1、单元素养评价(三)(第四章)(120 分钟 150 分)一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 ( )【解析】选 C.能用二分法求零点的函数必须在给定区间a,b上连续不断,并且有 f(a)f(b)0,a1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( )A.a>1,c>1 B.a>1,01 D.01,即 c>0,当 x=0 时 loga(x+c)=logac>0,即 c0,可得函数 f(x)在 上有零点.
2、(0,1)6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:万元)对年销售量 y(单位:t)的影响,对近 6 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1,2,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的拟合函数的是 ( )A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1 D.y=2 【解析】选 B.根据表中数据可得函数随着 x 的增长而增长,且增长速度越来越趋向于平
3、缓,显然 y=0.5(x+1)与 y=2x-1 不符合,当 x=1 时,y=log 31+1.5=1.5,y=2=2,当 x=3 时,y=log 33+1.5=2.5,y=2 3.5,故适宜作为年销售量 y 关于年宣1 3传费 x 的拟合函数的是 y=log3x+1.5.7.函数 y= 的值域是 ( )3-1A.2,+) B.(2,+)C.(0,1 D.1,+)【解析】选 D.由于 0,所以函数 y= 30=1,故函数的值域为-1 3-11,+).8.为了求函数 f(x)=2x+3x-7 的一个零点,某同学利用计算器得到自变量 x 和函数 f(x)的部分对应值,如表所示:x 1.2
4、5 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5f(x) -0.673 4 -0.287 4 0.123 10.559 91.024 6则方程 2x+3x=7 的近似解(精确度 0.1)可取为 ( )A.1.32 B.1.39 C.1.4 D.1.3【解析】选 A.由题表知 f(1.312 5)f(1.375)0),则 f(3)的值是( )A.128 B.256 C.512 D.8【解析】选 B.设 log2x=t,则 x=2t,所以 f(t)= ,即 f(x)= ,则 f(3)= =28=256.22 22 22310.甲、乙二人从 A 地沿同一方向去 B 地,
5、途中都使用两种不同的速度 v1与v2(v10,22+6,0, ( )A.-2 B.2 C.6 D.3【解析】选 A、B.因为 f(x)= f(a)=2,2(+2),>0,22+6,0, 所以当 a>0 时,f(a)=log2(a+2)=2,解得 a=2;a0 时,f(a)= =2,22+6解得 a=-2 或 a=6(舍),综上,a=2.12.方程 x3+3x-m=0 在0,1上有实数根,则 m 可取的值有( )A.0 B.-2 C.3 D.5【解析】选 A、C.方程 x3+3x-m=0,化为 x3+3x=m,令 f(x)=x3+3x,则 f(x)在0,1上单
6、调递增,所以 f(x)的值域为 0,4,方程 x3+3x-m=0 在0,1 上有实数根,即 f(x)在0,1上与 y=m 有交点,所以 m0,4.13.设函数 f(x)= 若 f(x)-b=0 有三个不等实数根,则1+(-1),>1,3|,1, b 可取的值有( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B、C.作出函数 f(x)= 的图象如图:1+(-1),>1,3|,1 f(x)-b=0 有三个不等实数根,即函数 y=f(x)的图象与 y=b 有 3 个不同交点,由图可知,b 的取值范围是(1,3,故 b 可取 2,3.【加练固】(多选题)若关于 x 的方程 x2
7、-4|x|+5=m 有四个不同的实数解,则实数 m 可取的值有 ( )A.1 B.2 C.4 D.6【解析】选 B、C.因为关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不同的实数解,所以令 f(x)=|x|2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,h(x)=m,画出函数 f(x)的图象,因为要使 f(x)的图象与 h(x)的图象有四个交点,则直线 h(x)=m 应该在直线 l 和直线 n 之间,所以 11.(1)若 f(1)=3,则实数 a=_. (2)若函数 y=f(x)-2 有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是_.【解析】(1)由 f(1)=12-a=3 得,a=-2.
8、(2)当 x>1 时,f(x)=log 3 x,由 f(x)=2 得,log 3x=2,得 x=9 满足 x>1,当 x1 时 f(x)=x2-ax,因为 y=f(x)-2 有且仅有两个零点,所以 f(x)=2 有且仅有两个实根,所以 x2-ax-2=0 在(-,1上有且仅有一个实根, 令 g(x)=x2-ax-2,则 g(1)-1.答案:(1)-2 (2)(-1,+)四、解答题(本大题共 6 小题,共 82 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12 分)(1)已知 log2(16-2x)=x,求 x 的值.(2)计算: +810.75- +log57
9、log725.(-15-3)0 (-3)2 823【解析】(1)因为 log2(16-2x)=x,所以 2x=16-2x,化简得 2x=8,所以 x=3.(2)原式=1+(3 4 -3(23 + )34 )2375257=1+27-12+2=18.19.(14 分)已知函数 f(x)=2x-1+a(a 为常数,且 aR)过点(1,2).(1)求 a 的值.(2)若 f(x)2 x,求实数 x 的取值范围.【解析】(1)f(1)=2 0+a=1+a=2,解得 a=1.(2)由 f(x)=2x-1+1= +12x,得 1,即 2x-11=20,即 x-10,解得 x1,22 22因此,实数 x 的
10、取值范围是(-,1.20.(14 分)某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e- t ,其中N0, 是正的常数,e 为自然对数的底数.(1)判断函数是增函数还是减函数.(2)把 t 表示成原子数 N 的函数.【解析】(1)由已知可得 N=N0 ,(1 )因为 是正的常数,e>1,所以 e >1,即 00 恒成立,即对于任意 bR,b2-4ab+4a>0 恒成立,所以有(-4a) 2-4(4a)0. (1)计算 f 的值.(214)(2)讨论函数 f(x)的单调性,并写出 f(x)的单调区间.(3)设函数 g(x)=f(x)+c,若函数 g(
11、x)有三个零点,求实数 c 的取值范围.【解析】(1)由已知得 f =f(-2)(214)=-2(-2)2-4(-2)+1=1.所以 f =f(1)=1+1=2.(214)(2)当 x0 时,f(x)=-2x 2-4x+1=-2(x+1)2+3.根据抛物线的性质知,f(x)在区间(-,-1)上单调递增,在区间-1,0 上单调递减;当 x>0 时,f(x)=x+1,显然 f(x)在区间 (0,+)上单调递增.综上,f(x)的单调增区间是(-,-1)和(0,+),单调减区间是-1,0.(3)作出 f(x)的图象,如图 :函数 g(x)有三个零点,即方程 f(x)+c=0 有三个不同实根 ,又方程 f(x)+c=0 等价于方程 f(x)=-c,所以当 f(x)的图象与直线 y=-c 有三个交点时, 函数 g(x)有三个零点.数形结合得,c 满足:1<-c<3,即-3<c<-1.因此,函数 g(x)有三个零点,实数 c 的取值范围是(-3,-1)