1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.4 圆周角,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角, BOC.,导入新课,问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?,A,BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.,复习引入,思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,
2、B,A,A,判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.,（2）,（1）,（3）,（5）,（6）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边AC没有和圆相交,如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.,测量与猜测,圆心O 在BAC的 内部,圆心O在BAC的一边上,圆心O在BAC 的外部,推导与论证,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）,OA=OC,A= C,BOC= A+ C,圆心O在BAC的内部,圆心O在BAC的外部,圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；,要点归纳,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，
3、AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,互动探究,BAC=BDC,相等,问题2 如图，若 A与B相等吗？,相等,想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？,(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？,同弧或等弧所对的圆周角相等.,知识要点,试一试： 1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.,(1)BOC= ，理由 是 ; (2)BDC= ，理由是 .,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,(1)完成下列填空：1= .2= .3= .5= .,2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD
4、为四边形ABCD的对角线.,4,8,6,7,想一想,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？,解：OA=OB=OC， AOC、BOC都是等腰三角形., OAC=OCA，OBC=OCB.,又 OAC+OBC+ACB=180., ACB=OCA+OCB=1802=90.,圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.,知识要点,典例精析,例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.,解：AB是O的直径， ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）,ABC=180-A-ACB=180
5、-90-80=10.,例2 如图，分别求出图中x的大小.,60,x,30,20,x,解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.,A,D,B,E,C,(2)连接BF，,F,同弧所对圆周角相等，,ABF=D=20，FBC=E=30.,x=ABF+FBC=50.,例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；,（2）若ADC的平分线交O于B, 求AB、BC的长,B,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，,(2) AC是直径, ABC=90.BD平分ADC,ADB=CDB. 又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB,AB=BC.,如图，BD是O的直径，CBD30
6、，则A的度数为( ) A30 B45 C60 D75,解析：BD是O的直径， BCD90. CBD30， D60，AD60.故选C.,方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,练一练,C,例4 如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P, ACD=60,ADC=70.求APC的度数.,解:连接BC,则ACB=90,DCBACBACD 9060=30.,又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100.,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形ABC
7、D的外接圆.,探究性质,猜想：A与C, B与D之间 的关系为：,A+ C=180， B+ D=180,想一想： 如何证明你的猜想呢？, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,证明猜想,归纳总结,推论：圆的内接四边形的对角互补.,C,O,D,B,A, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,E,延长BC到点E，有,BCDDCE180.,ADCE.,想一想,图中A与DCE的大小有何关系？,归纳总结,推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.,C,O,D,B,A,E,1四边形ABCD是O的内接四边形，且A=110，B
8、=80，则C= ，D= . 2O的内接四边形ABCD中，ABC=123 ，则D= .,70,100,90,练一练,例5：如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G. 求证：FGDADC.,证明：四边形ACDG内接于O，FGDACD. 又AB为O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD， ACAD， ADCACD， FGDADC.,方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据,如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是( ) A120 B100 C80 D60,解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.,练一练,A,解：设A，B，C的度数分
9、别对于2x，3x，6x，,例6 在圆内接四边形ABCD中， A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.,四边形ABCD内接于圆，, A+ C=B+D=180，,2x+6x=180，, x=22.5., A=45， B=67.5， C =135，D=180-67.5=112.5.,1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ）,当堂训练,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50, ABC=47, 则AOB= ,166,3.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的
10、度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60,A,【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.,4.如图，四边形ABCD内接于O,如果BOD=130,则BCD的度数是（ ） A 115 B 130 C 65 D 50 5.如图，等边三角形ABC内接于O，P是AB上的一点，则APB= .,C,120,6.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角 ACB= ，ADB= .,130,50,7.如图，ABC的顶点A、B、C 都在O上，C30 ，AB2， 则O的半径是 .,解：连接OA、OB,C=30 ，AOB=60 ,又OA=O
11、B ，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2，即半径为2.,2,ACB=2BAC,证明：,8. 如图，OA，OB，OC都是O的半径，AOB= 2BOC. 求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC，,9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？,解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外） ，与两个灯塔的夹角小于“危险角”.,拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交
12、AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： .,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC， BD=CD.,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.,解:BD=CD.理由是:连接AD,圆心角,类比,圆周角,圆周角定义,圆周角定理,课堂小结,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.,1.90的圆周角所对的弦是直径； 2.圆内接四边形的对角互补.,1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）,圆周角与直 线的关系,半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.,