1、北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元测试题一选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1如图，是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF 和 DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 EF4，AH12，那么 AB 等于（ ）A30 B25 C20 D152勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A B C D3如图，在 RtABC 中，ACB 90 ，正
2、方形 AEDC，BCFG 的面积分别为 25 和 144，则AB 的长度为（ ）A13 B169 C12 D54如图所示，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是（ ）A4 B8 C12 D165下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）A1， 2，3 B4，6，8 C6，8， 10 D13，14，156在ABC 中，A 、B、C 的对边分别为 a、b、 c，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）Aa 3 2，b 42，c5 2 Ba9，b12，c 15CA：B：C5 ：2： 3 DCBA7下列各组数据中，
3、能做为直角三角形三边长的是（ ）A1、 2、3 B3、5、7 C3 2、4 2、5 2 D5 、12、138下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）A3， 4，5 B5，7，9 C8，15，17 D7 ，24，259如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）米路，却踩伤了花草A1 B2 C5 D1210如图所示，有一个高 18cm，底面周长为 24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底 1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（
4、 ）A16cm B18cm C20cm D24cm二填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若（a+b ） 221，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为 12如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C 的面积和是 9，则正方形 D 的边长 13已知，点 O 为数轴原点，数轴上的 A，B 两点分别对应3 ，3，以 AB 为底边作腰长为 4
5、 的等腰ABC，连接 OC，以 O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，则点 M 对应的实数为 14如图，在ABC 中，BC5，AC12，AB13，则 SABC 15如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA （点 A，B，P 是网格线交点）16探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（ 5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），请写出第 6 个数组： 17如图，一木杆在离地面 1.5m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 2m 处，则木杆折断之前的高为 （m）18如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶上
6、两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm三解答题（共 7 小题，共 66 分）19如图是边长为 1 的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：S 1 ，S 2 ，S 3 ，S 1+S2S 3即 2+ 2 220如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B 、C、D 都在格点上（1）线段 AB 的长是 ；（2）在图中画出一条线段 EF，使 EF 的长为 ，并判断 AB、CD、EF 三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由21如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB3，BC4，C
7、D12，AD13 ，B90求阴影部分的面积22已知：整式 A（n 21） 2+（2n） 2，整式 B0尝试 化简整式 A发现 AB 2，求整式 B联想 由上可知，B 2（n 21） 2+（2n） 2，当 n1 时，n 21，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图填写下表中 B 的值：直角三角形三边 n21 2n B勾股数组 / 8 勾股数组 35 / 23学校要对如图所示的一块地 ABCD 进行绿化，已知 AD4 米，CD 3 米，ADDC，AB13 米，BC12 米（1）若连接 AC，试证明：ABC 是直角三角形；（2）求这块地的面积24小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点 C 出发，
8、以 4 米秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 B 出发，以 3 米秒的速度由南向北行驶（如图）已知赛车之间的距离小于或等于 25 米时，遥控信号会产生相互干扰，AC40 米，AB30 米（1）出发 3 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？25如图，长方体的底面积为 30cm2，长、宽、高的比为 3：2 ：1，则：（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？（2）长方体的表面积和体积分别是多少？（3）若一只蚂蚁从顶点 A 沿长方体表面爬行到顶点 B，直接写出从点 A 爬行到点 B 的最短路程是 cm参考答案一选择题1解：ABHBCG ，BGAH12
9、，四边形 EFGH 都是正方形，HGEF4，BH 16，在直角三角形 AHB 中，由勾股定理得到：AB 20故选：C2解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B3解：AB 13，故选：A4解：在 RtABD 中，ADB90，AB 2100， BD236，AD 21003664，AD8 ，以 AD 为直径的半圆的面积是 （ AD） 2 AD28故选：B5解：A、1 2+2253 2，故不能组成直角三角形，错误；B、4 2+628 2，故不能组成直角三角形，错误；C、6 2+8210 2，故能组成直角三角形，正确；D、13 2+14215 2，故
10、不能组成直角三角形，错误故选：C6解：A、9 2+16225 2，不能构成直角三角形，故选项正确；B、9 2+12215 2，能构成直角三角形，故选项错误；C、A：B：C5 ：2：3，A+B+C180，最大角A 90 ，能构成直角三角形，故选项错误；D、CBA ，CB+A ，最大角C90，能构成直角三角形，故选项错误故选：A7解：A、1 2+223 2，所以以 1、2 、3 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、3 2+527 2，所以以 3、5、7 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、（3 2） 2+（4 2） 2（5 2） 2，所以以 32、4 2、5 2 为边不能组
11、成直角三角形，故本选项不符合题意；D、5 2+12213 2，所以以 5、12、13 为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D8解：A、3 2+425 2，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、5 2+729 2，不能构成直角三角形，故选项正确；C、8 2+15217 2，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、7 2+24225 2，能构成直角三角形，是整数，故选项错误故选：B9解：由题意可得，直角三角形的斜边为： 5 ，则他们仅仅少走了 3+45 2（米）故选：B10解：如图展开后连接 SF，求出 SF 的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过 S 作 SECD 于 E，
12、则 SE BC 2412cm ，EF 181116cm，在 RtFES 中，由勾股定理得：SF 20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是 20cm故选：C二填空题11解：如图所示：（a+b） 221，a 2+2ab+b221，大正方形的面积为 13，2ab21138，小正方形的面积为 138 5，故答案为：512解：根据勾股定理的几何意义得：S DS A+SB+SC 9，可知，D 的边长为 3故答案为：313解：ABC 为等腰三角形，OAOB3 ，OCAB，在 RtOBC 中，OC ，以 O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M，OM OC ，点 M 对应的数为 故答案为
13、： 14解：由于 AB2BC 2+AC2，ABC 是直角三角形，C90，S ABC 12530 ，故答案为：3015解：延长 AP 交格点于 D，连接 BD，则 PD2BD 21+2 25 ，PB 21 2+3210，PD 2+DB2PB 2，PDB90，DPBPAB+PBA45，故答案为：4516解：321+1，421 2+21，521 2+21+1；522+1 ，1222 2+22，1322 2+22+1；723+1 ，2423 2+23，2523 2+23+1；924+1 ，4024 2+24，4124 2+24+1；11 25+1，6025 2+25，6125 2+25+1，则13 2
14、6+1，26 2+2684，26 2+26+185，故答案为：13，84 ，8517解：一木杆在离地面 1.5m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端 2m 处，折断的部分长为 2.5，折断前高度为 2.5+1.54（m）故答案为：418解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm，由勾股定理得：x 220 2+（2+3）3 225 2，解得：x25（ dm）故答案为：25三解答题19解：S 14，S 29 ，S 313 ，S 1+S2S 3即 AC2+BC2AB 2故答案
15、为：4，9，13 ，AC，BC，AB20解：（1）线段 AB 的长是： ；故答案为： ；（2）如图所示：EF 即为所求，AB、CD、EF 三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：AB 2（ ） 25， DC28，EF 213，AB 2+DC2EF 2，AB、CD、EF 三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长21解：如图，连接 ACABC 中，B90，AB3 ，BC 4，AC 5CD12，AD 13 ，AC5，AC 2+CD2AD 2，ACD 是直角三角形，S 阴影 S ACD S ABC 512 34306 24 22解：A（n 21） 2+（2n） 2n 42n 2+1+4n2n 4
16、+2n2+1（n 2+1） 2，AB 2，B0，Bn 2+1，当 2n8 时，n4，n 2+14 2+117；当 n2135 时，n 2+137故答案为：17；3723解：（1） AD4，CD3，ADDC由勾股定理可得：AC 5，又AC 2+BC25 2+12213 2AB 2 ，ABC 是直角三角形；（2）ABC 的面积ACD 的面积 512 3424（m 2）所以这块地的面积是 24 平方米24解：（1）出发 3 秒钟时，CC 112 米，BB 19 米，AC40 米，AB30 米，AC 128 ，AB 121，B 1C1 3525，出发 3 秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）设出发
17、 t 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意得，（404t） 2+（303t ） 225 2，解得：t5 ，t15（不合题意舍去），答：出发 5 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰25解：（1）设长方体的高为 xcm，则长为 3xcm，宽为 2xcm，由题意得3x2x30，解得 x ，则 3x 3 ，2x2 答：这个长方体的长、宽、高分别是 3 cm、2 cm、 cm（2）长方体的表面积为：（3 2 +3 +2 ）2（30+15+10）2110（cm 2），长方体的体积为：3 2 30 答：长方体的表面积是 110cm2，体积是 30 cm3；（3）展开前面上面由勾股定理得 AB2（2 + ） 2+（3 ） 290；所以最短路径的长为 AB 3 （cm）故答案为 3