值范围参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1【解答】解：一元二次方程 x22x30 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，3故选：C2【解答】解：y4x 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 A 不符题意，y4x 中 y 随 x 的增大而减小，故选项 B 符合题意，yx4 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 C 不符题意，yx
13、 2 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时， y 随 x 的增大而减小，故选项 D 不符合题意，故选：B3【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD，A+B180，B2A ，A60，故选：B4【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是 510%+315%+255%+120%2.25（元），故选：C5【解答】解：10，40，一次函数 yx +4 的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限点 P 在一次函数 yx +4 的图象上，点 P 一定不在第三象限故选：C6【解答】解：将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为：y3（x+2）2+1；再向
14、下平移 3 个单位为：y3（x+2） 2+13，即 y3（x+2） 22故选：D7【解答】解：设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x1） 36，故选：A8【解答】解：由图象可看出 A 组的数据为：3，3，3，3，3，1，1，1，1，B 组的数据为：2，2，2，2，3，0，0，0，0则 A 组的平均数为 A 3+3+3+3+3+（1）+（1）+（1）+（1）B 组的平均数为 B （2+2+2+2+3+0+0+0+0） A BA 组的方差 S2A （3 ） 2+（3 ） 2+（3 ） 2+（3 ） 2+（3 ）2+（1 ） 2+（1 ） 2+（1 ） 2+（1 ） 2B 组的方差 S2B
15、 （2 ） 2+（2 ） 2+（2 ） 2+（2 ） 2+（3 ）2+（0 ） 2+（0 ） 2+（0 ） 2+（0 ） 2S 2AS 2B综上，A 组、B 组的平均数相等，A 组的方差大于 B 组的方差故选：D9【解答】解：根据题意得 k+10 且（2） 24（k+1）（1）0，解得 k2 且 k1故选：C10【解答】解：如图，作 ARBC 于 R，ASCD 于 S，连接 AC，BD 交于点 O，由题意知，ADBC，AB CD，四边形 ABCD 是平行四边形两张纸条等宽，ARAS ARBCASCD ，BCCD，平行四边形 ABCD 是菱形，ACBD在 Rt AOB 中，OA3，OB4，AB
16、5故选：A11【解答】解：将点（1，0）代入 yx 23x +m，解得 m2，yx 23x+2，x 23x+20 的两个根为 x1，x2；故选：C12【解答】解：将点 A（2，0）代入抛物线 yax 2 x+4 与直线 y x+b解得：a ，b ，设：M 点横坐标为 m，则 M（m， m2 m+4）、N（m， m ），其它点坐标为 A（2，0）、B（5，4）、C （0，4），则 ABBC5 ，则CAB ACB，ABC 是等腰三角形A、当 MN 过对称轴的直线时，此时点 M、N 的坐标分别为（ ， ）、（ ， ），由勾股定理得：BN ，而 MN ，BN+MN5AB，故本选项错误；B、BCx 轴（
17、B、C 两点 y 坐标相同），BAE CBA，而ABC 是等腰三角形不是等边三角形，CBABCA，BACBAE 不成立，故本选项错误；C、如上图，过点 A 作 ADBC、BEAC ，ABC 是等腰三角形，EB 是ABC 的平分线，易证：CADABE ABC，而ACBANMCAD ABC，故本选项正确；D、S 四边形 ACBMS ABC +SABM ，SABC 10，SABM MN（x Bx A）m 2+7m10，其最大值为 ，故 S 四边形 ACBM 的最大值为 10+ 12.25，故本选项错误故选：C二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13【解答】解：由题意得，x+10
18、，解得 x1故答案为：x114【解答】解：因为这组数据的众数是 4，x4，则数据为 2、3、4、4、5，所至这组数据的中位数为 4，故答案为：415【解答】解：点 E，F 分别是 BD，DC 的中点，FE 是BCD 的中位线，EF BC1.5，BAD90，AD BC3，AB 4，BD5，又E 是 BD 的中点，RtABD 中，AE BD2.5，AE+EF2.5+1.54，故答案为：416【解答】解：当 x2 时，x 2+18，解得：x ；当 x2 时，2x8，解得：x4故答案为：4 或 17【解答】解：a、b 是方程 x2+x20190 的两个实数根，a+b1，ab2019，（a1）（b1）a
19、b（a+b）+12019+1+12017故答案为：201718【解答】解：s60t1.5 t21.5（t20） 2+600，则当 t20 时，s 取得最大值，此时 s600，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m 故答案为：600三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分）19【解答】解：x 23x +20，（x1）（x2）0，x1 或 x2；20【解答】解：一次函数 ykx4，当 x2 时，y 2，22k4，解得 k1，一次函数的解析式为 yx 4当 y0 时，x 4；当 x0 时，y4，该直线与 x 轴交点的坐标是（4，0），与 y 轴的交点坐标是（0，4）21【解答】解：（1
20、）7t8 时，频数为 m7；9t10 时，频数为 n18；a 100%17.5%；b 100%45%；故答案为：7，18，17.5%，45%；（2）由统计表可知，抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数，落在第 3 组；故答案为：3；（3）该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 800 440（人）；答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 440 人22【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，OB OD，OA OC，ABE CDF，点 E，F 分别为 OB，OD 的中点，BE OB，DF OD，BEDF ，在AB
21、E 和CDF 中，ABE CDF（SAS）；（2）解：当 AC2AB 时，四边形 EGCF 是矩形；理由如下：AC2OA，AC2AB ，ABOA ，E 是 OB 的中点，AGOB ，OEG 90 ，同理：CFOD，AGCF，EGCF，EGAE，OAOC，OE 是ACG 的中位线，OECG，EFCG，四边形 EGCF 是平行四边形，OEG 90 ，四边形 EGCF 是矩形23【解答】解：（1）y0.3x+0.4（2500x ）0.1x +1000因此 y 与 x 之间的函数表达式为：y 0.1x+1000（2）由题意得：1000x2500又k0.10y 随 x 的增大而减少当 x1000 时，y
22、 最大，此时 2500x 1500，因此，生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，利润最大24【解答】解：（1）当点 P 与点 B 重合时，如图 11 所示，四边形 ABCD 是正方形，APE 45，EAEBED，PC DE当 BPBC 时，如图 12 所示，中的结论不发生变化；故答案为 45，PC DE，不变化，成立；（2）如图 21，如图 22 中，结论仍然成立；（3）如图 21 中或 22 中，作 EFAD 于 F，延长 FE 交 BC 于 G，连接 AC、EC点 E 在线段 AP 的垂直平分线上，EAEP，四边形 ABCD 是正方形，BD 是 AC 的垂直平分线，EAEC，E
23、ACECA，BABC，BACBCA，EAB ECB，EAEP，EAEC，EPEC，EPCECP，EPC+ EPB 180，BAE +EPB180，ABP +AEP180，ABP 90，AEP 90，APE PAE45，EFAD ，DFG 90 ，BCDADC90，四边形 FGCD 是矩形，CGFD，FGC90，BDA45，FD DE，EPEC，CP2CG2DF DE25【解答】解：（1）抛物线与 x 轴有两个不同的交点，（m4） 2+12（m1）m 2+4m+4（m+2） 20，m2（2）yx 2（m4）x+3（m1）（x3）（x+m1），抛物线与 x 轴的两个交点为：（3，0），（1m ，0
24、）；则：D（0，1），则有：ADBD 5 ，解得：m2（舍去）或1，m1，抛物线的表达式为：yx 2+5x6 ；（3）存在，理由：如图所示，点 C（0，6），点 D（0，1），点 A（2，0），直线 PA 分ACD 的面积为 1：4 两部分，即 DH：HC1：4 或 4：1，则点 H（0，2）或（0， 5），将点 H、A 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 HA 的表达式为：yx2 或 y x5，联立并解得： x 或 2，故点 P（ ， ）或（2，0）26【解答】解：（1）由题意得：yx3x ，无解，故不存在不变值；yx 22x，解得： x2 或1，故存在不变值，q2（1）3；（2）由题意得
25、：yx 2bx +1x，解得：x ，q ，1b3，解得：0q2 ；（3）由题意得：yx 23x 沿 xm 对翻折后，新抛物线的顶点为（2m ， ），则新函数 G2 的表达式为：yx 2（4m3）x+（4m 26m），当 yx 时，整理得：x 2（ 4m2）x+（4m 26m）0，x2m1 ，即 G2 的不变点是 2m1+ 和 2m1 ；G1 的不变点是：0 和 4；故函数 G 的不变点为：2m1+ 、2m1 、0、4，这 4 个不变点最大值的可能是 2m1+ 、4，最小值可能 2m1 、0，当 xm 为 G1 对称轴 x 的左侧时，当最大值为 2m1+ 时，当最小值为 2m1 时，即：02m1+ （2m1 ）4，解得：0m ；当最小值为 0 时，同理可得：0m ；当最大值为 4 时，最小值为 2m1 即可（最小值为 0，符合条件），即 04（2m1 ） 4，解得：m ；综上：0m ；当 xm 为 G1 对称轴 x 的右侧时，同理可得： m ；故：0m