1、第 1 页（共 27 页）2018-2019 学年浙江省金华市永康市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）计算 的结果是（ ）A3 B3 C3 D2 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）把一元二次方程 x（x+1）3x +2 化为一般形式，正确的是（ ）Ax 2+4x+30 Bx 22x+20 Cx 23x10 Dx 22x204 （3 分）用反证法证明“在ABC 中，若 ABAC ，则BC ”时，第一步应假设（ ）AABAC BABAC CBC DB C5 （3 分）下列二次根式中，最简二次
2、根式的是（ ）A B C D6 （3 分）已知样本数据 1，2，3，3，4，5，则下列说法不正确的是（ ）A平均数是 3 B中位数是 3 C众数是 3 D方差是 37 （3 分）已知点 A（x ，y ）是反比例函数 y 图象上的一点，若 x3，则 y 的取值范围是（ ）Ay1 By1 C0y1 D1y 38 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，P 是边 DC 上的动点，G，H 分别是 PE，PF 的中点，已知 DC10cm，则 GH 的长是（ ）A7cm B6cm C5cm D4cm9 （3 分）如图，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AB，CD 上
3、的点，将四边形 AEFD 沿直线EF 折叠，点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 D 处，已知 AB8，BC4，则 AE 的长是（ 第 2 页（共 27 页）A4 B5 C6 D710 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，BE 平分ABO 交 AC 于E，CF BE 于 F，交 BD 于 G，则下列结论：OE OG；CECB ；ABEBCG； CF 平分 BCE其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）二次根式 中字母 x 的取值范围是 12 （4 分）关于 x 的一
4、元二次方程 x28x +k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 13 （4 分）某小组 7 名同学的英语口试成绩（满分 30 分）依次为26，23，25，27，30，25，29，则这组数据的中位数是 14 （4 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 C，D 分别在反比例函数y （x 0） y （x 0）的图象上，顶点 A，B 在 x 轴上，则矩形 ABCD 的面积是 第 3 页（共 27 页）15 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，BE 平分ABD 交 AD 于 E，EFBD 于 F，FPAB于 P，已知正方形 ABCD 的边长 BC2，则 AP 的长是 16 （4 分）点 A 是反比例函数
5、 y （x 0）图象上的一点，点 B 在 x 轴上，点 C 是坐标平面上的一点，O 为坐标原点，若以点 A，B，C，O 为顶点的四边形是有一个角为60的菱形，则点 C 的坐标是 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）17 （6 分）计算：（1） （2） （2 + ） （2 ）18 （6 分）解方程（1）x 23x0（2）x 24x1019 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，过点 O 的直线 EF 分别第 4 页（共 27 页）交 AB，CD 于 E，F ，连结 DE，BF求证：四边形 DEBF 是平行四边形20 （8 分）某
6、校开展“诵读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵背情况，随机抽取了 30 名八年级学生，调查“一周诗词诵背数量调查结果如表所示一周诗词诵背数量（首） 2 3 4 5 6 7人数（人） 1 3 5 9 10 2（1）计算这 30 人平均每人一周诵背诗词多少首；（2）该校八年级共有 600 名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵背诗词 6 首以上（含 6 首）的学生有多少人21 （8 分）如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 在原点上，顶点 A，C 分别在反比例函数y （k0，x0） ，y （x0）的图象上，对角线 ACy 轴于 D，已知
7、点 D的坐标为 D（0，5）（1）求点 C 的坐标；（2）若平行四边形 OABC 的面积是 55，求 k 的值22 （10 分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价据测算，每箱每降价 1 元，平均每天可多售出 20箱（1）若每箱降价 3 元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利 1400 元，则每箱应降价多少元？第 5 页（共 27 页）（3）能否使每天销售该饮料获利达到 1500 元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由23 （10 分） （1）尝试探究：如图 1，E 是正方形 ABCD
8、 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于F求证： CDE CBF；过点 C 作ECF 的平分线交 AB 于 P，连结 PE，请探究 PE 与 PF 的数量关系，并证明你的结论（2）拓展应用：如图 2，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于F，连结 EF 交 DB 于 M，连结 CM 并延长 CM 交 AB 于 P，已知 AB6，DE2，求 PB的长24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，B，C 在第一象限，反比例函数 y （k0）的图象经过点 C，交 AB 于 D
9、，已知OC12，OA4 ，AOC 60（1）求反比例函数 y （k0）的函数表达式；（2）连结 CD，求BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一个动点，以 AP 为一边，在 AP 的右上方作正方形 APEF，在点 P 的运动过程中，是否存在一点 P 使顶点 E 落在OABC 的边所在的直线上，若存在，请求出此时 OP 的长，若不存在，请说明理由第 6 页（共 27 页）第 7 页（共 27 页）2018-2019 学年浙江省金华市永康市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）计算 的结果是（ ）A3 B3 C3
10、 D【分析】直接根据 | a|化简即可【解答】解： |3|3故选：A【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： |a| 2 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3 （3 分）把一元二次方程 x（x+1）3x +2 化为一般形式，正确的是（ ）Ax 2+4x+30 Bx 22x+20 Cx 2
11、3x10 Dx 22x20【分析】直接去括号进而移项，得出答案【解答】解：x（x +1）3x +2x2+x3x20，第 8 页（共 27 页）x22x20故选：D【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键4 （3 分）用反证法证明“在ABC 中，若 ABAC ，则BC ”时，第一步应假设（ ）AABAC BABAC CBC DB C【分析】根据反证法的一般步骤解答即可【解答】解：用反证法证明命题“在ABC 中，ABAC，求证：BC ”，第一步应是假设BC，故选：C【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
12、由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确5 （3 分）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可得【解答】解：A 是最简二次根式；B 2 ，不是最简二次根式；C 0.5，不是最简二次根式；D ，不是最简二次根式故选：A【点评】本题主要考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式6 （3 分）已知样本数据 1，2，3，3，4，5，则下列说法不正确的是（ ）A平均数是 3 B中位数是 3 C众数是 3 D方差是 3【分析】根据众数、
13、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可【解答】解：数据 1，2，3，4，5 中平均数是 3，中位数是 3，众数是 3，方差是 S2第 9 页（共 27 页）（ 13） 2+（23） 2+（33） 2+（33） 2+（43） 2+（53） 22故选：D【点评】本题考查方差、众数、中位数、平均数关键是掌握各种数的定义，熟练记住方差公式是解题的关键7 （3 分）已知点 A（x ，y ）是反比例函数 y 图象上的一点，若 x3，则 y 的取值范围是（ ）Ay1 By1 C0y1 D1y 3【分析】反比例函数 k0 时，函数在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，根据性质即可求解【解答】解
14、：y ，在第一象限内，y 随 x 的增大而减小，当 x3 时，0y 1，故选：C【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象特点，牢记图象在每个象限内的变化是解题的关键8 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，P 是边 DC 上的动点，G，H 分别是 PE，PF 的中点，已知 DC10cm，则 GH 的长是（ ）A7cm B6cm C5cm D4cm【分析】连接 EF，先证明出四边形 ABFE 是平行四边形，再证明 GH 是PEF 的中位线，进而求出 GH 的长度【解答】解：连接 EF，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADB
15、D ，ADBC ，E，F 分别是 AD，BC 的中点，AEBF，第 10 页（共 27 页）四边形 ABFE 是平行四边形，ABEF10cm，G，H 分别是 PE，PF 的中点，GH 是PEF 的中位线，GH EF 105cm，故选：C【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理的知识，解题的关键是证明出 GH 是PEF 的中位线，此题难度不大9 （3 分）如图，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AB，CD 上的点，将四边形 AEFD 沿直线EF 折叠，点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 D 处，已知 AB8，BC4，则 AE 的长是（ ）A4 B5 C6 D7【分析】如图
16、，设 AEECx，在 RtECB 中，B90 ，BC4，ECx，BE 8x ，构建方程即可解决问题【解答】解：如图，设 AEECx，在 Rt ECB 中，B90，BC 4，ECx，BE8x，x 24 2+（8x ） 2，x5，AE5，故选：B【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基第 11 页（共 27 页）本知识，属于中考常考题型10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，BE 平分ABO 交 AC 于E，CF BE 于 F，交 BD 于 G，则下列结论：OE OG；CECB ；ABEBCG； CF 平分 BCE其中正确的结论
17、有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据正方形的性质，可得 OBOC，BO CO，根据直角三角形的性质，可得EBO+BEO 90，BEC+ECF 90，再根据与角的关系，可得EBOECF，根据全等三角形的判定与性质 OEOG，故正确；根据角平分线的定义得到EBO 4522.5，得到ECF BCF，求得 CF 平分BCE，故正确；根据等腰三角形的性质得到 CECB ，故 正确；根据全等三角形的判定两点得到ABE BCG（SAS） ，故正确【解答】证明：正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OBOC，BOCO，EOBCOG90CFBE 于点 F，CFECFB90E
18、BO+BEO 90，BEC+ECF 90，EBOECF在BEO 和CGO 中， ，BEOCGO（AAS） ，OEOG ，故 正确；ABOBCO45，BE 平分ABO 交 AC 于 E，EBO 4522.5，EOFEBO22.5，第 12 页（共 27 页）BOF4522.522.5，ECFBCF，CF 平分BCE，故正确；CFBE，CECB，故正确；ABE BCG22.5，BEOCGO，BECG，ABBC，ABE BCG（SAS） ，故正确故选：D【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键二、填空题（本题
19、有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）二次根式 中字母 x 的取值范围是 x1 【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解【解答】解：根据题意得：x10，解得 x1故答案为：x1【点评】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义12 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x28x +k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 16 【分析】利用判别式的意义得到（8） 24k0，然后解关于 k 的方程即可【解答】解：根据题意得（8） 24k0，解得 k16故答案为 16【点评】本题考查了
20、根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根第 13 页（共 27 页）13 （4 分）某小组 7 名同学的英语口试成绩（满分 30 分）依次为26，23，25，27，30，25，29，则这组数据的中位数是 26 【分析】将这组数据从小到大排序后，知道处在第 4 位的数即可【解答】解：七个数从小到大排列得：23，25，25，26，27，29，30，处在第 4 位的数是 26，因此中位数是 26故答案为：26【点评】考查中位数的意义和求法，将一组数据从小到大排列后处
21、在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数14 （4 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 C，D 分别在反比例函数y （x 0） y （x 0）的图象上，顶点 A，B 在 x 轴上，则矩形 ABCD 的面积是 3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数 k 的几何意义，可以求出结果【解答】解：延长 CD 交 y 轴于点 E，点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上，矩形 CBOE 的面积为 6，点 D 分别在反比例函数 y （x0）的图象上，矩形 ADEO 的面积为 3，矩形 ABCD 的面积为：633，故答案为：3第 14 页（共 27 页）【点评】考查反比例函数 k 的几何
22、意义，即过反比例函数图象上一点，分别向 x 轴、y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积等于|k |15 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，BE 平分ABD 交 AD 于 E，EFBD 于 F，FPAB于 P，已知正方形 ABCD 的边长 BC2，则 AP 的长是 2 【分析】根据正方形的性质得到ADBABD45，A90，根据角平分线的定义得到 AEEF ，根据等腰直角三角形的性质得到 DFEF ，PBPF，设AEEFDFx，得到 DE x，求得 DF2 2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：正方形 ABCD 中，ADBABD 45，A90，EFBD 于 F，BE 平分ABD，A
23、EEF，FPAB，DEF 与BPF 是等腰直角三角形，DFEF，PBPF，设 AEEFDFx，DE x，AD2，（1+ ）x 2，BD2 ，x2 2，DF2 2，第 15 页（共 27 页）BF2 （2 2） 2，PB BF ，APABPB2 ，故答案为：2 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键16 （4 分）点 A 是反比例函数 y （x 0）图象上的一点，点 B 在 x 轴上，点 C 是坐标平面上的一点，O 为坐标原点，若以点 A，B，C，O 为顶点的四边形是有一个角为60的菱形，则点 C 的坐标是 （ ，1）或（3， ） 【
24、分析】分两种情况讨论：当点 C 在点 A 的左侧时，过点 A 作 AEx 轴，在直角三角形 ABE 中求出 A 点坐标；当点 C 在点 A 的右侧时；在直角三角形 AOF 中求出 A点坐标，通过 A 点坐标求 C 点坐标即可【解答】解：当点 C 在点 A 的左侧时，过点 A 作 AE x 轴，设点 A（m， ） （m0） ，AE ，菱形 OBAC 中COB60，ABE 60，AE ，BE ， + m，m ，第 16 页（共 27 页）OB ，C（ ，1） ；当点 C 在点 A 的右侧时，过点 A 作 AF x 轴，设点 A（m， ） （m0） ，AF ，OFm，菱形 OBAC 中AOB 60，
25、 mtan60 m，m1，OA2，C（3， ） ；综上所述，C（ ，1）或 C（3， ） ；故答案为（ ，1）或（3， ） 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质；通过构造直角三角形，将问题转化到直角三角形中求出 A 点的坐标是解题的关键第 17 页（共 27 页）三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）17 （6 分）计算：（1） （2） （2 + ） （2 ）【分析】 （1）根据二次根式的运算法则即可求出答案（2）根据平方差公式即可求出答案【解答】解：（1）原式4 22 ；（2）原式（2 ） 2（ ） 2835；【点评】本题考查二次根式，解题的关键
26、是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型18 （6 分）解方程（1）x 23x0（2）x 24x10【分析】 （1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程【解答】解：（1）x（x 3）0，x0 或 x30，所以 x10，x 23；（2） ）x 24x+43，（x2） 23，x2 ，所以 x12+ ，x 22 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 也
27、考查了配方法解一元二次方程第 18 页（共 27 页）19 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，过点 O 的直线 EF 分别交 AB，CD 于 E，F ，连结 DE，BF求证：四边形 DEBF 是平行四边形【分析】由平行四边形的性质得到 ABCD，ODOB，AOOC，根据全等三角形的性质得到 OEOF，由平行四边形的判定定理即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ODOB，AO OC，DCOBAO ，在AEO 与CFO 中 ，AEOCFO（ASA ） ，OEOF ，ODOB ，四边形 DEBF 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边
28、形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键20 （8 分）某校开展“诵读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵背情况，随机抽取了 30 名八年级学生，调查“一周诗词诵背数量调查结果如表所示一周诗词诵背数量（首） 2 3 4 5 6 7人数（人） 1 3 5 9 10 2（1）计算这 30 人平均每人一周诵背诗词多少首；（2）该校八年级共有 600 名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵背诗词 6 首以上（含 6 首）的学生有多少人【分析】 （1）计算出背诵诗词的总首数，再除以调查人数即可，第 19 页（共 27 页
29、）（2）样本估计总体，样本中一周诵背诗词 6 首以上（含 6 首）的学生占调查人数的 ，于是根据总体中一周诵背诗词 6 首以上（含 6 首）的学生也占 【解答】解：（1） （2+33+45+5 9+610+72）305 首，答：这 30 人平均每人一周诵背诗词 5 首（2）600 240 人，答：八年级 600 名学生中一周诵背诗词 6 首以上（含 6 首）的学生有 240 人【点评】考查平均数的求法以及样本估计总体的统计方法，理解加权平均数的意义和“权”对平均数的影响是解决问题的前提21 （8 分）如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 在原点上，顶点 A，C 分别在反比例函数y （k0，x
30、0） ，y （x0）的图象上，对角线 ACy 轴于 D，已知点 D的坐标为 D（0，5）（1）求点 C 的坐标；（2）若平行四边形 OABC 的面积是 55，求 k 的值【分析】 （1）由 ACy 轴交反比例函数的图象与点 A、C，与 y 轴交于 D（0，5） ，因此点 C、A 的纵坐标都是 5，代入可求出 C 的坐标，（2）根据平行四边形被对角线分成的两个三角形全等，可得三角形 AOC 的面积，进而求出 AC 的长，确定点 A 的坐标，最后求出 k 的值【解答】解：（1）当 y5 时，代入 y 得，x2，C（2，5） ，（2）ABCD 是平行四边形，OCAB ，OABC，ACAC，第 20
31、页（共 27 页）OACABC （SSS） ，S OAC SABCD ，即： ACDO ，DO5，AC11，又CD2，AD1129，A（9，5）代入 y （k 0，x0）得：k45答：k 的值为45【点评】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，以及三角形全等知识，把点的坐标代入关系式是常用的方法22 （10 分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价据测算，每箱每降价 1 元，平均每天可多售出 20箱（1）若每箱降价 3 元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利 1400 元，则每箱应降价多少元
32、？（3）能否使每天销售该饮料获利达到 1500 元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由【分析】 （1）根据每箱饮料每降价 1 元，每天可多售出 20 箱写出答案即可；（2） 、 （3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数销售总利润，由此列方程解答即可【解答】解：设每箱饮料降价 x 元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12x）元；（1）依题意得：（123） （100+203）1440（元）答：每箱降价 3 元，每天销售该饮料可获利 1440 元；（2）要使每天销售饮料获利 1400 元，依据题意列方程得，（12x） （100+20x ）1400，整理得 x
33、27x100，第 21 页（共 27 页）解得 x12，x 25；为了多销售，增加利润，x5，答：每箱应降价 5 元，可使每天销售饮料获利 1400 元（3）不能，理由如下：要使每天销售饮料获利 1500 元，依据题意列方程得，（12x） （100+20x ）1500，整理得 x27x+15 0，因为4960110，所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到 1500 元【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本23 （10 分） （1）尝试探究：如图
34、1，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于F求证： CDE CBF；过点 C 作ECF 的平分线交 AB 于 P，连结 PE，请探究 PE 与 PF 的数量关系，并证明你的结论（2）拓展应用：如图 2，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于F，连结 EF 交 DB 于 M，连结 CM 并延长 CM 交 AB 于 P，已知 AB6，DE2，求 PB的长第 22 页（共 27 页）【分析】 （1）先判断出CBF90，再证明DCEBCF 即可解决问题（2）证明PCEPCF（SAS）即可解决问题（3
35、）如图 2 中，作 EHAD 交 BD 于 H，连接 PE证明 EMH FMB（AAS） ，由EMFM，CECF，推出 PC 垂直平分线段 EF，推出 PEPF，设 PBx，则PEPFx +2，PA6x，理由勾股定理构建方程即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，在正方形 ABCD 中，DCBC，DABC DCB90，CBF180ABC90，CFCE，ECF90，DCBECF90DCEBCF，CDECBF（ASA） （2）结论：PEPF 理由：如图 1 中，CDECBF，CECF，PCPC，PCEPCF，PCEPCF（SAS ） ，PEPF（3）如图 2 中，作 EHAD 交 BD 于 H
36、，连接 PE四边形 ABCD 是正方形，ABAD 6，A90，EDH45，第 23 页（共 27 页）EHAD ，DEH A90，EHAF，DEEH2，CDECBF，DEBF2，EHBF，EHMMBF ，EMHFMB，EMHFMB （AAS ） ，EMFM，CECF，PC 垂直平分线段 EF，PEPF，设 PBx，则 PEPFx+2，PA6x ，在 Rt APE 中，则有（x +2） 24 2+（6x） 2，x4，PB4【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型24 （12
37、分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，B，C 在第一象限，反比例函数 y （k0）的图象经过点 C，交 AB 于 D，已知OC12，OA4 ，AOC 60（1）求反比例函数 y （k0）的函数表达式；（2）连结 CD，求BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一个动点，以 AP 为一边，在 AP 的右上方作正方形 APEF，在点 P 的运动过程中，是否存在一点 P 使顶点 E 落在OABC 的边所在的直线上，若存在，请求出此时 OP 的长，若不存在，请说明理由第 24 页（共 27 页）【分析】 （1）过点 C 作 CG x 轴于点 G，构造含 60
38、角的 RtOCG，利用 OC12 和AOC 的正弦余弦值，即求得 OG、CG 的长，得到点 C 坐标，用待定系数法即求得反比例函数表达式（2）由平行四边形 OABC 边长 OA4 可求得点 B 坐标，进而求直线 AB 解析式把直线 AB 解析式和反比例函数解析式联立方程组，求解即得到点 D 坐标过点 D 作DHBC 于点 H，易得 SBCD BCDH，代入计算即求得BCD 的面积（3）求直线 OC 解析式，设点 P 横坐标为 m，用 m 表示其纵坐标过点 P 作 PMx 轴于点 M，过点 E 作 EN直线 PM 于点 N，由正方形 APEF 性质即可证PNEAMP，可得 PNAM4 ，NEPM
39、，即得到用 m 表示点 E 坐标由于点 E 可能落在OABC 的边 OC、BC、AB 上，故需分类讨论 落在 OC 上时，把点 E 坐标代入直线OC 解析式，解方程求 m 即得到点 P 坐标，进而求 OP 的长； 落在 BC 上，则点 E 纵坐标等于点 C 纵坐标，列得方程； 落在 AB 上，把点 E 坐标代入直线 AB 解析式再解方程【解答】解：（1）如图 1，过点 C 作 CGx 轴于点 GOGC90OC12，AOC60cosAOC ，sinAOCOG OC6，CG OC6C（6，6 ）反比例函数 y （k 0）的图象经过点 C6 解得：k 36反比例函数的函数表达式为 y第 25 页（共
40、 27 页）（2）如图 2，过点 D 作 DHBC 于点 HOA4 ，点 A 在 x 轴上A（4 ，0）四边形 OABC 是平行四边形BCOA，BCOA4x Bx C+BC6+4 ，y By Hy C6B（6+4 ，6 ）设直线 AB 解析式为 yax +b 解得：直线 AB：y x12点 D 为线段 AB 与反比例函数图象的交点 解得： 或 （舍去）D（6 ，6）DH6 6S BCD BCDH 4 （6 6）3612（3）存在点 P 使顶点 E 落在OABC 的边所在的直线上如图 3，过点 P 作 PMx 轴于点 M，过点 E 作 EN直线 PM 于点 NAMP PNE90C（6，6 ）直线
41、 OC 解析式为 y x点 P 在线段 OC 上设点 P 坐标为（m， m） （0m6）OM m，PM mAMOA OM4 m四边形 APEF 是正方形APPE，APE 90第 26 页（共 27 页）EPN+ APM APM+PAM90EPNPAM在PNE 与AMP 中PNEAMP（AAS）PNAM4 m，NEPM mx Ex N+NEm + m，y Ey NMNPM +PN m+4 mE（m+ m， m+4 m ）若点 E 落在直线 OC 上，则 m+4 m （m+ m）解得：mP（ ，3） ， OP若点 E 落在直线 BC 上，则 m+4 m 6解得：m3+P（3+ ，3 +3） ，OP若点 E 落在直线 AB 上时，直线 AB：y x12 （m+ m）12 m+4 m解得：m3+ ，即点 E 落在直线 BC 与直线 AB 交点处综上所述，OP2 或（6+2 ）时，点 E 落在OABC 的边所在的直线上第 27 页（共 27 页）