1、24.2 直线和圆的位置关系,第2课时 切线的判定与性质,导入新课,情境引入,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？,都是沿切线方向飞出的.,生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.,B,C,问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？,观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？,O,讲授新课,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,OA为O的半径,BC OA于A,BC为O的切线,B,C,O,要点归纳,判一判：下列各直线是不是圆的切线？
2、如果不是，请说明为什么？,(1)不是，因为没有垂直.,(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;,2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；,3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,要点归纳,例1：如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是O的切线.,解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.,证明：AB=AC，ABC45，,ACBABC45.,BAC=180-ABC-ACB=
3、90.,AB是O的直径，, AC是O的切线.,例2 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可.,证明：连接OC(如图). OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ABOC. OC是O的半径, AB是O的切线.,例3 如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是O 的切线,B,O,C,E,A,分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半
4、径，因此只需要证明OF=OE.,证明：连接OE ，OA, 过O 作OF AC.,O 与AB 相切于E ， OE AB.,又ABC 中，AB AC ，O 是BC 的中点,AO 平分BAC，,F,B,O,C,E,A,OE OF.,OE 是O 半径，OF OE，OF AC.,AC 是O 的切线,又OE AB ，OFAC.,如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB 求证：直线AB是O的切线.,C,B,A,O,如图，OAOB=5，AB8, O的直径为6. 求证：直线AB是O的切线.,B,A,O,对比思考,？,作垂直,连接,方法归纳,(1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直
5、,证半径.,证切线时辅助线的添加方法,有切线时常用辅助线添加方法,见切点，连半径，得垂直.,切线的其他重要结论,(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;,(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.,要点归纳,思考：如图，如果直线l是O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？,直线l是O 的切线，A是切点，,直线l OA.,小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.,（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于O的半径,因此,CD与O相交.这与已知条件“直线与O相切”相矛盾.,（3）所以AB与CD垂直.,证法1
6、：反证法.,性质定理的证明,反证法的证明视频,证法2：构造法.,作出小O的同心圆大O，CD切小O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径,1.如图：在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点B，若ABN=30，则AOB= .2.如图AB为O的直径，D为AB延长线上一点，DC与O相切于点C，DAC=30， 若O的半径长 1cm，则CD= cm.,60,练一练,利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.,方法总结,例4 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于B、C两点
7、，P30，连接AO、AB、AC. (1)求证：ACBAPO； (2)若AP ，求O的半径,解析：(1)根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，则C=30=P，即AC= AP；这样就凑齐了角边角，可证得ACBAPO；,(2)由已知条件可得AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.,(1)求证：ACBAPO；,在ACB和APO中， BACOAP，ABAO，ABOAOB， ACBAPO.,(1)证明：PA为O的切线，A为切点，,又P30，AOB60， 又OAOB，AOB为等边三角形 ABAO，ABO60.,又BC为O的直径，BAC90.,OAP90
8、.,(2)若AP ，求O的半径,AO1， CBOP2， OB1，即O的半径为1.,(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，,当堂练习,1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）,3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（ ） A40 B35 C30 D45,2.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO
9、=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .,P,O,第3题,D,A,B,C,相切,C,4.如图, O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？,P,B,A,解：连接OB，则OBP=90.,设O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.,在RtOBP中，,OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.,解得 r=3，,即O的半径为3.,证明：连接OP.AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.,5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交 边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是O的
10、切线.,O,A,B,C,E,P,6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.求证：CD与O相切,证明：连接OM，过点O作ONCD于点N， O与BC相切于点M， OMBC. 又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， OMON， CD与O相切,M,N,7.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ . （2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.,BAEF,CAE=B,证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径. D+ DAC=90 , D与B同对 , D= B, 又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90, EF是O的切线.,D,切线的 判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1个公共点，则相切,d=r，则相切,经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的 性质,证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.,有1个公共点,d=r,性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径,有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.,课堂小结,