1、单元素养评价(二)(第三章)(120 分钟 150 分)一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列函数:(1)y= ;(2)y= ;(3)y=1(-1x0,故 m=3.3.下列函数是奇函数的是 ( )A.y=2x2-3 B.y= C.y=x,x0,1 D.y=x【解析】选 D.A 中函数为偶函数,B,C 中函数定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,D 中函数定义域为 R,图象关于原点对称,为奇函数.4.函数 f(x)= 则 f 的值为 ( )1-2,1,2-3,>1, (1
2、(3)A. B.- C. D.181516 2716 89【解析】选 C.由题意得 f(3)=32-3-3=3,那么 = ,1(3)13所以 f =f =1- = .(1(3) (13) (13)2895.已知函数 f(x)=-x,则下列选项错误的是 ( )A.f(x+1)=f(x)+1 B.f(3x)=3f(x)C.f(f(x)=x D.f =(1) 1()【解析】选 A.根据题意,依次分析选项:对于 A,f(x+1)=-(x+1)=-x-1,f(x)+1=-x+1,f(x+1)f(x)+1,错误;对于 B,f(3x)=-3x,3f(x)=3(-x)=-3
3、x,f(3x)=3f(x),正确;对于 C,f(x)=-x,f(f(x)=-(-x)=x,正确;对于 D,f =- =- , = =- ,(1) (1) 11() 1-1则 f = ,正确.(1) 1()6.函数 f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为 ( )A.3,+) B.(-,2),(4,+)C.(2,3),(4,+) D.(-,2,3,4【解析】选 C.函数 f(x)=|x2-6x+8|,当 x2-6x+8>0,即 x>4 或 x0,故 D 错误;x0 恒成立;x>1 时,y4 800 时,f(x)=2 439.84+0.78
4、8 3(x-4 800),故均正确; 综上所述,正确的是.二、多项选择题(本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得 4 分,选对但不全的得 2 分,有选错的得 0 分)11.对于集合 A=x|0x2,B=y|0y3,则由下列图形给出的对应关系中,能构成从 A 到 B 的函数的有 ( )【解析】选 A、C、D.根据函数的定义可知,A,C,D 中的图形给出的对应关系能构成从 A 到 B 的函数.12.下列关于函数 y=ax+1,x0,2的说法正确的是 ( )A.当 a0 时,此函数的最大值为 1,最小值
5、为 2a+1D.当 a>0 时,此函数的最大值为 2a+1,最小值为 1【解析】选 A、D.当 a0 时,一次函数 y=ax+1 在区间0,2上单调递增 ,当 x=0 时,函数取得最小值为 1,当 x=2 时,函数取得最大值为 2a+1.13.设函数 f(x)的定义域为 A,且满足任意 xA 恒有 f(x)+f(2-x)=2 的函数可以是 ( )A.f(x)=2-x B.f(x)=(x-1)2C.f(x)= D.f(x)=(x-2)3-1【解析】选 A、C.方法一:A 项,f(x)+f(2-x)=2-x+2-(2-x)=2 为定值,故 A 项正确;B 项 ,f(x)+f(2-
6、x)=2(x-1)2 不为定值,故 B 项错误;C 项,f(x)+f(2-x)= + = =2,符合题意 ,故 C 项正确;-12-1-2-2-1D 项,f(x)+f(2-x)=(x-2) 3-x3 不为定值,故 D 项不正确.方法二:因为任意 xA 恒有 f(x)+f(2-x)=2,所以函数的图象关于点(1,1)中心对称,函数 f(x)=2-x 的图象是过点(1,1)的直线, 符合题意; 函数 f(x)= =1+ 的图-1 1-1象关于点(1,1) 中心对称 ,符合题意;B,D 项的两个函数的图象都不是关于点(1,1)的中心对称图形,不符合题意.三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分
7、,共 16 分,将答案填在题中的横线上)14.已知函数 f(x)= ,则 f(1)=_,函数 y=f(x)的定义域为_. 5-【解析】由题意得,f(1)= =2,由 解得 x5 且 x0,所以函数 y=f(x)4 5-0,0, 的定义域为(-,0)(0,5.答案:2 (-,0)(0,515.已知 3f(x)+2f(-x)=x+3,则 f(x)的解析式为_. 【解析】因为 3f(x)+2f(-x)=x+3,用-x 替换 x 得:3f(-x)+2f(x)=-x+3,3-2 得:5f(x)=5x+3,所以 f(x)=x+ .35答案:f(x)=x+3516.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)
8、= 在区间1,2上都单调递减,则实数 a 的取值范+1围为_.【解析】因为 f(x)=-x2+2ax 在1,2 上单调递减 ,且函数 f(x)的图象的对称轴为x=a,所以 a1,因为 g(x)= 在区间1,2上单调递减, 所以 a>0,综上知,a 的取值+1范围为(0,1.答案:(0,117.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足以下两个条件:在(-,0上单调递减;f(1)=-2.则使不等式 f(x+1)-2 成立的 x 的取值范围是_.【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-,0上单调递减,f(1)=-2,则由 f(1+x)-2,即 f(1+x)f(1),可得:|
9、x+1|1, 解得:-2x0.答案:-2x0四、解答题(本大题共 6 小题,共 82 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.(12 分)已知函数 f(x)= .1+21-2(1)求函数 f(x)的定义域.(2)判定 f(x)的奇偶性并证明.【解析】(1)由 1-x20,得 x1,即 f(x)的定义域为 x|x1.(2)f(x)为偶函数 .证明如下 :由(1)知 f(x)的定义域为x|x1,因为xx|x1, 都有 -xx|x1,且 f(-x)= = =f(x),1+(-)21-(-)21+21-2所以 f(x)为偶函数 .19.(14 分)已知函数 f(x)=2+2-3,0.(1)求
10、 f(-4),f(5)的值.(2)画出函数 f(x)的图象,并直接写出处于图象上升阶段时 x 的取值集合.(3)当 x-2,0时,求函数的值域.【解析】(1)因为-40,所以 f(-4)=(-4)2+2(-4)-3=5,f(5)=-5-3=-8.(2)如图所示,图象上升时 x 的取值集合为x|-1x0.(3)当 x-2,0时,函数的值域为-4,-3.20.(14 分)若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.(1)求 f(x)的解析式.(2)若 g(x)=f(x)-mx 在2,4上是单调函数,求实数 m 的取值范围.【解析】(1)设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+b
11、x+c(a0),由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1.因为 f(x+1)-f(x)=2x,所以 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即 2ax+a+b=2x,根据系数对应相等 所以2=2,+=0, =1,=-1,所以 f(x)=x2-x+1.(2)因为 g(x)=f(x)-mx=x2-(1+m)x+1 的图象关于直线 x= 对称,1+2又函数 g(x)在2,4上是单调函数,所以 2 或 4,解得 m3 或 m7,1+2 1+2故 m 的取值范围是(-,37,+).21.(14 分)定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x(-,0时,f(x)=-
12、x 2+4x-1.(1)求函数 f(x)在 x(0,+)上的解析式.(2)求函数 f(x)在 x-2,3上的最大值和最小值.【解析】(1)根据题意,设 x>0,则-x0,-2+4-1,0,y=f(x)在 x-2,0上单调递增 ,在 x0,3上单调递减,则 f(x)max=f(0)=-1;f(x)min=minf(-2),f(3)=f(3)=-22,函数 f(x)在 -2,3上的最大值是-1,最小值是-22.22.(14 分)设函数 f(x)= -5x+a 为定义在(-,0)(0,+)上的奇函数.+43(1)求实数 a 的值.(2)判断函数 f(x)的单调性,并用定义法证明 f(x)在(0
13、,+)上的单调性.【解析】(1)因为 f(x)是奇函数,x0,所以 f(-x)=-f(x),所以- +5x+a=- +5x-a,+43 +43所以 2a=0,所以 a=0,经检验 a=0 为所求.(2)f(x)= -5x 的单调减区间为(-,0)和(0,+),没有单调增区间,43当 x>0 时,设 00,(4321+5)所以 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在 (0,+)上单调递减.23.(14 分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当 S 中x%(040,1 800即(x-20)(
14、x-45)>0,解得 x45,所以 45<x<100,所以当 x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当 0<x30 时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40- ,10当 30<x<100 时,g(x)= x%+40(1-x%)= - +58,(2+1 800 -90) 2501310所以 g(x)= 40-10,0<30,250-1310+58,30<<100,当 0<x30 时,g(x)=40- 单调递减,g(30)=37,10当 30<x<100 时,g(x)= - +58= (x-32.5)2+36.875,且 g(30)=37,2501310 150所以函数 g(x)在(0,32.5)上单调递减,在(32.5,100)上单调递增,实际意义:说明该地上班族 S 中小于 32.5%的人自驾时, 随着自驾占比增大,人均通勤时间是递减的;大于 32.5%的人自驾时,随着自驾占比增大,人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为 32.5%时,人均通勤时间最短.